計(jì)算機(jī)中的負(fù)數(shù)要用補(bǔ)碼來表示？

機(jī)器數(shù)和真值

機(jī)器數(shù)

一個(gè)數(shù)在計(jì)算中的二進(jìn)制表示形式，叫做這個(gè)數(shù)的機(jī)器數(shù)，機(jī)器數(shù)是帶符號(hào)的，正數(shù)為0，負(fù)數(shù)為1。

如 ：

• 十進(jìn)制數(shù)+3，機(jī)器數(shù)就是00000000000000000000000000000011
• 十進(jìn)制數(shù)-3，那機(jī)器數(shù)不就是10000000000000000000000000000011 ，想當(dāng)然~ 實(shí)際是11111111111111111111111111111101，這個(gè)數(shù)是-3的補(bǔ)碼形式，因?yàn)?strong>負(fù)數(shù)在機(jī)器中是以補(bǔ)碼的形式存在的。

真值

真正數(shù)學(xué)意義上的數(shù)值。因?yàn)榈谝晃皇欠?hào)位，所以機(jī)器數(shù)形式值就不等于真正的數(shù)值。 如：

00000000000000000000000000000011->+3
11111111111111111111111111111101->-3

當(dāng)然前面的舉例是針對(duì)有符號(hào)數(shù)來說的，對(duì)于無符號(hào)數(shù)，機(jī)器數(shù)和真值是一致的。

無符號(hào)數(shù)和有符號(hào)數(shù)機(jī)器數(shù)和真值換算方式

無符號(hào)數(shù)換算：

用一個(gè)函數(shù) B2Uw （Binary to Unsigned）的縮寫，長(zhǎng)度為w來表示：

如4位二進(jìn)制數(shù)：

有符號(hào)數(shù)換算方式

前面我們說過有符號(hào)數(shù)在計(jì)算機(jī)中的機(jī)器數(shù)是以補(bǔ)碼的形式存在的，其換算公式 B2Tw (Binary to Two`s complement)：

如下面4位二進(jìn)制數(shù)：

當(dāng)然還有一種大眾所知的方式：就是使用原碼，反碼，補(bǔ)碼變換規(guī)律

原碼，反碼，補(bǔ)碼

計(jì)算機(jī)機(jī)器數(shù)運(yùn)行效率問題

首先要清楚我們計(jì)算機(jī)中統(tǒng)一使用的是加法計(jì)算，對(duì)你沒聽錯(cuò)。。計(jì)算機(jī)居然不會(huì)減法，哈哈。

在補(bǔ)碼概念提出之前，我們來舉幾個(gè)例子：

可以看到在有負(fù)數(shù)參與的加法計(jì)算得到的結(jié)果是有誤的。

如果需要得到正確的結(jié)果，計(jì)算器不得不是有其他方式去得到，這樣必然就會(huì)影響運(yùn)行效率。

為了解決負(fù)數(shù)在計(jì)算機(jī)中運(yùn)行效率問題，科學(xué)家們提出了補(bǔ)碼的概念。

補(bǔ)碼：

使用補(bǔ)碼獲取真值

那如何使用補(bǔ)碼規(guī)則獲取一個(gè)負(fù)數(shù)的真值呢？

假設(shè)我們從計(jì)算中獲取了一個(gè)二進(jìn)制為10000001的8位機(jī)器數(shù)，如何獲取其真值。

• step1 .首先10000001是指一個(gè)補(bǔ)碼形式機(jī)器數(shù)，實(shí)際上在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中，所有的整數(shù)都是以補(bǔ)碼的形式存在，包括正數(shù)和負(fù)數(shù)，正數(shù)的補(bǔ)碼就是原碼自己所以統(tǒng)一使用補(bǔ)碼來存儲(chǔ)。
• step2 .按照補(bǔ)碼到反碼規(guī)則，在補(bǔ)碼10000001基礎(chǔ)上-1，將得到反碼：10000000
• step3 .按照反碼到原碼規(guī)則，將符合位不變，反碼取反即可得原碼：11111111
• step4 .按照原碼的真值概念：原碼的符合位為符號(hào)位，不參與計(jì)算，其他位為真值的絕對(duì)值即可：- 127

