電機(jī)繞組的齒諧波電勢

本文為西莫首席技術(shù)專家李保來老師（西莫ID：標(biāo)準(zhǔn)答案）原創(chuàng)文章，本期期刊西莫視角欄目收錄，并由西莫電子期刊主編hahafu整理發(fā)布以饗讀者

上期講了主極磁場分布不是正弦時產(chǎn)生的磁勢高次諧波。本期我們講另一種諧波電勢——齒諧波電勢。所謂齒諧波電勢就是諧波的次數(shù)與每極槽數(shù)有著特定關(guān)系的諧波電勢，根據(jù)上期講的“種瓜得瓜種豆得豆”理論，其實(shí)齒諧波電勢也是由于主極磁勢中存在著齒諧波磁勢引起的，只不過這種次數(shù)的諧波電勢被齒槽給“調(diào)制放大”了，為了說清楚齒諧波電勢被“調(diào)制放大”的機(jī)理，我們還是從任意υ次諧波電勢的幅值講起。

1 任意υ次諧波電勢的大小

1.1 任意υ次諧波磁勢產(chǎn)生的諧波磁場

上一期的(11)式講到，對于轉(zhuǎn)子主極任意一個υ次諧波磁勢所產(chǎn)生的磁場包括三種，現(xiàn)將上期的第(11)式的推導(dǎo)結(jié)果重新列出如下：

Bυ=Bυ0?sin(υ?ωt-υ?p?α)+∑Bυk?sin[υ?ωt-(k?Z+υ?p)α]+∑Bυk?sin[υ?ωt+(k?Z-υ?p)α] (1)

式中：Z為定子槽數(shù)；p為極對數(shù)；ω為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)電角速度；k=1,2,3…；

Bυ0=Fυ?λ0 (2)

Bυk=(1/2)?Fυ?λk (3)

上述⑴式表明，任意一個υ次諧波磁勢都會在氣隙中產(chǎn)生三種諧波磁場：一是極對數(shù)為υ?p、轉(zhuǎn)向與轉(zhuǎn)子相同(順轉(zhuǎn))、轉(zhuǎn)速為同步轉(zhuǎn)速的基本諧波磁場，(⑴式中第一項(xiàng)）；二是一系列極對數(shù)為k?Z+υ?p(k=1,2,3…)，轉(zhuǎn)速為n1?υ?p/(k?Z+υ?p)的順轉(zhuǎn)諧波磁場(⑴式中第二項(xiàng)和式）；三是一系列極對數(shù)為k?Z-υ?p，轉(zhuǎn)向或順轉(zhuǎn)或反轉(zhuǎn)、轉(zhuǎn)速為n1?υ?p/(k?Z-υ?p)的諧波磁場(⑴式中第三項(xiàng)和式）。雖然這些諧波磁場的極對數(shù)各不相同，轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)向也各式各樣，但卻都在定子繞組中感應(yīng)出相同頻率υ?f1的諧波電勢。接下來我們就分別對這三種磁場產(chǎn)生的諧波電勢進(jìn)行解析計算，需要說明的是，這里用解析法計算純粹是為了分析影響諧波電勢大小的因素，以便后續(xù)講解削弱諧波電勢的機(jī)理，實(shí)際設(shè)計電機(jī)時還是建議用有限元進(jìn)行定量仿真計算。

1.2 基本諧波磁場產(chǎn)生的υ次諧波電勢

基本諧波磁場的極對數(shù)為υ?p，轉(zhuǎn)速為n1，磁場幅值為Bυ0。感應(yīng)出的諧波電勢頻率為υ?f1，諧波電勢有效值為：

Eυ0=4.44?υ?f1?Kdpυ?W?Φυ0(4)

Φυ0=(2/π)?Bυ0?τυ0?l (5)

τυ0=π?D/(2υ?p) (6)

式中：Φυ0為基本諧波磁場的每極磁通；τυ0為基本諧波磁場的極距；D為電樞直徑；l為鐵心長；W為每相串聯(lián)匝數(shù)；Kdpυ為υ次諧波繞組系數(shù)。將⑵、⑸、⑹式代入⑷式得：

Eυ0=4.44?υ?f1?Kdpυ?W?(2/π)?Fυ?λ0?π?D?l/(2υ?p)

=4.44?f1?(Kdpυ?W/p)?D?l?Fυ?λ0

=Ke?Kdpυ?Fυ?λ0(7)

