點(diǎn)電荷的電勢(shì)公式的推導(dǎo)_點(diǎn)電荷的電勢(shì)分布公式

　　什么是電勢(shì)

　　靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)稱為電勢(shì)，或稱為靜電勢(shì)。在電場(chǎng)中，某點(diǎn)電荷的電勢(shì)能跟它所帶的電荷量（與正負(fù)有關(guān)，計(jì)算時(shí)將電勢(shì)能和電荷的正負(fù)都帶入即可判斷該點(diǎn)電勢(shì)大小及正負(fù)）之比，叫做這點(diǎn)的電勢(shì)（也可稱電位），通常用φ來表示。電勢(shì)是從能量角度上描述電場(chǎng)的物理量。（電場(chǎng)強(qiáng)度則是從力的角度描述電場(chǎng)）。電勢(shì)差能在閉合電路中產(chǎn)生電流（當(dāng)電勢(shì)差相當(dāng)大時(shí)，空氣等絕緣體也會(huì)變?yōu)閷?dǎo)體）。電勢(shì)也被稱為電位。

　　定理定律

　　在靜電學(xué)里，電勢(shì)（electric potential）（又稱為電位）定義為：處于電場(chǎng)中某個(gè)位置的單位電荷所具有的電勢(shì)能。電勢(shì)只有大小，沒有方向，是標(biāo)量，其數(shù)值不具有絕對(duì)意義，只具有相對(duì)意義。

　?。?）單位正電荷由電場(chǎng)中某點(diǎn)A移到參考點(diǎn)O（即零勢(shì)能點(diǎn)，一般取無限遠(yuǎn)處或者大地為零勢(shì)能點(diǎn)）時(shí)電場(chǎng)力做的功與其所帶電量的比值。

　　所以φA=Ep/q。在國(guó)際單位制中的單位是伏特（V）。

　?。?）電場(chǎng)中某點(diǎn)相對(duì)參考點(diǎn)O電勢(shì)的差，叫該點(diǎn)的電勢(shì)。

　　“電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)在數(shù)值上等于單位正電荷在那一點(diǎn)所具有的電勢(shì)能”。

　　公式：ε=qφ（其中ε為電勢(shì)能，q為電荷量，φ為電勢(shì)），即φ=ε/q

　　在電場(chǎng)中，某點(diǎn)的電荷所具的電勢(shì)能跟它的所帶的電荷量之比是一個(gè)常數(shù)，它是一個(gè)與電荷本身無關(guān)的物理量，它與電荷存在與否無關(guān)，是由電場(chǎng)本身的性質(zhì)決定的物理量。

　　電勢(shì)是描述靜電場(chǎng)的一種標(biāo)量場(chǎng)。靜電場(chǎng)的基本性質(zhì)是它對(duì)放于其中的電荷有作用力，因此在靜電場(chǎng)中移動(dòng)電荷，靜電場(chǎng)力要做功。但靜電場(chǎng)中沿任意路徑移動(dòng)電荷一周回到原來的位置，電場(chǎng)力所做的功恒為零，即靜電場(chǎng)力做功與路徑無關(guān)，或靜電場(chǎng)強(qiáng)的環(huán)路積分恒為零。［1］

　　靜電場(chǎng)的這一性質(zhì)稱為靜電場(chǎng)的環(huán)路定理。根據(jù)靜電場(chǎng)的這一性質(zhì)可引入電勢(shì)來描述電場(chǎng)，就好像在重力場(chǎng)中重力做功與路徑無關(guān)，可引入重力勢(shì)描述重力場(chǎng)一樣。電場(chǎng)中某一點(diǎn)的電勢(shì)定義為把單位正電荷從該點(diǎn)移動(dòng)到電勢(shì)為零的點(diǎn)，電場(chǎng)力所做的功。通常選擇無限遠(yuǎn)點(diǎn)的電勢(shì)為零，因此某點(diǎn)的電勢(shì)就等于把單位正電荷從該點(diǎn)移動(dòng)到無限遠(yuǎn)，電場(chǎng)力所做的功，表示為：

