頻率響應(yīng)法--奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

前面我們從代數(shù)角度出發(fā)討論了控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義和勞斯－赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)。本節(jié)介紹判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的另一種判據(jù)――奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。該判據(jù)是根據(jù)開環(huán)頻率特性來判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。同時，它還能反映系統(tǒng)的相對穩(wěn)定的程度，對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，判據(jù)與勞斯穩(wěn)定判據(jù)一樣，還能確切回答閉環(huán)系統(tǒng)有多少個不穩(wěn)定的特征根。

對于圖5－34所示的反饋控制系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

(5-38)

其特征方程式為

(5-39)

令

(5-40)

將式（5－40）代入式（5－39）得

式中， 、 、…、 是 的零點，也是閉環(huán)特征方程式的根； 、 、…、 是 的極點，也是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點。因此根據(jù)前述閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，要使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，特征函數(shù) 的全部零點都必須位于s平面的左半平面上。

5.4.1 輻角原理

由于 是s的有理分式，則由復(fù)變函數(shù)的理論知道， 除了在s平面上的有限個奇點外，它總是解析的，即為單值、連續(xù)的正則函數(shù)。因而對于s平面上的每一點，在 平面上必有唯一的一個映射點與之相對應(yīng)。同理，對s平面上任意一條不通過 的極點和零點的閉合曲線 ，在 平面上必有唯一的一條閉合曲線 與之相對應(yīng)，如圖5－35所示。若s平面上的閉合曲線 按順時針方向運動，則其在 平面上的映射曲線 的運動方向可能是順時針，也可能是逆時針，它完全取決于復(fù)變函數(shù) 本身的特性。在此我們感興趣的不是映射曲線 的具體形狀，而是它是否包圍 平面的坐標(biāo)原點以及圍繞原點的方向和圈數(shù)，因為它與系統(tǒng)的穩(wěn)定性有著密切的關(guān)系。

圖5－35　s平面上封閉曲線及其在F(s)平面上的映射線

由式（5-41）可知，復(fù)變函數(shù) 的相角為

(5-42)

假設(shè)s平面上的閉合曲線 以順時針方向圍繞 的一個零點－ ， 的其余零點和極點均位于閉合曲線 之外。當(dāng)點s沿著閉合曲線 走了一周時，向量 的相角變化了 ，其余各向量的相角變化都為 。這表示在 平面上的映射曲線按順時針方向圍繞著坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)一周，如圖5－36所示。由此推論，若s平面上的閉合曲線 以順時針方向包圍 的z個零點，則在 平面上的映射曲線 將按順時針方向圍繞著坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)z周。

如果s平面上的閉合曲線 按順時針方向圍繞著 的一個極點 旋轉(zhuǎn)一周，則向量 的相角變化了 。由式（5－42）可知， 的相角變化了 。這表示 平面上的映射曲線 按逆時針方向圍繞其坐標(biāo)原點一周。由此推廣到一般，若s平面上的閉合曲線 按順時針方向圍繞著 的p個極點旋轉(zhuǎn)一周，則其在 平面上的映射曲線 按逆時針方向圍繞著坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)p周。

綜上所述，可得到如下的輻角原理。

輻角原理　　設(shè)除了有限個奇點外， 是一個解析函數(shù)。如果s平面上的閉合曲線 以順時針方向包圍了 的Z個零點和P個極點，且此曲線不通過 的任何極點和零點，則其在 平面上的映射曲線 將圍繞著坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)N周，其中 。若 ，表示曲線 以順時針方向圍繞；若 ，則表示曲線 以逆時針方向圍繞。

5.4.2 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

如果閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則其特征方程式的根，即 所有的零點均位于s的左半平面。為了判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，檢驗 是否有零點在s的右半平面上即可。為此，在s平面上所取的閉合曲線 應(yīng)包含s的整個右半平面，如圖5-37所示。這樣，如果 有零點或極點在s的右半平面上，則它們必被此曲線所包圍。這一閉合曲線稱為奈奎斯特軌線，它是由 軸表示的 部分和半徑為無窮大的半圓 部分組成。即s按順時針方向沿著 由 運動到 ，爾后沿著半徑為無窮大的半圓 由 運動到 ，其中 。

由于 中的 ，當(dāng)s沿著奈氏軌線 運動時，有

＝常數(shù)

這說明當(dāng)s沿著半徑為無窮大的半圓變化時，函數(shù) 始終是一常數(shù)。由此， 平面上的映射曲線 是否包圍坐標(biāo)原點，只取決于奈氏軌線中 部分的映射，即由 軸的映射曲線來表征。

設(shè)在 軸上不存在 的極點和零點，則當(dāng)s沿著 軸由 運動到 時，在 平面上的映射曲線 為

(5-43)

設(shè)閉合曲線 以順時針方向包圍了 的z個零點和p個極點，由輻角原理可知，在 平面上的映射曲線 將按順時針方向圍繞著坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)N周，其中

(5-44)