式中：Ke=4.44?f1?W?D?l/p，對于已經(jīng)制造完成的電機(jī)，在一定的轉(zhuǎn)速下(f1一定)，Ke為一常數(shù)。由⑺式可見，由基本諧波磁場產(chǎn)生的υ次諧波電勢與υ次諧波的繞組系數(shù)Kdpυ、υ次諧波的磁勢幅值Fυ以及氣隙平均磁導(dǎo)λ0成正比，要想削弱基本諧波磁場產(chǎn)生的諧波電勢，需要從這三個方面入手(后續(xù)會詳細(xì)講解削弱方法)。

1.3 極對數(shù)為k?Z+υ?p的諧波磁場產(chǎn)生的υ次諧波電勢

極對數(shù)為k?Z+υ?p的諧波磁場轉(zhuǎn)速為n1?υ?p/(k?Z+υ?p)，磁場幅值為Bυk。在繞組中同樣感應(yīng)出頻率為υ?f1的諧波電勢，諧波電勢有效值為：

E′υk=∑【k=1,2,3…】4.44?υ?f1?Kdpυ?W?Φ′υk(8)

Φ′υk=(2/π)?Bυk?τ′υk?l (9)

τ′υk=π?D/[2(k?Z+υ?p)] (10)

式中：Φ′υk為極對數(shù)為k?Z+υ?p的諧波磁場的每極磁通；τ′υk為極對數(shù)為k?Z+υ?p的諧波磁場的極距。將⑶、⑼、⑽式代入⑻式并整理得：

E′υk=∑【k=1,2,3…】(1/2)?Ke?Kdpυ?Fυ?λk/[k?Z/(υ?p)+1]

=∑【k=1,2,3…】(1/2)?Ke?Kdpυ?Fυ?∑【k=1,2,3…】(λk?(υ?p)/(k?Z+υ?p)

=Ke?Kdpυ?Fυ?∑【k=1,2,3…】λk?ξ1

=Eυ0?∑【k=1,2,3…】(λk/λ0)?ξ1(11)

式中：

ξ1=(υ?p)/[2?(k?Z+υ?p)] (12)

由(11)式可見，極對數(shù)為k?Z+υ?p (k=1,2,3…)的一系列諧波磁場產(chǎn)生的υ次諧波電勢有效值，除了與υ次諧波的繞組系數(shù)Kdpυ、υ次諧波的磁勢幅值Fυ以及k階氣隙磁導(dǎo)λk成正比外，還與一個系數(shù)ξ1有關(guān)，由(12)式可見，這個系數(shù)ξ1＜1，且(λk/λ0)＜1，這就意味著這種極對數(shù)為k?Z+υ?p(k=1,2,3…)的一系列諧波磁場產(chǎn)生的諧波電勢是在基本諧波磁場產(chǎn)生的感應(yīng)電勢的基礎(chǔ)上打了一個(λk/λ0)?ξ1的折扣。

1.4 極對數(shù)為k?Z-υ?p的諧波磁場產(chǎn)生的υ次諧波電勢

極對數(shù)為k?Z-υ?p的諧波磁場轉(zhuǎn)速為n1?υ?p/(k?Z-υ?p)，磁場幅值也為Bυk。在繞組中同樣感應(yīng)出頻率為υ?f1的諧波電勢，諧波電勢有效值為：

E″υk=∑【k=1,2,3…】4.44?υ?f1?Kdpυ?W?Φ″υk(13)

Φ″υk=(2/π)?Bυk?τ″υk?l (14)

τ″υk=π?D/[2(k?Z-υ?p)] (15)

式中：Φ″υk為極對數(shù)為k?Z-υ?p的諧波磁場的每極磁通；τ″υk為極對數(shù)為k?Z-υ?p的諧波磁場的極距。將⑶、(14)、(15)式代入(13)式得：

E″υk=∑【k=1,2,3…】(1/2)?Ke?Kdpυ?Fυ?λk/[k?Z/(υ?p)-1]

=(1/2)?Ke?Kdpυ?Fυ?∑【k=1,2,3…】λk?(υ?p)/(k?Z-υ?p)

=Ke?Kdpυ?Fυ?∑【k=1,2,3…】λk?ξ2

=Eυ0?∑【k=1,2,3…】(λk/λ0)?ξ2 (16)

式中：

ξ2=(υ?p)/[2?(k?Z-υ?p)] (17)

