FPGA有符號(hào)數(shù)，定點(diǎn)小數(shù)表示及計(jì)算機(jī)數(shù)值表示規(guī)則

計(jì)算機(jī)體系中，計(jì)算機(jī)并不認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)，那么計(jì)算機(jī)是如何表示負(fù)數(shù)呢？

當(dāng)計(jì)算機(jī)需要考慮負(fù)數(shù)時(shí)，我們常稱有符號(hào)數(shù)表示；反之則為無(wú)符號(hào)數(shù)表示。

有無(wú)符號(hào)數(shù)代表了當(dāng)前運(yùn)算過(guò)程是否存在負(fù)數(shù)，這個(gè)符號(hào)數(shù)的意義是什么，需要從1+1=(1)0講起。

以C語(yǔ)言的char類型為例，char字符占用8bit，從0000 0000 到1111 1111 ，正常人都知道1+（-1） = 0，而在8bit的char類型里面，什么數(shù)字+1會(huì)變成0？

答案是：1111 1111 + 0000 0001 = （1）0000 0000

可以看到1111 1111與0000 0001 相加最后會(huì)產(chǎn)生一個(gè)進(jìn)位1和0000 0000，由于8bit的限制，進(jìn)位溢出，最后的結(jié)果就是0000 0000。

所以，在有符號(hào)數(shù)表示的情況下，-1在計(jì)算機(jī)的表示方式就是1111 1111，同樣，-2對(duì)應(yīng)1111 1110等，最后得出規(guī)律，負(fù)數(shù)的表示方式為其絕對(duì)值的補(bǔ)碼的表示方式。取補(bǔ)碼過(guò)程如下：

以-1為例，8bit情況下

1. -1的絕對(duì)值為1，其對(duì)應(yīng)的8bit表示：0000 0001
2. 位取反，得反碼，1111 1110
3. 反碼加一得補(bǔ)碼，1111 1111

而正數(shù)則做好自身即可，不需做變換；有符號(hào)數(shù)表示情況下，n bit信號(hào)可以表示從

的整數(shù)，無(wú)符號(hào)數(shù)表示情況下，n bit信號(hào)可以表示從

的整數(shù)，注意信號(hào)的表示范圍，小心運(yùn)算結(jié)果溢出，即運(yùn)算結(jié)果超出上下限導(dǎo)致結(jié)果不對(duì)；

實(shí)際上，有符號(hào)情況下，最高位都是符號(hào)位，影響數(shù)據(jù)的正負(fù)性；當(dāng)最高位為1，表示負(fù)數(shù)；最高位為0，則為非負(fù)數(shù)，這就是為什么會(huì)用有符號(hào)數(shù)表示當(dāng)前存在負(fù)數(shù)情況的意義。

回到BPSK的FPGA工程中，我們需要遵循開(kāi)頭所述的映射規(guī)則，

• 0 -> -1
• 1 -> +1

一行代碼解決：

wire[1:0] code_o ;assign code_o =(code ==1'b1)?2'b01:2'b11;

因?yàn)樵贔PGA中，數(shù)據(jù)的位寬可以隨意設(shè)置，我們?cè)O(shè)置映射后的數(shù)據(jù)位寬為2bit，相較于m序列輸出的code信號(hào)只增加一個(gè)符號(hào)位，并通過(guò)三目運(yùn)算符完成需要的有符號(hào)數(shù)表示，符合需要的映射規(guī)則。

因?yàn)楹罄m(xù)與載波相乘可能會(huì)涉及到FPGA內(nèi)部的小數(shù)表示，所以這里一并講到。

FPGA本身無(wú)法表示小數(shù)，其內(nèi)部的小數(shù)表示都是按照某些協(xié)定的規(guī)則去理解的。

FPGA表示小數(shù)有定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)兩種方法，從簡(jiǎn)單的定點(diǎn)數(shù)講起，復(fù)雜的浮點(diǎn)數(shù)將在下篇文章講到。

熟知數(shù)電的數(shù)值規(guī)則可知，1.5可以表示為（01.10）的二進(jìn)制，即：

同理，0.75可以表示為（00.11）的二進(jìn)制。

雖然FPGA并沒(méi)有小數(shù)點(diǎn)，但我們心中有這個(gè)小數(shù)點(diǎn)。

兩者相加，0110 + 0011 = 1011

在無(wú)符號(hào)數(shù)情況下，在心中加上對(duì)應(yīng)小數(shù)點(diǎn)，（10.11）也就是2.25 。

但在有符號(hào)情況下，這個(gè)結(jié)果就不對(duì)，超過(guò)了4bit有符號(hào)2個(gè)小數(shù)位能表示的上限，這個(gè)時(shí)候就需要進(jìn)行符號(hào)位擴(kuò)展，即擴(kuò)展最高位，將最高位復(fù)制多個(gè)，放在最高位。

增加一個(gè)符號(hào)位，00110 + 00011 = 01011，這在有符號(hào)情況下就對(duì)了。

注意，定點(diǎn)數(shù)做加法需要對(duì)準(zhǔn)小數(shù)點(diǎn)，1.5可以用（01.1）表示，但是為了與（00.11）相加，（01.10）尾部需增加一個(gè)0，不影響大小卻使兩個(gè)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，也就是說(shuō)兩個(gè)定點(diǎn)小數(shù)相加，小數(shù)位少的需要在尾部加零，直到兩者小數(shù)位一樣。

乘法規(guī)則，為了表示特殊結(jié)果，使用1.5（01.10）和-0.75（11.01）相乘。

相乘過(guò)程 圖1

從圖1可以看到相乘過(guò)程，前三行比較簡(jiǎn)單，到第四行時(shí)，符號(hào)位1乘以0110，這個(gè)時(shí)候0110需要取補(bǔ)碼，并且擴(kuò)展1位符號(hào)位防止溢出，如果符號(hào)位為0則第四行直接為0；

可知最終結(jié)果為11101110，而（01.10）和（01.10）的小數(shù)位都是2位，相乘后為4位，所以最終表示為（1110.1110），根據(jù)補(bǔ)碼計(jì)算，可知結(jié)果為-1.125，結(jié)果正確。

乘法規(guī)則需要注意最高位符號(hào)位，適當(dāng)時(shí)可以擴(kuò)展符號(hào)位防止數(shù)據(jù)溢出，并根據(jù)乘數(shù)的小數(shù)位確定最終的小數(shù)位。

小數(shù)位的確定根據(jù)兩個(gè)數(shù)的小數(shù)位數(shù)相乘，再自行加在最終結(jié)果上。