由于

因而映射曲線 對其坐標(biāo)原點的圍繞相當(dāng)于開環(huán)頻率特征曲線 對GH平面上的（－1，j0）點的圍繞，圖5－38示出了奈氏曲線映射在這兩個平面上的位置。

通過上述分析可知，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性可通過其開環(huán)頻率響應(yīng) 曲線對（－1，j0）點的包圍與否來判別，這就是下述的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：

(1) 如果開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即P＝0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 曲線不包圍（－1，j0）點。

(2) 如果開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且已知有P個開環(huán)極點在s的右半平面，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 曲線按逆時針方向圍繞（－1，j0）點旋轉(zhuǎn)P周。

綜上，應(yīng)用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的具體步驟為：

（1）首先要確定開環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定，若不穩(wěn)定，則P為多少？

（2）作出奈氏曲線 。具體作圖時可先畫出 從0到 的一段曲線，然后以實軸為對稱軸，畫出 從0到 的另一段曲線，從而得到完整的奈氏曲線。

（3）計算奈氏曲線 對點（－1，j0）按順時針方向的包圍圈數(shù)N。

（4）根據(jù)輻角原理確定Z是否為零。如果Z＝0，表示.閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；反之， ，表示該閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。Z的數(shù)值反映了閉環(huán)特征方程式的根在s右半平面上的個數(shù)。

例 5－5 試用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：當(dāng)ω由 變化時， 曲線如圖5－39所示。因為 的開環(huán)極點為－0.5，－1，－2，在s的右半平面上沒有任何極點，即P＝0，由圖5－39可知，由于奈氏曲線不包圍（－1，j0）這點，因此N＝0，則Z＝N＋P＝0。這表示該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

5.4.3 奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)的進一步說明

1、開環(huán)極點位于虛軸的情況

如果 在虛軸上存在極點，那么就不能直接用圖5－37所示的奈氏軌線，因為輻角原理只適用于奈氏軌線 不通過 的奇點。為此，可對圖5－37所示的奈氏軌線作些修改，使其沿著半徑為 的半圓繞過虛軸上的所有極點。假設(shè)開環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點處有其極點，則對應(yīng)的奈氏途徑要修改為如圖5－40所示。比較圖5－40與圖5－37可以發(fā)現(xiàn)，它們的區(qū)別在于圖5－40中多了一個半徑為無窮小的半圓 部分，其余兩者完全相同。因此，只需要研究圖5－40中的 部分在GH平面上的映射。

設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

(5-45)

在 部分上，令 ，其中 ，代入上式得

(5-46)

當(dāng)s按逆時針方向沿著 由點a移動到c時，由式（5－46）可求得其在GH平面上的映射曲線：

對于 的I型系統(tǒng)， 部分在GH平面上的映射曲線為一個半徑為無窮大的半圓，如圖5－41a所示。圖中點 、 和 分別為 半圓上點a、b和c的映射點。

對于 的Ⅱ型系統(tǒng)， 部分在GH平面上的映射曲線是一個半徑為無窮大的半圓，如圖5－41b所示。

把上述 部分在GH平面上的映射曲線和 的奈氏曲線在 和 處相連接，就組成了一條封閉曲線。此時，又可應(yīng)用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)了。

例5－6　試判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳函數(shù)為

試判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：由于該系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，它在坐標(biāo)原點處有一個開環(huán)極點，因而在s上所取的奈氏軌線應(yīng)如圖5－40所示。該圖的 部分在GH平面上的映射曲線為一半徑為無窮大的半圓，若將它與圖5－42的奈氏曲線 相連接，則有N＝2，而系統(tǒng)的P＝0，因而Z＝2，即閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，且有兩個閉環(huán)極點位于s的右半平面。

例5－7　試分析時間常數(shù)的相對大小對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響并畫出它們所對應(yīng)的奈氏圖?！?/P>

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試分析時間常數(shù) 和 的相對大小對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，并畫出它們所對應(yīng)的奈氏圖。

解　由開環(huán)傳遞函數(shù)得

根據(jù)以上兩式，作出在 ， 和 三種情況下的 曲線，如圖5-43所示。當(dāng) 時， 曲線不包圍（－1，j0）點，因而閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的。當(dāng) 時， 曲線通過（－1，j0）點，說明閉環(huán)極點位于 軸上，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定的。當(dāng) 時， 曲線以順時針方向包圍（-1，j0）點旋轉(zhuǎn)兩周，這意味著有兩個閉環(huán)極點位于s右半平面上，該閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

2、利用奈氏判據(jù)確定系統(tǒng)的參數(shù)穩(wěn)定范圍

如果系統(tǒng)中的某個參數(shù)或若干個參數(shù)是可以變化的，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，可利用奈氏判據(jù)來確定系統(tǒng)的參數(shù)穩(wěn)定范圍，即根據(jù)奈氏曲線是否通過（－1，j0）點的條件來選定參數(shù)。下面以例說明之。

例5－8 試用奈氏判據(jù)確定該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。

已知一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試用奈氏判據(jù)確定該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。

