計(jì)算微波電路的并行算法詳解

一、引　　言

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步，有限時(shí)域差分方法（FDTD-Finite Difference Time Domain）可以研究的微波電路的越來(lái)越廣泛，從無(wú)源電路到有源電路，從線性電路到非線性電路，從準(zhǔn)TEM系統(tǒng)到色散系統(tǒng)，F(xiàn)DTD都已得到了成功的應(yīng)用。

但是，當(dāng)電路的幾何結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，電路電尺寸較大時(shí)，不論是其所占用的計(jì)算機(jī)內(nèi)存還是所需要的計(jì)算時(shí)間都是非常巨大的，甚至 在一些情況下即使耗費(fèi)了計(jì)算時(shí)間還無(wú)法得到需要的精度。例如，在分析波導(dǎo)膜片濾波器時(shí)，為正確模擬全部膜片的幾何結(jié)構(gòu)，F(xiàn)DTD柵網(wǎng)的網(wǎng)格尺寸選得非常小，從而導(dǎo)致描述整個(gè)波導(dǎo)濾波器的網(wǎng)格數(shù)量非常大。由于每?jī)蓚€(gè)膜片之間都是均勻波導(dǎo)傳輸線，使用與膜片相同的柵網(wǎng)顯然是不必要的。人們?cè)褂梅蔷鶆騀DTD柵網(wǎng)的辦法解決這個(gè)問(wèn)題，當(dāng)柵網(wǎng)的大小相差比較大時(shí)，不但收斂性不易控制，而且仍無(wú)法確保節(jié)省計(jì)算時(shí)間。將Diakoptics思想運(yùn)用于微波電路的全波分析，通過(guò)將電路分割為若干獨(dú)立的部分，根據(jù)每部分的具體結(jié)構(gòu)采用不同的網(wǎng)格，獨(dú)立地對(duì)各個(gè)部分進(jìn)行全波時(shí)域分析，由于每部分的網(wǎng)格是均勻的，因而容易保證算法的收斂性。

二、Diakoptics的概念

Diakoptics定義為：將一個(gè)電路分解為若干個(gè)較為簡(jiǎn)單的子電路，獨(dú)立計(jì)算子電路的特性，通過(guò)連接條件將子電路耦合連接。線性電路理論中子電路的特性用沖擊響應(yīng)函數(shù)表示；子電路間的耦合通過(guò)串行和并行兩種算法完成。串行算法是從電路首尾中的任一端開(kāi)始向另一端連接，依次將從參考面看入的子電路視為前一級(jí)子電路的負(fù)載，求出等效的子電路的輸入特性，并將此輸入特性看成更前一級(jí)子電路的負(fù)載…，串行算法思路比較簡(jiǎn)單，易于編寫(xiě)計(jì)算機(jī)程序，但存在的問(wèn)題是：當(dāng)電路中某一個(gè)子電路需要調(diào)整時(shí)，在該子電路之后連接的部分都要從新連接，而且所有的連接計(jì)算在時(shí)間及空間上只能順序進(jìn)行，計(jì)算效率較低；并行算法可以從電路中的任何位置開(kāi)始，同時(shí)計(jì)算若干個(gè)彼此相鄰的子電路的連接，且對(duì)某個(gè)子電路特性的調(diào)整并不影響其它子電路的連接，特別是當(dāng)某個(gè)子電路的特性需要反復(fù)調(diào)整時(shí)，對(duì)其余子電路的連接計(jì)算只需進(jìn)行一次。

研究微波電路問(wèn)題時(shí)，若微波電路可以被等效為一個(gè)線性網(wǎng)絡(luò)的話，則可以設(shè)想描述微波電路特性的格林函數(shù)可對(duì)應(yīng)于電路理論中的沖擊響應(yīng)函數(shù)。從電磁場(chǎng)理論角度看，時(shí)域格林函數(shù)g（r，t;r0，t0）為位于r0點(diǎn)的點(diǎn)源t0時(shí)刻施加的單位沖擊信號(hào)在觀察點(diǎn)r及t時(shí)刻的場(chǎng)，且滿足方程

（1）

兩個(gè)微波子電路連接時(shí)，其連接參考面上存在著復(fù)雜的耦合關(guān)系，這種耦合關(guān)系可以用電磁波在存在兩個(gè)不連續(xù)界面的媒質(zhì)中反射和透射現(xiàn)象來(lái)形象描述，如圖1所示。那么如何將Diakoptics算法應(yīng)用于微波電路特性分析中呢？在介紹這一點(diǎn)之前，本文首先簡(jiǎn)要介紹Diakoptics算法的數(shù)學(xué)描述。