由(16)式可見，極對數(shù)為k?Z-υ?p (k=1,2,3…)的一系列諧波磁場產(chǎn)生的υ次諧波電勢有效值，同樣是在基本諧波磁場產(chǎn)生的感應(yīng)電勢的基礎(chǔ)上乘以一個系數(shù)(λk/λ0)?ξ2。但特別需要注意的是，對比(12)式和(17)式可見，對于任意諧波次數(shù)υ，ξ1總是小于1，這意味著對于第二種磁場產(chǎn)生的υ次諧波電勢總是在基本諧波磁場產(chǎn)生的諧波電勢基礎(chǔ)上打個折扣。而ξ2就不同了，由于其分母為2?(k?Z-υ?p)，當(dāng)k?Z與υ?p很接近時，分母會很小，導(dǎo)致ξ2可能大于1，甚至ξ2遠(yuǎn)大于1。這就意味著當(dāng)k?Z與υ?p很接近時，第三種諧波磁場產(chǎn)生的諧波電勢不僅不是打個折扣，而是被放大了。后面會詳細(xì)講到，齒諧波次數(shù)就屬于這種情況，也就是說第三種磁場是導(dǎo)致齒諧波被“放大”的主要因素。

綜上所述，對于任意υ次諧波磁勢，在繞組中產(chǎn)生的υ次諧波電勢是上述三種諧波磁場分別產(chǎn)生的υ次諧波電勢之和。當(dāng)然這三種諧波電勢還有相位問題，嚴(yán)格地說應(yīng)該是三種諧波電勢的相量和，由于這里我們主要討論開槽對諧波電勢大小的影響，為了簡化分析，忽略掉它們的相位因素，近似地認(rèn)為⑺、(11)、(16)三式之和即為總的諧波電勢，即：

Eυ≈Eυ0+E'υk+E"υk

=Eυ0+Eυ0?∑【k=1,2,3…】(λk/λ0)?ξ1 +Eυ0?∑【k=1,2,3…】(λk/λ0)?ξ2

=Eυ0?[1+∑【k=1,2,3…】(λk/λ0)?(ξ1+ξ2)]

=Ke?Kdpυ?Fυ?λ0?[1+∑【k=1,2,3…】(λk/λ0)?(ξ1+ξ2)] (18)

2 齒諧波電勢的特點(diǎn)

對同步電機(jī)的空載電勢進(jìn)行諧波分析表明，電勢的高次諧波中以次數(shù)為k?Z/p±1=2kmq±1的諧波較強(qiáng)，式中：Z為定子槽數(shù)；p為極對數(shù)；m為相數(shù)；q為每極每相槽數(shù)；k=1,2,3…。特別是整數(shù)槽繞組(q為整數(shù))、氣隙又比較小時，如果不采取有效措施，這種諧波會非常強(qiáng)，致使電勢波形出現(xiàn)嚴(yán)重鋸齒形畸變。

這種次數(shù)為k?Z/p±1次的齒諧波有兩個特點(diǎn)：一是這種諧波的次數(shù)與一對極下的槽數(shù)Z/p之間具有特定的關(guān)系；二是這種諧波的繞組系數(shù)正好與基波繞組系數(shù)相等。關(guān)于第一個特點(diǎn)從諧波次數(shù)上很明顯可以看出。關(guān)于第二個特點(diǎn)證明如下：

先求一階(k=1時)齒諧波的短距系數(shù)：

Kp(2mq±1)

=sin[(2mq±1)?(Y1/τ)?90o]

=sin[180o?Y1±(Y1/τ)?90o]

=±sin[(Y1/τ)?90o]

=±Kp1(19)

一階(k=1時)的分布系數(shù)：

Kd(2mq±1)

=sin[(2mq±1)?(q?α/2)]÷{q?sin[(2mq±1)?(α/2)]}

=sin(180o?q±q?α/2)÷[q?sin(180o±α/2)]

=±sin(q?α/2)÷[q?sin(α/2)]

=±Kd1(20)

以上兩式中Y1和τ均用槽數(shù)表示。

之所以稱這種諧波為齒諧波，是因?yàn)槎ㄗ娱_槽引起的氣隙磁導(dǎo)以齒頻呈周期性變化所致。按照以上兩式同樣的方法，不難推導(dǎo)出所有的k?(Z/p)±1=k?2mq±1次諧波(式中k=1,2,3…)的繞組系數(shù)大小都與基波繞組系數(shù)大小相等，都具有上述兩個特點(diǎn)，因此我們把它們都稱為齒諧波。這樣，齒諧波的次數(shù)為：

υz=k?(Z/p)±1=k?2mq±1 (21)

式中k=1,2,3…等整數(shù)。當(dāng)k=1時，υz=Z/p±1=2mq±1，稱為基本齒諧波或一階齒諧波；k=2時，υz=2?(Z/p)±1=4mq±1，稱為二階齒諧波；余類推。通常對于整數(shù)槽繞組，齒諧波的階次越低，諧波幅值越大。