解　該系統(tǒng)是一個非最相位系統(tǒng)，其開環(huán)系統(tǒng)幅頻和相頻特性的表達(dá)式分別為

和慣性環(huán)節(jié)一樣，它的奈氏圖也是一個圓，如圖5－44所示。由于系統(tǒng)的P＝1，當(dāng)ω由 變化時， 曲線如按逆時針方向圍繞（－1，j0）點旋轉(zhuǎn)一周，即N＝－1，則Z＝1－1＝0，表示閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由圖5－44可見，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是K＞1。

3、具有時滯環(huán)節(jié)的穩(wěn)定性分析

由于時滯系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中有著 的環(huán)節(jié)，其閉環(huán)特征方程為一超越方程，因而勞斯穩(wěn)定判據(jù)就不適用了。但是，奈氏穩(wěn)定判據(jù)卻能較方便地用于對這類系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別。

設(shè)含有時滯環(huán)節(jié)的開環(huán)系統(tǒng)的傳遞如下：

(5-47)

式中， 為時滯時間常數(shù)。將上式改寫成：

(5-48)

其中

(5-49)

不含時滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。相應(yīng)地，開環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性為：

(5-50)

上式表明，當(dāng) 時，相對于 ， 的幅值沒有變化，而相角則在每個 上順時針多轉(zhuǎn)動了 。

由于實際的控制系統(tǒng)中， ，因此當(dāng) 時， 的模趨于零，因而 隨 以螺旋形趨于原點，并且與GH平面的負(fù)半軸相交無窮點，如圖5－45。因此為使系統(tǒng)穩(wěn)定，奈氏曲線與負(fù)實軸相交點必須位于（－1，j0）的左邊。

例5－9　試分析滯后時間 對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

設(shè)一時滯控制系統(tǒng)如圖5－46所示。已知圖中的 ，試分析滯后時間 對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

解　　系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(5-51)

取 值分別為0,2，4，圖5－47示出了式（5－51）在不同 值時的奈氏曲線。由圖可見，當(dāng)滯后時間 為零時，系統(tǒng)相當(dāng)于無時滯環(huán)節(jié)，不包圍（－1，j0）,所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng) ＝2時， 剛好經(jīng)過（－1，j0），系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng) ＝4時， 包圍（－1，j0）點，所以閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的?？梢?，時滯時間的增大，對控制系統(tǒng)的穩(wěn)定和性能都是極為不利的。

5.4.4 奈氏穩(wěn)定判據(jù)在對數(shù)坐標(biāo)圖上的應(yīng)用

與奈氏圖的繪制相比，開環(huán)對數(shù)頻率特性的繪制更為簡單、方便，因而研究開環(huán)對數(shù)頻率特性形式的奈氏穩(wěn)定判據(jù)是有實際意義的。注意到開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖與相應(yīng)的對數(shù)坐標(biāo)圖之間有著下列的對應(yīng)關(guān)系：

1）GH平面上單位圓的圓周與對數(shù)坐標(biāo)圖上的0dB線相對應(yīng)，單位圓的外部對應(yīng)于 ，單位圓的內(nèi)部對應(yīng)于 。

2）GH平面上的負(fù)實軸與對數(shù)坐標(biāo)圖上的 線相對應(yīng)。

如果 曲線以逆時針方向包圍（－1，j0）點一周，則此曲線必然由上向下穿越負(fù)實軸的 線段一次。由于這種穿越使相角增大，故稱為正穿越，其次數(shù)用 表示。反這，若 曲線按順時針方向包圍（－1，j0）點一周，則此曲線將由下向上穿越負(fù)實軸的 線段一次。由于這種穿越使相角減小，故稱為負(fù)穿越，其次數(shù)用 表示。圖5－48a所示的為正負(fù)穿越數(shù)各一次的圖形。顯然，對應(yīng)于圖5－48a上的正負(fù)穿越在伯德圖上表現(xiàn)為：在 的頻域內(nèi)，當(dāng) 增加時，相頻曲線 由下而上（負(fù)穿越）和由上而下（正穿越）穿過 線各一次，如圖5－48b所示。

不難看出，在極坐標(biāo)圖上 曲線對于（－1，j0）點的包圍圈數(shù)N與其相頻特性曲線 在對數(shù)坐標(biāo)圖上的負(fù)，正穿越數(shù)之差相等。即有

(5-52)

式中， 為在 頻率范圍內(nèi) 的負(fù)穿越數(shù)；為在 頻率范圍內(nèi) 的正穿越數(shù)。這樣，式（5－44）便可改寫為

(5-53)

應(yīng)用上式，就可得到對數(shù)頻率特性形式的奈奎斯特判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當(dāng)變化時，在 頻率范圍內(nèi)，相率特性 穿越 線的次數(shù)（正、負(fù)穿越數(shù)之差）為 。

在使用對數(shù)頻率特性的奈氏穩(wěn)定判據(jù)時，應(yīng)注意如下兩點：

（1） 判據(jù)中的頻率范圍是 ，而非如前述的 ；

（2） 若P為奇數(shù)，則意味著開環(huán)系統(tǒng)并未產(chǎn)生真正的穿越，即相頻特性的起點在負(fù)半軸