圖1　媒質(zhì)中反射和透射現(xiàn)象可以用來(lái)形象描述兩個(gè)微波子電路間的耦合關(guān)系

三、Diakoptics算法的數(shù)學(xué)描述

以兩個(gè)二端口網(wǎng)絡(luò)的串、并行連接給出Diakoptics算法的數(shù)學(xué)描述。圖2假設(shè)兩個(gè)子電路的反射及透射波的沖擊響應(yīng)函數(shù)分別為：gr1（t），gr2（t），gt1（t），gt2（t）和hr1（t），hr2（t），ht1（t），ht2（t），上標(biāo)“r”表示反射波，“t”表示傳輸波，下標(biāo)1表示從輸入?yún)⒖济鎸?duì)電路作激勵(lì)，下標(biāo)2表示從輸出參考面對(duì)電路作激勵(lì)。設(shè)f為兩個(gè)子電路連接后電路的沖擊響應(yīng)函數(shù)。使用串行算法，從f網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济婵慈氲臎_擊響應(yīng)為：

fr1（t）=gr1（t）+gt2（t）*hr1（t）*gt1（t）+gt2（t）*hr1（t）

*gr2（t）*hr1（t）*gt1（t）+…+gt2（t）*（hr1（t）

*gr2（t））n*hr1（t）*gt1（t）+…;?。?）

使用并行算法，從f電路的輸入端口看入的沖擊響應(yīng)函數(shù)fr1（t），ft2（t）以及從f電路的輸出端口看入的沖擊響應(yīng)函數(shù)fr2（t），ft1（t）分別為：

fr1（t）=gr1（t）+gt2（t）*hr1（t）*gt1（t）+gt2（t）*hr1（t）

*gr2（t）*hr1（t）*gt1（t）+…+gt2（t）*（hr1（t）

*gr2（t））n*hr1（t）*gt1（t）+…

ft2（t）=gt2（t）*hr2（t）+gt2（t）*hr1（t）*gr2（t）*ht2（t）+…

+gr2（t）*（hr1（t）*gr2（t））n*hr2（t）+…?。?）

fr2（t）=hr2（t）+ht1（t）*gr2（t）*ht2（t）+ht1（t）*gr2（t）

*hr1（t）*gt2（t）*ht2（t）+…+ht1（t）*（gr2（t）

*hr1（t））n*gr2（t）*ht2（t）+…

ft1（t）=ht1（t）*gt1（t）+ht1（t）*gr2（t）*hr1（t）*gt1（t）+…

+ht1（t）*（gr2（t）*hr1（t））n*gr1（t）+…

其中，*代表時(shí)域卷積，上下標(biāo)的含義不變。

圖2　可說(shuō)明Diakoptics算法的兩個(gè)子電路連接示

多端口子電路連接時(shí)，上述算法依然成立，只是式中各沖擊函數(shù)應(yīng)換為相應(yīng)的子矩陣。例如設(shè)g網(wǎng)絡(luò)為輸入端有M個(gè)、輸出端有N個(gè)端口的M+N端口網(wǎng)絡(luò)，h網(wǎng)絡(luò)為輸入端有N個(gè)、輸出端有L個(gè)端口的N+L端口網(wǎng)絡(luò)（g與h相鄰面的端口數(shù)目應(yīng)相同），g網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济嫣幍姆瓷?、傳輸子矩陣分別為：

和

式中下標(biāo)代表參考面，i←j的意思為：i為響應(yīng)所在參考面，j為激勵(lì)所在參考面；上標(biāo)代表端口，m←n的意思為：n為輸入端口，m為輸出端口。同理，g網(wǎng)絡(luò)輸出參考面處的反射、傳輸子矩陣分別為：

和

h網(wǎng)絡(luò)相應(yīng)子矩陣可用同樣方法求得。連接后網(wǎng)絡(luò)的沖擊響應(yīng)函數(shù)［f］為：

［fr1（t）］=［gr1（t）］+［gt2（t）］*［hr1（t）］*［gt1（t）］+［gt2（t）］

*［hr1（t）］*［gr2（t）］*［hr1（t）］*［gt1（t）］+…

［ft2（t）］=［gt2（t）］*［ht2（t）］+［gt2（t）］*［hr1（t）］*［gr2（t）］*［ht2（t）］+…

［fr2（t）］=［hr2（t）］+［ht1（t）］*［gr2（t）］*［ht2（t）］+［ht1（t）］

*［gr2（t）］*［hr1（t）］*［gr2（t）］*［ht2（t）］+…

［ft1（t）］=［ht1（t）］*［gt1（t）］+［ht1（t）］*［gr2（t）］*［hr1（t）］*［gt1（t）］+…?。?）

其中［fr1（t）］、［ft1（t）］、［fr2（t）］和［ft2（t）］分別為M×M、L×M、L×L和M×L階子矩陣。下面以［gt2（t）］*［ht2（t）］為例說(shuō)明如何計(jì)算矩陣卷積，并以［gt2（t）］*［ht2（t）］的第一個(gè)元素為例，說(shuō)明其物理意義：

