計(jì)算機(jī)組成原理——數(shù)值型數(shù)據(jù)的表示

數(shù)值型數(shù)據(jù)的表示

在計(jì)算機(jī)中，無(wú)論是何種形式的數(shù)據(jù)均采用數(shù)字化形式表示，即用“0”、“1”兩個(gè)基本符號(hào)構(gòu)成的編碼表示，以便采用數(shù)字電路實(shí)現(xiàn)其存儲(chǔ)與處理。

• 本節(jié)主要內(nèi)容
• 數(shù)制
• 數(shù)的機(jī)器數(shù)
• 定點(diǎn)與浮點(diǎn)格式

數(shù)制

二進(jìn)制閱讀、書寫不方便，引入八進(jìn)制、十六進(jìn)制。它們與十進(jìn)制之間以及相互之間如何轉(zhuǎn)換？

各種數(shù)制

數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換

• N進(jìn)制 ? 十進(jìn)制 “按權(quán)展開(kāi)再相加”

• 十進(jìn)制 ? N進(jìn)制 整數(shù)部分：除N直到商為0，倒取余 小數(shù)部分：乘N直到精度滿足要求，正取整 例：28.628 = 11100.101B
• 十進(jìn)制 ? N進(jìn)制

十進(jìn)制轉(zhuǎn)換二進(jìn)制，常用湊數(shù)法。

• 二進(jìn)制 ? 十六進(jìn)制

以小數(shù)點(diǎn)為中心，向左右兩邊4位一組，不夠4位的左邊前補(bǔ)0，右邊后補(bǔ)0，然后把每4位寫出對(duì)應(yīng)的十六進(jìn)制數(shù)。

• 十六進(jìn)制 ? 二進(jìn)制

將每一個(gè)十六進(jìn)制數(shù)碼寫成對(duì)應(yīng)的4位二進(jìn)制碼，前后的無(wú)效0去掉。

二進(jìn)制與八進(jìn)制間的互換與十六進(jìn)制間的互換類似。

機(jī)器數(shù)

真值

正號(hào)（+）、負(fù)號(hào)（-）加二進(jìn)制或者十進(jìn)制的數(shù)值表示數(shù)據(jù)大小的形式在計(jì)算機(jī)原理中稱為真值。 如：+1011101B，或 -123.45

其中：“+”號(hào)經(jīng)常省略。

機(jī)器數(shù)

數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)中存儲(chǔ)或處理的數(shù)據(jù)形式稱為機(jī)器數(shù)。

正、負(fù)號(hào)也要用0、1表示。

機(jī)器數(shù)分有無(wú)符號(hào)數(shù)和有符號(hào)數(shù)。

無(wú)符號(hào)數(shù)

整個(gè)機(jī)器字長(zhǎng)的二進(jìn)制位均為數(shù)值位，沒(méi)有符號(hào)位。相當(dāng)于數(shù)的絕對(duì)值。

例如：10000011B表示十進(jìn)制無(wú)符號(hào)數(shù)的131。

字長(zhǎng)為n位的無(wú)符號(hào)數(shù)的表示范圍為0~2(n)-1。

若字長(zhǎng)為8位，則表示無(wú)符號(hào)數(shù)的范圍為0~255。

有符號(hào)數(shù)

約定：機(jī)器字的最高位為符號(hào)位，其余位為數(shù)值部分。一般“0”表示正數(shù)，“1”表示負(fù)數(shù)。

例如：真值為-1011101B的機(jī)器數(shù)可以表示為：

11011101。

符號(hào)位和數(shù)值位如何聯(lián)合表示一個(gè)數(shù)？計(jì)算機(jī)中有多種編碼形式，以適應(yīng)不同的應(yīng)用場(chǎng)合的需要。常用的編碼形式有：

• 原碼
• 反碼
• 補(bǔ)碼
• 移碼

一、原碼

• 定義：

最高位為符號(hào)位，0表示正，1表示負(fù)，的數(shù)值部分為真值絕對(duì)值。

即：除去符號(hào)用0或1表示外，其余部分與真值（二進(jìn)制）相同。

例如，8位機(jī)中，x=+1001101時(shí)，x=01001101

x=-1001101時(shí)，x=11001101

再如，5位機(jī)中，x=+0.1001時(shí)， x=0.1001

x=-0.1001時(shí)， x=1.1001

• 原碼定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式---用于一些數(shù)學(xué)推理

若真值x為純整數(shù)數(shù)，n位機(jī)中：

若真值x為純小數(shù)，n位機(jī)中：

根據(jù)原碼的定義，0的原碼有兩種不同的形式：

原碼表示的數(shù)據(jù)范圍

純整數(shù)n位機(jī)中：

純小數(shù)n位機(jī)中：

優(yōu)點(diǎn)：直觀易懂，與真值之間轉(zhuǎn)換簡(jiǎn)單；

實(shí)現(xiàn)乘、除法運(yùn)算規(guī)則簡(jiǎn)單。

缺點(diǎn)：實(shí)現(xiàn)加、減運(yùn)算的規(guī)則較復(fù)雜，電路實(shí)現(xiàn)困難。

二、反碼

• 定義

  正數(shù)的反碼和原碼相同；
  負(fù)數(shù)的反碼是將原碼中符號(hào)位不變，數(shù)值部分中的各位變反。

例如：

8位純整數(shù)機(jī)中，

8位純小數(shù)機(jī)中，

• 反碼特點(diǎn)

