采集模擬信號(hào)：帶寬、奈奎斯特定理和混疊

了解采集模擬信號(hào)的基礎(chǔ)知識(shí)，包含帶寬、幅值誤差、上升時(shí)間、采樣率、奈奎斯特定理、混疊與分辨率等。 本教程是儀器基礎(chǔ)教程系列的一部分。

1. 什么是數(shù)字化儀？
科學(xué)家和工程師常用數(shù)字化儀采集真實(shí)世界中的模擬數(shù)據(jù)，并將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)用于分析。 數(shù)字化儀是指任何用于將模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)的設(shè)備。 手機(jī)是最常見的一種數(shù)字化儀，可將聲音（模擬信號(hào)）轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)并將其發(fā)送至另一部手機(jī)。 但在測(cè)試測(cè)量應(yīng)用中，數(shù)字化儀通常指示波器或數(shù)字萬(wàn)用表(DMM)。 本文主要介紹示波器，但大部分內(nèi)容也適用于其他數(shù)字化儀。

無(wú)論哪種類型，數(shù)字化儀對(duì)于系統(tǒng)精確地重構(gòu)波形都至關(guān)重要。 要確保為應(yīng)用選擇正確的示波器，需考慮示波器帶寬、采樣率以及分辨率。

2. 帶寬
示波器前端包含兩個(gè)部分：模擬輸入路徑和模數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)。 模擬輸入路徑衰減、放大、過濾和/或耦合信號(hào)對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，為ADC數(shù)字化做準(zhǔn)備。 ADC對(duì)調(diào)理的信號(hào)進(jìn)行采樣，并將模擬輸入信號(hào)轉(zhuǎn)換為表示模擬輸入波形的數(shù)字值。 輸入路徑的頻率響應(yīng)會(huì)引起幅值和相位信息的固有損耗。

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圖1. 帶寬描述的是輸入信號(hào)可經(jīng)過示波器前端的頻率范圍，示波器前端由兩部分構(gòu)成：模擬輸入路徑和ADC。

帶寬描述的是模擬前端獲取外部世界信號(hào)到ADC并最小化振幅衰減的能力－從探針的針尖或測(cè)試夾具到ADC的輸入端。 換句話說(shuō)，帶寬描述的是示波器可精確測(cè)量的頻率范圍。

帶寬定義為正弦波輸入信號(hào)的振幅衰減至原振幅的70.7%時(shí)的頻率，也稱為-3 dB點(diǎn)。 圖2和3顯示了100 MHz示波器的常規(guī)輸入響應(yīng)。

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圖2. 帶寬是輸入信號(hào)的振幅衰減至原振幅的70.7％時(shí)的頻率。

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圖3. 該圖表示100 MHz時(shí)輸入信號(hào)達(dá)到-3dB點(diǎn)。

帶寬等于信號(hào)幅值下降到低于通帶頻率-3 dB時(shí)的上下限頻率差。 聽起來(lái)十分復(fù)雜，拆分開來(lái)之后實(shí)際上相對(duì)簡(jiǎn)單。

首先計(jì)算-3 dB的值。

公式1. 計(jì)算-3 dB點(diǎn)

Vin,pp表示輸入信號(hào)的峰峰電壓， Vout,pp表示輸出信號(hào)的峰峰電壓。 例如，如輸入1 V正弦波，則輸出電壓的計(jì)算方式為：

由于輸入信號(hào)為正弦波，因此輸出信號(hào)達(dá)到該電壓值有兩個(gè)頻率；這些頻率被稱為轉(zhuǎn)折頻率 f1 和f2。 這兩個(gè)頻率有多種名稱，如轉(zhuǎn)折頻率、截止頻率、交越頻率、半功率點(diǎn)頻率、3 dB頻率以及折點(diǎn)頻率等。 實(shí)際上，所有這些術(shù)語(yǔ)指的都是同一個(gè)值。 信號(hào)的中心頻率f0是f1 和f2的幾何平均數(shù)。

公式2. 計(jì)算中心頻率

帶寬(BW)可通過兩個(gè)轉(zhuǎn)折頻率相減進(jìn)行計(jì)算。

公式3. 計(jì)算帶寬

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圖4. 帶寬、轉(zhuǎn)折頻率、中心頻率和3 dB點(diǎn)的相互關(guān)系。