（5）

g1←11←2*h1←11←2：h子網(wǎng)絡(luò)輸出參考面上第一個(gè)端口的輸入通過(guò)gh連接面第1個(gè)端口的耦合在g子網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济嫔隙丝?產(chǎn)生的輸出；g1←21←2*h2←11←2:h子網(wǎng)絡(luò)輸出參考面上第一個(gè)端口的輸入通過(guò)gh交界面第2個(gè)端口的耦合在g子網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济嫔隙丝?產(chǎn)生的輸出；g1←N1←2*hN←11←2：h子網(wǎng)絡(luò)輸出參考面上第一個(gè)端口的輸入通過(guò)gh交界面第N個(gè)端口的耦合，在g子網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济嫔隙丝?產(chǎn)生的輸出；所以［gt2（t）］*［ht2（t）］的第一個(gè)元素描述了h網(wǎng)絡(luò)輸出參考面上第一個(gè)端口上的輸入耦合到g網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济娴谝粋€(gè)端口的輸出。

四、Diakoptics算法在微波電路分析中的實(shí)現(xiàn)

Diakoptics源于網(wǎng)絡(luò)理論，為將其應(yīng)用于微波電路的分析中，首先需要建立適于使用Diakoptics方法的微波電路的等效電路模型。

1.微波電路的等效時(shí)域網(wǎng)絡(luò)模型

建立微波電路等效時(shí)域網(wǎng)絡(luò)模型的基本方法是：利用基函數(shù)技術(shù)（或稱時(shí)域模技術(shù)）將參考面處的場(chǎng)表示為選定的正交基函數(shù)的線性組合，將一個(gè)微波網(wǎng)絡(luò)等效為一個(gè)多模電路，進(jìn)而再將多模電路等效為多端口網(wǎng)絡(luò)的方法。

選定的基函數(shù)滿足下述條件：只是空間坐標(biāo)的函數(shù)；與時(shí)間無(wú)關(guān)；構(gòu)成一個(gè)完備正交集。且對(duì)于給定的微波電路，選定的基函數(shù)應(yīng)能夠有效地描述電路中電磁場(chǎng)的分布規(guī)律。假設(shè)：X-Y平面為電路橫截面所在平面，Z為傳播方向，電路在Dirac-δ函數(shù)激勵(lì)下在z=z0處的電場(chǎng)分布為Ei（x，y，z0，t），{φmn（x，y）}為基函數(shù)族，用φmm（x，y）可將微波電路中t=t0，z=z0處的場(chǎng)表示為：

（6）

其中amn（z0，t0）為第（m，n）次基函數(shù)的系數(shù)，即幅度，這樣從參考面z=z0看入的微波電路可等效為一個(gè)基于基函數(shù)的等效時(shí)域多模電路?；瘮?shù)的函數(shù)形式既可以是適用于一般電路的正交函數(shù)形式，也可以是特別適用于某類電路的特殊正交函數(shù)。一般說(shuō)來(lái)，當(dāng)電路幾何結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，不易根據(jù)電路特性選取特殊的正交函數(shù)作為基函數(shù)時(shí)，可以選取矩形脈沖函數(shù)（取網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)的值作為整個(gè)網(wǎng)格的平均值，故脈沖寬度為一個(gè)網(wǎng)格的寬度）。但因脈沖函數(shù)描述的只是系統(tǒng)的局部信息，因此要達(dá)到足夠的精度，函數(shù)的展開(kāi)項(xiàng)數(shù)較多。當(dāng)正交函數(shù)可以有效表述電路的全局信息時(shí)，通常只需幾項(xiàng)或十幾項(xiàng)，就可以達(dá)到所需的精度。例如，對(duì)于均勻填充的矩形波導(dǎo)問(wèn)題，如根據(jù)波導(dǎo)內(nèi)的場(chǎng)的分布特性，把基函數(shù)選為{sin，cos}正交函數(shù)集，通常只需5項(xiàng)就可以滿足要求。相比較之下，至少需要60個(gè)脈沖即60個(gè)結(jié)點(diǎn)方可較準(zhǔn)確地描述波導(dǎo)系統(tǒng)橫截面上的空間場(chǎng)分布。