　　電勢(shì)的單位為V（伏），1V=1J/C（1焦/庫）。靜電場(chǎng)中電勢(shì)相等的點(diǎn)構(gòu)成一些曲面，這些曲面稱為等勢(shì)面。電力線總是與等勢(shì)面正交，并指向電勢(shì)降低的方向，因此靜電場(chǎng)中等勢(shì)面的分布就繪出了電場(chǎng)分布。電勢(shì)雖然是引入描述電場(chǎng)的一個(gè)輔助量，但它是標(biāo)量，運(yùn)算比矢量運(yùn)算簡(jiǎn)單，許多具體問題中往往先計(jì)算電勢(shì)，再通過電勢(shì)與場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系求出場(chǎng)強(qiáng)。電路問題中電勢(shì)和電勢(shì)壓（即電壓）是一個(gè)很有用的概念。電勢(shì)是普遍描述電場(chǎng)的電磁勢(shì)的特例。

　　應(yīng)用領(lǐng)域

　?。?） 熱噪聲在超導(dǎo)結(jié)中引起的靜電勢(shì)的多次增加和多次減少： 研究人員研究了在過阻尼和欠阻尼兩種情況下、在考慮了熱噪聲和有交流信號(hào)和直流信號(hào)同時(shí)輸入的情況下的超導(dǎo)結(jié)兩端的靜電勢(shì)。研究表明，隨著溫度的增加（熱噪聲的強(qiáng)度和溫度成正比），靜電勢(shì)會(huì)多次被增加和多次被減小 （靜電勢(shì)多次被增加的峰值對(duì)應(yīng)于靜電勢(shì)的共振激活現(xiàn)象）。另外，超導(dǎo)結(jié)兩端的靜電勢(shì)還表現(xiàn)出（噪聲引起的） 熱噪聲加強(qiáng)穩(wěn)定的現(xiàn)象。

　?。?） 耦合超導(dǎo)結(jié)系統(tǒng)（或器件）中時(shí)空噪聲的出現(xiàn)和其對(duì)輸運(yùn)的影響： 在該研究中，研究人員首次發(fā)現(xiàn)了時(shí)空噪聲可能出現(xiàn)在耦合超導(dǎo)結(jié)系統(tǒng)（一個(gè)超導(dǎo)量子干涉器件）中，并且時(shí)空噪聲與電子對(duì)的波函數(shù)的相差的關(guān)聯(lián)所引起的系統(tǒng)的對(duì)稱破缺能夠引起輸運(yùn)。通過對(duì)兩個(gè)模型（一個(gè)高斯噪聲模型和一個(gè)電報(bào)噪聲模型）的研究，研究人員發(fā)現(xiàn)在所研究的耦合超導(dǎo)結(jié)系統(tǒng)中幾率流總是負(fù)的并且隨著熱噪聲強(qiáng)度的增加而會(huì)出現(xiàn)一個(gè)“井”。根據(jù)研究人員的研究結(jié)果，研究人員可以控制噪聲使幾率流處于有利于科研人員的實(shí)驗(yàn)要求的狀態(tài)。比如，如果研究人員希望在實(shí)驗(yàn)中得到較大的負(fù)幾率流時(shí)，研究人員可以采取下面的兩個(gè)措施：a）。 在一定的環(huán)境擾動(dòng)下，我們可以適當(dāng)?shù)卣{(diào)整溫度使負(fù)幾率流處于上面所提到的“井” 的附近 （熱噪聲的強(qiáng)度與溫度成正比）以便于得到有利于我們實(shí)驗(yàn)要求的結(jié)果；b）。 在一定的溫度下，研究人員們應(yīng)當(dāng)采取一定的措施來調(diào)節(jié)環(huán)境擾動(dòng)以便使負(fù)幾率流的絕對(duì)值盡可能地大。

　?。?） 一個(gè)熱-慣性“ratchet”超導(dǎo)量子干涉器件（耦合超導(dǎo)結(jié)）中的混沌噪聲輸運(yùn)：研究了一個(gè)熱-慣性“ratchets”超導(dǎo)量子干涉器件中在有周期信號(hào)的輸入的情況下的混沌噪聲輸運(yùn)。 研究表明，通過控制溫度和外部輸入信號(hào)的強(qiáng)度，研究人員可以使輸運(yùn)的方向反號(hào)。當(dāng)溫度足夠低時(shí)，研究人員很容易得到混沌輸運(yùn)； 但當(dāng)溫度足夠高時(shí)，輸運(yùn)主要是熱噪聲輸運(yùn)。