計(jì)算幅值誤差
另一個(gè)有用的公式是計(jì)算幅值誤差。

公式4. 計(jì)算幅值誤差

幅值誤差通過百分比表示，R表示示波器帶寬和輸入信號(hào)頻率(fin)的比率。

以上述公式為例，100 MHz示波器1 V時(shí)的正弦波輸入信號(hào)為100 MHs，BW = 100 MHz且fin = 100 MHz。 那么R = 1。則公式計(jì)算結(jié)果如下所示：

幅值誤差為29.3%。 1 V信號(hào)的輸出電壓為：

建議示波器的帶寬為被測(cè)信號(hào)感興趣最高頻率分量的3～5倍，這樣就可以在振幅誤差最小的情況下捕獲信號(hào)。 例如，對(duì)于100 MHz的1 V正弦波，應(yīng)該使用300 MHz～500 MHz帶寬的示波器。 這些帶寬上100 MHz信號(hào)的振幅誤差為：

計(jì)算上升時(shí)間
示波器必須有合適的帶寬才能精確地測(cè)量信號(hào)，同時(shí)也要有足夠的上升時(shí)間才能精確捕捉快速轉(zhuǎn)換的細(xì)節(jié)。 這主要適用于測(cè)量如脈沖和步進(jìn)等數(shù)字信號(hào)。 輸入信號(hào)的上升時(shí)間是指信號(hào)從最大信號(hào)振幅的10％上升至90％所需的時(shí)間。 有些示波器可能是20％上升至80％，請(qǐng)務(wù)必查看用戶手冊(cè)獲取具體信息。

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圖5. 輸入信號(hào)的上升時(shí)間是指信號(hào)從最大信號(hào)振幅的10％上升至90％所需的時(shí)間。

上升時(shí)間(Tr)可通過下列公式計(jì)算：

5. 計(jì)算上升時(shí)間

常量k取決于示波器。 大部分帶寬不到1 GHz的示波器k值為0.35，而帶寬大于1 GHz的示波器k值一般在0.4～0.45之間。

測(cè)量的理論上升時(shí)間Trm可以通過示波器的上升時(shí)間Tro和輸入信號(hào)的實(shí)際上升時(shí)間Trs來(lái)計(jì)算得到。

公式6. 計(jì)算測(cè)量的理論上升時(shí)間

建議示波器的上升時(shí)間為所測(cè)信號(hào)上升時(shí)間的1/3至1/5，從而以最小上升時(shí)間誤差捕捉信號(hào)。

3. 采樣率
采樣率與帶寬沒有直接聯(lián)系。 采樣率是指ADC將模擬輸入波形轉(zhuǎn)換為數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)的頻率。 示波器是在經(jīng)過模擬輸入路徑的衰減、增益和/或?yàn)V波后對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣的，并將所得到的波形轉(zhuǎn)換為數(shù)字形式。 通過快照的方式進(jìn)行，類似于影片的幀。 示波器采樣速度越快，波形的分辨率和細(xì)節(jié)就越清晰。

奈奎斯特采樣定理
奈奎斯特采樣定理解釋了采樣率和所測(cè)信號(hào)頻率之間的關(guān)系。 闡述了采樣率fs必須大于被測(cè)信號(hào)感興趣最高頻率分量的兩倍。 該頻率通常被稱為奈奎斯特頻率fN。

公式7. 采樣率應(yīng)大于奈奎斯特頻率的兩倍。

為更好理解其原因，讓我們來(lái)看看不同速率測(cè)量的正弦波。 情況A，頻率f的正弦波以同一頻率采樣。 這些采樣標(biāo)記在原始信號(hào)的左側(cè)，在右側(cè)構(gòu)建時(shí)，信號(hào)錯(cuò)誤地顯示為恒定直流電壓。 情況B，采樣率是信號(hào)頻率的兩倍。 現(xiàn)在信號(hào)顯示為三角波。 這種情況下，f等于奈奎斯特頻率，這也是特定采樣頻率下為了避免混疊而允許的最高頻率分量。 情況C，采樣率是4f/3。此時(shí)奈奎斯特頻率為：

由于f大于奈奎斯特頻率

該采樣率再現(xiàn)錯(cuò)誤頻率和形狀的混疊波形。

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圖6. 采樣率過低會(huì)造成波形重構(gòu)不準(zhǔn)確。

因此，為了無(wú)失真地恢復(fù)原波形信號(hào)，采樣率fs必須大于被測(cè)信號(hào)感興趣最高頻率分量的兩倍。 通常希望采樣率大于信號(hào)頻率約五倍。