基函數(shù)的正交性使得每一個(gè)基函數(shù)可以被視為一個(gè)獨(dú)立的端口，因此上述基于基函數(shù)的等效時(shí)域多模電路就可以進(jìn)一步被視為一個(gè)多端口網(wǎng)絡(luò)。

2.等效多端口網(wǎng)絡(luò)特性的計(jì)算

沖擊函數(shù)的頻譜是無(wú)限寬的，因此不能直接使用FDTD算法求解系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)函數(shù).FDTD-Diakoptics使用高斯脈沖調(diào)制波作為激勵(lì)，通過(guò)加窗Fourier變換技術(shù)，求得有限帶寬微波電路的沖擊響應(yīng)函數(shù)。其中，高斯脈沖激勵(lì)的調(diào)制頻率為電路工作頻帶的中心頻率，脈沖寬度和脈沖時(shí)間采樣間隔取決于頻率分辨率和帶寬。盡管激勵(lì)脈沖具有有限帶寬導(dǎo)致FDTD-Diakoptics求得的沖擊響應(yīng)函數(shù)中包含了加窗帶來(lái)的影響（稱此時(shí)的沖擊響應(yīng)函數(shù)為準(zhǔn)沖擊響應(yīng)函數(shù)），但是只要滿足下述條件：使用FDTD-Diakoptics分析整個(gè)電路特性時(shí)，各個(gè)子電路使用具有相同頻譜特性的激勵(lì)脈沖，計(jì)入加窗對(duì)時(shí)域脈沖的展寬效應(yīng)，最終得到的沖擊響應(yīng)函數(shù)的頻域響應(yīng)是足夠準(zhǔn)確的。

五、FDTD-Diakoptics應(yīng)用實(shí)例及討論

本文以一個(gè)波導(dǎo)帶通濾波器的特性分析為例說(shuō)明該算法的應(yīng)用。圖3為一個(gè)具有5個(gè)膜片的矩形波導(dǎo)帶通濾波器（WR34）。按照本方法首先將該濾波器分為5個(gè)部分，使用FDTD對(duì)其進(jìn)行計(jì)算，求出在所有連接參考面處（圖中虛線所示）的場(chǎng)分布.FDTD計(jì)算中，高斯脈沖調(diào)制函數(shù)為：f（t）=AmaxA（x，y）exp［-（（t-t0）/T）2］.sin（2πf0t），其中調(diào)制頻率f0為WR34-TE10模單模工作頻帶的中心頻率；A（x，y）為激勵(lì)幅度空間分布，Diakoptics算法中需計(jì)算所有可能存在的基函數(shù)單一激勵(lì)時(shí)的響應(yīng)，所以A（x，y）依次選為每一個(gè)基函數(shù)。激勵(lì)函數(shù)幅度Amax取決于其沿傳播方向的衰減及計(jì)算精度，基本原則是達(dá)到不連續(xù)性處和觀察面處的場(chǎng)仍具有足夠大的幅度.T的取值要保證在激勵(lì)脈沖的頻譜上截止頻率點(diǎn)處的能量具有足夠小的值。本例中，WR34的單模工作頻帶為：fTE10=17.369GHz，fTE20=34.738GHz，f0=26.0535GHz，T=200（ps），t0=3T，Amax=10，基函數(shù)為φn（x）=sin，相應(yīng)的系數(shù)an（z0，t）如圖4所示（由于文章篇幅原因，只給出一個(gè)結(jié)果）。圖5為用本文方法得到的濾波器頻率特性，圖中可見(jiàn)該結(jié)果與FDTD結(jié)果吻合很好。

圖3　五膜片WR34波導(dǎo)帶通濾波器示意圖

圖4　本文方法得到的圖3中第一個(gè)子電路反射波基函數(shù)的系數(shù)圖5　圖3所示W(wǎng)R34波導(dǎo)濾波器的頻率特性

六、結(jié)　　論

本文介紹了一種分析復(fù)雜微波電路的新方法：FDTD-Diakoptics方法，它可克服傳統(tǒng)的FDTD方法需要大內(nèi)存、長(zhǎng)計(jì)算時(shí)間的弊病，并可充分發(fā)揮FDTD可易于研究復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)電路的優(yōu)勢(shì)，經(jīng)作者的若干分析設(shè)計(jì)實(shí)例證明，該方法不但比較靈活，且具有較高的精度，是一種比較有效的微波電路仿真分析方法.