奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的推導(dǎo)和理解

　　什么是奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

　　奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率響應(yīng)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的準(zhǔn)則，由美國(guó)學(xué)者H.奈奎斯特1932年所提出?？刂葡到y(tǒng)在斷開反饋?zhàn)饔煤笏ǔ龅念l率響應(yīng)稱為開環(huán)頻率響應(yīng)。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)本質(zhì)上是一種圖解分析方法，且開環(huán)頻率響應(yīng)容易通過計(jì)算或?qū)嶒?yàn)途徑定出，所以它在應(yīng)用上非常方便和直觀。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)只能用于線性定常系統(tǒng)。

　　在經(jīng)典控制理論中，奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)主要用于分析單變量系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在此基礎(chǔ)上形成的頻率響應(yīng)法是經(jīng)典控制理論的主要分析和綜合方法之一。70年代以來，奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)已被推廣應(yīng)用于多變量系統(tǒng)（見多變量頻域方法）。

　　奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的推導(dǎo)和理解

　　先上結(jié)論，奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：

　　若奈奎斯特曲線不穿過（-1 ， j0）點(diǎn)，Z = P - 2N = 0 時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定若奈奎斯特曲線穿過（-1 ， j0）點(diǎn)，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定

　　其中，Z為包圍函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)

　　P為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)

　　N為奈奎斯特曲線包圍（-1 ， j0）的圈數(shù)

　　看上去挺抽象的哈，當(dāng)初我就死記著定理去考試了。要了解奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，得談到復(fù)變函數(shù)中的Cauchy定理，也就是輻角原理。輻角原理實(shí)際上就是畫圈圈，這里不詳述，請(qǐng)自己參照《復(fù)變函數(shù)》。

　　根據(jù)輻角原理，當(dāng)s在不穿過零極點(diǎn)的閉合軌跡上順時(shí)針運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，F(xiàn)（s）的值在復(fù)平面上順時(shí)針運(yùn)動(dòng)Z-P周（和書上表述可能有異，但這樣很好理解）。

　　其實(shí)就是s變量沿著閉合軌跡的變化對(duì)應(yīng)于F（s）值在復(fù)平面上有著相應(yīng)的變化。

　　為什么強(qiáng)調(diào)順時(shí)針呢？且看我慢慢道來，蛤蛤！

　　閉環(huán)傳函極點(diǎn)實(shí)際上就等價(jià)于F（s）=1+G（s）H（s）的零點(diǎn)，那么穩(wěn)定性判定就歸結(jié)為判定F（s）的零點(diǎn)在復(fù)平面的右半平面的分布情況。

　　F（s）在復(fù)平面上的運(yùn)動(dòng)軌跡可由G（s）H（s）的運(yùn)動(dòng)軌跡向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到；

　　研究F（s）的零點(diǎn)分布，先得找個(gè)合適的s變量運(yùn)動(dòng)軌跡，書上采用的是兩部分：

　　右半平面半徑無窮大的半圓

　　虛軸本身

　　例外：如果原點(diǎn)處存在開環(huán)極點(diǎn)，則以半徑無窮小的圓弧避開，形成類似于扇形的閉合曲線。

　　如果我們選取s變量的運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知，G（s）H（s）的運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，也即F（s）的運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱。

　　既然這樣，我們就只需要研究：虛軸上半部對(duì)應(yīng)的s變量的運(yùn)動(dòng)軌跡與G（s）H（s）軌跡的變化關(guān)系就好，這也是教科書上為何有R = 2 * N 的原因，下半部分的數(shù)量直接乘以2即可。

　　所以我們分析的就只是上圖紅色部分的s變量軌跡對(duì)應(yīng)于G（s）H（s）的運(yùn)動(dòng)軌跡所繞（-1 ， 0j）的圈數(shù)咯。那么，根據(jù)奈奎斯特曲線和可能存在的補(bǔ)線就能得出s變量的上半平面部分的運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的G（s）H（s）的運(yùn)動(dòng)“軌跡”，其實(shí)還存在于實(shí)軸對(duì)稱的另一部分軌跡啦，對(duì)應(yīng)于s運(yùn)動(dòng)軌跡的下半平面部分，也就是上圖的藍(lán)色部分。對(duì)應(yīng)這個(gè)詞，其實(shí)就是映射啦。

　　虛軸部分對(duì)應(yīng)于jw，同時(shí)，使s變量運(yùn)動(dòng)方向?yàn)轫槙r(shí)針，那么對(duì)應(yīng)于w是從0到無窮變化的，所以虛軸紅色部分也就對(duì)應(yīng)于G（s）H（s）的奈奎斯特曲線；

　　而對(duì)應(yīng)于紅色無窮大半徑圓環(huán)部分在開環(huán)傳函極點(diǎn)數(shù)大于等于零點(diǎn)數(shù)時(shí)，是收斂于0或者常數(shù)的

　　倘若開環(huán)傳函存在為零的績(jī)點(diǎn)，那么在原點(diǎn)處就會(huì)存在半徑為無窮小的圓弧，如上圖所示，當(dāng)然畫得不小，為了好看嘛。

　　此圓弧對(duì)應(yīng)于G（s）H（s）的運(yùn)動(dòng)軌跡是無窮大半徑的補(bǔ)線（當(dāng)然了，未必是圓，只是為了方便想象）

　　那么可以得出Z - P 的值，這里還要注意奈奎斯特曲線的方向哦，順時(shí)針或者逆時(shí)針，是影響到正負(fù)號(hào)的哦，我比較懶，就不具體指出了，留給讀者自己想咯。

　　說到這里已經(jīng)差不多啦，由奈奎斯特和可能存在的補(bǔ)線得到Z-P的值，就可以由P（開環(huán)傳函的極點(diǎn)數(shù)）的值得出（F（s）=1 + G（s）H（s）的零點(diǎn)數(shù)，也即閉環(huán)傳函的極點(diǎn)數(shù)）Z啦