• 0的反碼也有兩種不同的形式：

  

• 表示的數(shù)據(jù)范圍與原碼一樣：

  純整數(shù)n位機(jī)中：

复制純小數(shù)n位機(jī)中：

三、補(bǔ)碼

是否能將減法運(yùn)算化為加法？

（1）模和補(bǔ)數(shù)

• 以鐘表為例，假設(shè)當(dāng)前時(shí)針指向8點(diǎn)，若要將時(shí)針撥到6點(diǎn)，有兩種方法：

逆時(shí)針撥2小時(shí)，或順時(shí)針撥10小時(shí)。

前者代表8-2=6，后者可以認(rèn)為是8+10=6（mod 12）。

在模為12時(shí)，-2和+10等價(jià)。稱-2的補(bǔ)數(shù)是10。

• 啟發(fā)：減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)換為加該數(shù)的補(bǔ)數(shù)。

補(bǔ)碼定義

有符號(hào)數(shù)x的補(bǔ)碼定義為：

對(duì)于n位純整數(shù)機(jī)，其模為2(n) ，數(shù)x的補(bǔ)碼為：

對(duì)于n位純小數(shù)機(jī)，其模為2 ，數(shù)x的補(bǔ)碼為：

按照定義求補(bǔ)碼

補(bǔ)碼****表示的數(shù)據(jù)范圍

注意：

補(bǔ)碼表示的數(shù)據(jù)范圍比原碼在負(fù)數(shù)方向多一個(gè)值。

補(bǔ)碼中，100...0中的最高位1既表示符號(hào)，又是數(shù)值位。

如，8位整數(shù)機(jī)，10000000是-128的補(bǔ)碼；

8位小數(shù)機(jī)，1.0000000是-1的補(bǔ)碼。

根據(jù)補(bǔ)碼的定義，0的補(bǔ)碼表示只有形式：000…0

定點(diǎn)和浮點(diǎn)格式

定點(diǎn)格式表示的數(shù)據(jù)范圍

有符號(hào)數(shù)的編碼不同，所表示的數(shù)據(jù)范圍不同。

四、移碼

移碼主要用于表示浮點(diǎn)數(shù)的階碼。由于階碼是整數(shù)，這里只討論x是整數(shù)時(shí)的移碼。

注意 ： 移碼符號(hào)位****的表示規(guī)律與原碼、反碼、補(bǔ)碼的相反。

移碼特點(diǎn)

如果將移碼看作無(wú)符號(hào)數(shù)，其大小直觀地反映了真值的大小。移碼全為0時(shí)，所對(duì)應(yīng)的真值最小，全為1時(shí)，所對(duì)應(yīng)的真值最大。因此，浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)（階碼）常用移碼表示。這樣比較兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)大小時(shí)，階碼編碼大數(shù)就大。

四種編碼小結(jié)

各有所長(zhǎng)，分別使用在不同的場(chǎng)合。補(bǔ)碼表示時(shí)加減運(yùn)算方便，目前機(jī)器中廣泛采用補(bǔ)碼存儲(chǔ)和運(yùn)算。有些機(jī)器做加減運(yùn)算時(shí)采用補(bǔ)碼，做乘除運(yùn)算時(shí)采用原碼。移碼主要用于表示浮點(diǎn)數(shù)的階碼。

同一個(gè)二進(jìn)制碼，所表示的含義不同，相對(duì)應(yīng)的實(shí)際值不同。下表給出8位二進(jìn)制碼00000000~11111111含義不同時(shí)，與其實(shí)際值之間的相應(yīng)關(guān)系。

在計(jì)算機(jī)中，小數(shù)點(diǎn)的問(wèn)題如何解決？

計(jì)算機(jī)中，沒(méi)有專門設(shè)置電路來(lái)表示數(shù)據(jù)的小數(shù)點(diǎn)，而是采用不同的數(shù)據(jù)格式約定小數(shù)點(diǎn)的位置。