　?。?） 環(huán)境擾動(dòng)下的耦合超導(dǎo)結(jié)： 研究人員在考慮了內(nèi)部熱漲落和外部環(huán)境擾動(dòng)的情況下研究了一個(gè)SQUID［超導(dǎo)量子干涉器件（耦合超導(dǎo)結(jié)）］，發(fā)現(xiàn)外部環(huán)境的擾動(dòng)可在SQUID中引起輸運(yùn)，通過控制內(nèi)部熱漲落和外部環(huán)境的擾動(dòng)之間的關(guān)聯(lián)可使靜電勢(shì)反號(hào)；并發(fā)現(xiàn)隨著系統(tǒng)內(nèi)部溫度的增加，電流—電壓特性越來越接近于正常狀態(tài)下的歐姆定律。

　?。?） 熱漲落和環(huán)境擾動(dòng)的關(guān)聯(lián)可在單個(gè)超導(dǎo)結(jié)中引起的靜電勢(shì)：它們卻在國(guó)際上激起了大量科研工作者的研究興趣。在相關(guān)論文中研究人員研究了外部環(huán)境的擾動(dòng)所引起的噪聲與內(nèi)部熱漲落的關(guān)聯(lián)在超導(dǎo)結(jié)中所引起的靜電勢(shì)。研究表明，系統(tǒng)內(nèi)部的熱漲落和外部環(huán)境的擾動(dòng)之間的關(guān)聯(lián)可以引起對(duì)稱破缺，從而在超導(dǎo)結(jié)中引起靜電勢(shì)。

　　點(diǎn)電荷的電勢(shì)公式的推導(dǎo)

　　電荷周圍產(chǎn)生的靜電場(chǎng)的電勢(shì)差與電勢(shì)的公式與推導(dǎo)：

　　一場(chǎng)源點(diǎn)荷為Q，在距Q為r的A點(diǎn)有一點(diǎn)電荷為q，求證：此A處電勢(shì)φ=kQ/r 證明：設(shè)無窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為0，則在電場(chǎng)力的作用下，q從r處運(yùn)動(dòng)到無窮遠(yuǎn)，電場(chǎng)力做功為qU.

　　將A到無窮遠(yuǎn)這段距離無限等分最遠(yuǎn)處距離為r0，A 處為rn，（0，1，2，……n為下標(biāo)）

　　1、式子：

　　kQq*（r（n-1）-rn）/rn^2+kQq*（r（n-2）-r（n-1））/r（n-1）^2+……+kQq*（r2-r3）/r3^2+kQq*（r1-r2）/r2^2+kQq*（r0-r1）/r1^2=qU

　　2、式子：

　　kQq*（r（n-1）-rn）/（rn*r（n-1））+kQq*（r（n-2）-r（n-1））/（r（n-1）*r（n-2））+……+kQq*（r2-r3）/（r3*r2）+kQq（r1-r2）/（r2*r1）+kQq*（r0-r1）/（r1*r0）=qU

　　因此

　　kQ/rn-kQ/r（n-1）+kQ/r（n-1）-kQ/r（n-2）+……+kQ/r3-kQ/r2+kQ/r2-kQ/r1+kQ/r1-kQ/r0=U kQ/rn-kQ/r0=U kQ/rn-0=φ-0 φ=kQ/rn，即φ=kQ/r

　　圖1 電勢(shì)公式的推導(dǎo)

　　點(diǎn)電荷的電勢(shì)分布公式

　　1、均勻分布的球面電荷（球面半徑為R。帶電量為q） 電勢(shì)分布公式為：

　　2、均勻分布的球體電荷（球體的半徑為R，帶電量為q）電勢(shì)分布公式為：

　　3、均勻分布的無限大平面電荷（電荷面密度為sigma） 電勢(shì)分布公式為：

　　其中假設(shè)r0處為零電勢(shì)參考點(diǎn)。若選取原點(diǎn)為零電勢(shì)參考點(diǎn)。即U0=0，那么其余處的電勢(shì)公式為：

　　4、均勻分布的無限長(zhǎng)圓柱柱面電荷電勢(shì)分布公式為：