補(bǔ)碼的計(jì)算邏輯

我們回到前面分析運(yùn)行效率時(shí)舉的正正，負(fù)負(fù)，正負(fù)相加例子：

這里我們使用補(bǔ)碼再來計(jì)算下：

可以看出，將符號(hào)以補(bǔ)碼的形式存儲(chǔ)在計(jì)算機(jī)中之后就可以使用加法來代替減法的操作，大大提高了計(jì)算機(jī)的運(yùn)行效率。

補(bǔ)碼的設(shè)計(jì)來源

通過文章前半部分介紹，相信你已經(jīng)對(duì)補(bǔ)碼有了一個(gè)比較全面的概念了，但是補(bǔ)碼是怎么設(shè)計(jì)出來的呢？

數(shù)學(xué)里面有一個(gè)“補(bǔ)數(shù)”概念。

補(bǔ)數(shù)

生活中有很多例子，只要是 帶周期性的事務(wù)性質(zhì)的都可以用補(bǔ)數(shù)來形容 。比如：時(shí)鐘或者轉(zhuǎn)盤等。

假設(shè)當(dāng)前時(shí)間是2點(diǎn)，你要讓時(shí)鐘顯示到12點(diǎn)，那么有兩個(gè)方式。

• 方式1 .將指針順時(shí)針撥動(dòng)10個(gè)點(diǎn)，做的是 加法 ：+10。
• 方式2 .將指針逆時(shí)針撥動(dòng)2個(gè)點(diǎn)，做的是 減法 ：-2。

對(duì)于時(shí)鐘來說，不管你是方式1的加法運(yùn)行還是方式2的減法運(yùn)算，指針都指向了12點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)的效果是一致的， 那我們就說+10和-2是兩個(gè)補(bǔ)數(shù)，它們的絕對(duì)值之和12就是補(bǔ)數(shù)的模 。

這種規(guī)律也被應(yīng)用到計(jì)算機(jī)二進(jìn)制中 。下面我們使用一個(gè)例子來看：

假設(shè)要計(jì)算：（5）+（-1） = 5+(+?)

• 5在計(jì)算機(jī)中的原碼： 0 0 0 0 0 1 0 1
• -1在計(jì)算機(jī)中的原碼：1 0 0 0 0 0 0 1

要將這個(gè)減法操作變?yōu)榧臃ú僮鳎滓蝿?wù)就是找到模，然后得到-1的正補(bǔ)數(shù)相加即可 。

來看我們的時(shí)鐘，每撥動(dòng)12格為一個(gè)周期，就是說復(fù)原了，一樣的， 8bit位范圍是-128~127 ,（注意這里我們?yōu)榱司?jiǎn)分析使用的是8位來測(cè)試計(jì)算，實(shí)際計(jì)算機(jī)中場(chǎng)景一般都是32位格式4個(gè)字節(jié)或者64位計(jì)算）所以 其一個(gè)周期就是256，也就是其模就是256 （1 0000 0000），不管你是加上256還是減少256，在二進(jìn)制中，值都是不變的，因?yàn)樽詈笠晃皇且绯鑫?，不?huì)去計(jì)算。

通過以上分析我們找到了-1（1 0 0 0 0 0 0 1）的模為256(1 0000 0000),-1的補(bǔ)數(shù)為（+255）：0 1111 1111

這樣就將5-1這個(gè)減法運(yùn)算變更為了5+255這個(gè)加法操作

下面我們來看5+255：

5:0000 0101

255：0 1111 1111 

二進(jìn)制相加后：1 0000 0100 ->最高位溢出丟棄所以結(jié)果為4.

看到是不是和5-1結(jié)果一樣呢？。

其實(shí)計(jì)算機(jī)中的補(bǔ)碼也是這個(gè)模式： 找到一個(gè)與負(fù)數(shù)等價(jià)的正補(bǔ)數(shù)，使用該正補(bǔ)數(shù)代替負(fù)數(shù)，從而將減法運(yùn)算替換為兩個(gè)正數(shù)加法運(yùn)算 ，補(bǔ)碼的出現(xiàn)與運(yùn)算器的電路設(shè)計(jì)有關(guān)，從設(shè)計(jì)者的角度看，希望盡可能簡(jiǎn)化電路設(shè)計(jì)和計(jì)算復(fù)雜度。而使用正補(bǔ)數(shù)代替負(fù)數(shù)就可以消除減法器，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化電路的目的。

我們下期見。

參考：為什么計(jì)算機(jī)中的負(fù)數(shù)要用補(bǔ)碼表示？