常用的數(shù)據(jù)格式：

• 定點(diǎn)格式
• 浮點(diǎn)格式

定點(diǎn)格式

• 約定機(jī)器中小數(shù)點(diǎn)在數(shù)據(jù)編碼中的位置固定不變。

• 由于已約定，機(jī)器中不再用“.”記號(hào)表示。

• 任意n位定點(diǎn)數(shù)x，在計(jì)算機(jī)中的格式為：

  

• 理論上講，小數(shù)點(diǎn)可以固定在任何位置。但計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)時(shí)通常將數(shù)據(jù)設(shè)定為純小數(shù)和純整數(shù)兩種。

定點(diǎn)格式表示的數(shù)據(jù)范圍

有符號(hào)數(shù)的編碼不同，所表示的數(shù)據(jù)范圍不同。

• 將其轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)機(jī)所能處理范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)，得到的運(yùn)算結(jié)果再根據(jù)比例因子還原成實(shí)際值。
• 定點(diǎn)格式所能處理的數(shù)據(jù)范圍十分有限。如果同時(shí)有絕對(duì)值非常大或絕對(duì)值非常小的數(shù)，用同樣的比例因子進(jìn)行處理，很難兼顧數(shù)值范圍和運(yùn)算精度的要求，為此引入浮點(diǎn)數(shù)表示。

浮點(diǎn)格式—浮點(diǎn)數(shù)

• 浮點(diǎn)數(shù)：小數(shù)點(diǎn)在數(shù)據(jù)中的位置可以浮動(dòng)。
• 任意一個(gè)R進(jìn)制數(shù)N，其浮點(diǎn)數(shù)可以寫成：

其中：

• M尾數(shù)：表明數(shù)據(jù)有效位數(shù)，決定了數(shù)據(jù)的精度。
• E階碼：一個(gè)整數(shù)，指明小數(shù)點(diǎn)的位置。決定數(shù)據(jù)的大小。
• R基數(shù)：計(jì)算機(jī)中一般規(guī)定為2、8或16。

例如，二進(jìn)制數(shù)101.00101的浮點(diǎn)數(shù)形式可以寫成：

• 階碼的取值不同，小數(shù)點(diǎn)的位置在尾數(shù)中進(jìn)行浮動(dòng)。

浮點(diǎn)格式— 一般格式

• 浮點(diǎn)數(shù)的一般格式為：

基數(shù)約定為2，階碼E和尾數(shù)M是有符號(hào)數(shù)。

• 浮點(diǎn)數(shù)的具體格式有很多種形式：
• 尾數(shù)和階碼可采用不同的機(jī)器碼
• 數(shù)符的位置也可放在首位
• 多數(shù)尾數(shù)是純小數(shù)，采用原碼或補(bǔ)碼表示。IEEE754浮點(diǎn)格式尾數(shù)采用1.M形式。
• 階碼為純整數(shù)，可以采用補(bǔ)碼或移碼表示。

浮點(diǎn)格式—表示的數(shù)據(jù)范圍

• 浮點(diǎn)格式表示的數(shù)據(jù)范圍主要由階碼的位數(shù)決定，精度主要由尾數(shù)的位數(shù)決定。
• 階碼和尾數(shù)采用的機(jī)器碼不同，其所能夠表示的數(shù)據(jù)范圍不同。
• 例如：32位浮點(diǎn)格式，階碼8位（含階符1位）移碼表示；尾數(shù)24位（含數(shù)符1位）補(bǔ)碼表示。

浮點(diǎn)格式—表示的數(shù)據(jù)范圍

32位浮點(diǎn)格式，階碼8位（階符1位）移碼表示；尾數(shù)24位（含數(shù)符1位）補(bǔ)碼表示。其能表示的數(shù)據(jù)范圍:

顯然，浮點(diǎn)格式表示的數(shù)據(jù)范圍比定點(diǎn)格式要大很多

浮點(diǎn)格式—機(jī)器零

機(jī)器零的規(guī)定：

• 浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)值為零時(shí)；
• 階碼小于機(jī)器所能表示的最小值時(shí)；

浮點(diǎn)格式—規(guī)格化

• 同一數(shù)的浮點(diǎn)表示形式是不唯一的。

  例如：二進(jìn)制數(shù)101.00101的浮點(diǎn)數(shù)可以寫成：

• 規(guī)格化的概念

• 為了充分利用尾數(shù)有限的位數(shù)，提高運(yùn)算的精度，存儲(chǔ)數(shù)據(jù)中盡可能多是有效數(shù)字。

• 規(guī)定：浮點(diǎn)數(shù)尾數(shù)值不為0時(shí)，其最高數(shù)值位應(yīng)是有效位，即尾數(shù)的絕對(duì)值應(yīng)大于或等于0.5。這種形式的浮點(diǎn)數(shù)稱為規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)。

  

