計算機為什么使用補碼的形式來表示負數(shù)

計算機有三種編碼方式來表示同一個數(shù)：

原碼：符號位加上真值的絕對值，第一位表示符號，其余位表示值。

反碼：正數(shù)的反碼是其本身；負數(shù)的反碼是在其原碼的基礎上，符號位不變，其余位取反。

補碼：正數(shù)的補碼還是其本身；負數(shù)的補碼是在其原碼的基礎上，符號位保持不變，其余位取反，最后+1。即反碼加1。

對于+1和-1，

[+1] = [0001]原 = [0001]反 = [0001]補

[-1] = [1001]原 = [1110]反 = [1111]補

為什么計算機采用補碼的形式來表示負數(shù)呢？

首先我們知道，一個數(shù)在計算機中有正負之分，這個數(shù)的最高位（符號位）用來表示它的正負，其中0表示正數(shù)，1表示負數(shù)。

對于計算機來說，加法是最基礎的運算，要設計的盡量簡單。

根據(jù)加法的運算法則，a-b等于a+(-b)。

如果能將符號位也參與到運算中，而非單獨“辨識符號位”，就可以大大簡化計算機的基礎電路。

于是，人們開始探索只保留加法，并將符號位參與到運算中的方法。

1、原碼：1 - 1 = 0

首先來看原碼：1 - 1 = 0

1 - 1 = 1 + (-1)

= [0001]原 + [1001]原

= [1002]原

= -2

這顯然是錯誤的。

2、反碼：1 - 1 = 0

對于反碼：

1 - 1 = 1 + (-1)

= [0001]反 + [1110]反

= [1111]反

= [1000]原

= -0

用反碼進行計算，發(fā)現(xiàn)結果是對的。但有一個問題是“0”的表示有兩個：

-0（[1000]）

+0（[0000]）

而0帶符號是沒有意義的。

且采用補碼形式，對于4位的二進制，其表達的范圍為：[1000]反~[0111]反，即[1111]原~[0111]原，也即[-7，7]。

因為“0”有兩個編碼形式，所以等于浪費了一個編碼。

3、補碼：1 - 1 = 0

而補碼解決了反碼的問題：

1 - 1 = 1 + (-1)

= [0001]補 + [1111]補

= [0000]補

= [0000]原

= 0

使用補碼, 不僅僅解決了0的符號以及存在兩個編碼的問題，而且還能夠用[1000]來表示-8，即多表示一個最低數(shù)。

即對于4位的二進制，使用原碼或反碼表示的范圍為[-7，+7]，而使用補碼表示的范圍為[-8，7]。

因為計算機采用補碼來表示負數(shù)，所以對于編程中常用到的32位int類型，可以表示范圍是：[-2^31，2^31-1] 。