• 規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)的形式

• 編碼 0.1001000的浮點(diǎn)數(shù)是規(guī)格化；

• 編碼 1.0000100的浮點(diǎn)數(shù)也是規(guī)格化；

• 編碼0.1001000的浮點(diǎn)數(shù)是規(guī)格化；

• 編碼1.1000100的浮點(diǎn)數(shù)也是規(guī)格化；

• 尾數(shù)采用原碼表示時(shí)，尾數(shù)最高數(shù)值為1。如：8位尾數(shù)，

• 尾數(shù)采用補(bǔ)碼表示時(shí)，尾數(shù)符號(hào)和最高數(shù)值位一般應(yīng)為01或10的形式。如：8位尾數(shù)，

• 注意一種特例：當(dāng)尾數(shù)補(bǔ)碼表示，尾數(shù)值是-0.5時(shí)，其對(duì)應(yīng)的補(bǔ)碼為1.1000000，不是01或10的形式，也滿足規(guī)格化要求。

• 規(guī)格化處理

  方法：對(duì)尾數(shù)進(jìn)行移位，直到滿足上述規(guī)格化要求。尾數(shù)每左移一位，階碼減1；尾數(shù)右移一位，階碼加1。

• 若尾數(shù)原碼表示，
• N的浮點(diǎn)格式為0011 10010100
• 規(guī)格化后N的浮點(diǎn)格式：0001 11010000
• 若尾數(shù)補(bǔ)碼表示，
• N的浮點(diǎn)格式為0011 11101100
• 規(guī)格化后N的浮點(diǎn)格式為：0001 10110000

浮點(diǎn)格式—IEEE754浮點(diǎn)格式

• 為了便于軟件的移植，1985年IEEE（Institute of Electrical and Electronics Engineers）制定了IEEE754浮點(diǎn)格式標(biāo)準(zhǔn)。

• IEEE754浮點(diǎn)格式：

  

• 階碼E移碼表示 (-3+127) = 124 = 0111 1100

• 尾數(shù)原碼表示，且尾數(shù)整數(shù)部分為1，缺省存儲(chǔ)

• 真值為：
  

• IEEE754規(guī)定了三種浮點(diǎn)數(shù)的格式：?jiǎn)尉?、雙精度和擴(kuò)展精度。
• C語(yǔ)言中float和double型數(shù)據(jù)為IEEE754存儲(chǔ)格式

單精度浮點(diǎn)數(shù)格式：

雙精度浮點(diǎn)數(shù)格式：

說(shuō)明：階碼為全0和全1規(guī)定表示一些特殊的數(shù)值：

• E為0，且M為0時(shí)，表示機(jī)器0；
• E為全1，且M為0時(shí)，表示±∞；
• 若E為全0，而M為非0，IEEE754認(rèn)為是非規(guī)格化數(shù)；
• 若E為全1，而M為非0，IEEE754認(rèn)為是NaN（Not a Number非數(shù)值）數(shù)據(jù)。
• IEEE754規(guī)格化普通數(shù)：M非0，階碼E的值在1254（或12046）之間，對(duì)應(yīng)的實(shí)際指數(shù)值為－126 +127（或－1022 +1023）。

十進(jìn)制數(shù)串的表示

十進(jìn)制數(shù)有兩種存儲(chǔ)和處理形式：字符串和壓縮的十進(jìn)制數(shù)串。

1.字符串形式

• 把十進(jìn)制數(shù)串當(dāng)作一個(gè)字符串，每一個(gè)十進(jìn)制數(shù)位及其正、負(fù)符號(hào)都用相應(yīng)的ASCII碼表示，各占一個(gè)字節(jié)，連續(xù)存放。
• 例如，數(shù)-352字符串存儲(chǔ)形式：
  
  *造成存儲(chǔ)空間的浪費(fèi)，數(shù)據(jù)處理不便，一般用于非數(shù)值計(jì)算的應(yīng)用領(lǐng)域中。

2.壓縮的十進(jìn)制數(shù)串形式

• 一個(gè)字節(jié)存放兩位十進(jìn)制數(shù)的BCD碼，常采用8421碼。

• 符號(hào)也用4位二進(jìn)制編碼表示，存放在最低數(shù)值位之后。

  例如，-2648的的壓縮十進(jìn)制數(shù)串表示為：

節(jié)省存儲(chǔ)空間，便于算術(shù)運(yùn)算，廣泛采用。

【知識(shí)拓展】 BCD碼

用4位二進(jìn)制數(shù)表示一位十進(jìn)制數(shù)的編碼稱為BCD碼（Binary Code Decimal）。

從4位二進(jìn)制的16個(gè)編碼中選取10個(gè)編碼表示十進(jìn)制的10個(gè)數(shù)碼，方法可以有很多種。常用的有8421碼、2421碼、余3碼、Gray（格雷）碼等。