3 產(chǎn)生齒諧波電勢的主要磁場的性質(zhì)

如前所述，轉(zhuǎn)子主極任意一個υ次諧波磁勢所產(chǎn)生的磁場包括式⑴中的三種磁場。對于次數(shù)為υ=υz=k?(Z/p)±1的齒諧波磁勢，其產(chǎn)生的第一種磁場——基本齒諧波磁場感應(yīng)的υ次諧波電勢Eυ0的計算方法和通常的空間諧波磁場磁場感應(yīng)的諧波電勢計算方法相同，開槽只是對平均磁導(dǎo)λ0略有影響，由⑺式可見，對Eυ0大小的影響不大，不再贅述。這里重點(diǎn)要分析的是后兩種諧波磁場感應(yīng)出的諧波電勢，即⑴式中的后兩項(xiàng)磁場和式感應(yīng)的電勢。

先將諧波次數(shù)υ=υz=k?Z/p±1代入⑴式中的第二項(xiàng)和式中，得：

Bυ′=∑Bυk?sin[υ?ωt-(2k?Z±p)α] (22)

再將諧波次數(shù)υ=υz=k?Z/p±1代入⑴式中的第三項(xiàng)和式中，得：

Bυ″=∑Bυk?sin(υωt±pα) (23)

上述兩種諧波磁場都會在繞組中感應(yīng)出頻率為υ?f1的高次諧波電勢，但對比(22)式和(23)式兩種諧波磁場的極對數(shù)和轉(zhuǎn)速，不難看出，(22)式所示諧波磁場的極對數(shù)為2k?Z±p，轉(zhuǎn)速為n1?υ?p/(2k?Z±p)，極對數(shù)很多，但轉(zhuǎn)速很慢，感應(yīng)出的諧波電勢不會很高(因?yàn)檗D(zhuǎn)速很慢)，因此這個諧波磁場是產(chǎn)生高次諧波電勢的次要因素，甚至可以忽略；再看(23)式所示諧波磁場，其極對數(shù)為p，轉(zhuǎn)速為±υ?n1，“±”號表示磁場的轉(zhuǎn)向，取“+”號時表示該諧波磁場轉(zhuǎn)向與基波轉(zhuǎn)向相反(反轉(zhuǎn))，取“-”號時表示該諧波磁場轉(zhuǎn)向與基波轉(zhuǎn)向相同(順轉(zhuǎn))。該諧波磁場的極對數(shù)與基波磁場極對數(shù)相同，但轉(zhuǎn)速卻為基波磁場轉(zhuǎn)速的υ倍，轉(zhuǎn)速很高，會在繞組中產(chǎn)生很高的諧波感應(yīng)電勢，這是產(chǎn)生高次諧波電勢的最大“元兇”，又由于其諧波次數(shù)υ=k?Z/p±1與定子每極槽數(shù)有著特定的關(guān)系，是由于定子開槽引起的齒磁導(dǎo)諧波磁場，進(jìn)而產(chǎn)生的非常強(qiáng)的諧波電勢，因此將這種次數(shù)的諧波電勢稱為齒諧波電勢，k=1時稱為一階齒諧波；k=2時稱為一階齒諧波；k=3時稱為一階齒諧波…余類推。

小結(jié)一下，對于次數(shù)為υ=k?Z/p±1的諧波磁勢，除了和其他諧波電勢一樣，產(chǎn)生一個同次數(shù)、與轉(zhuǎn)子同轉(zhuǎn)速的基本諧波磁場以外，由于定子開槽，還會調(diào)制出兩種(極對數(shù)分別為k?Z±υ?p)的齒磁導(dǎo)諧波磁場。其中基本諧波磁場在繞組中感應(yīng)出的同次諧波電勢計算方法與其它普通的諧波磁場感應(yīng)出的高次諧波電勢計算方法一樣，由于基本諧波磁場的轉(zhuǎn)速為同步轉(zhuǎn)速，因此感應(yīng)出的電勢也與其它諧波磁場感應(yīng)出的諧波電勢規(guī)律相同，沒有什么特別之處，大小只取決于本身諧波磁勢的大小和氣隙平均磁導(dǎo)大小，次數(shù)越高感應(yīng)電勢越小。另外兩種極對數(shù)為(k?Z±υ?p)的齒磁導(dǎo)諧波磁場中，取“+”時，極對數(shù)變?yōu)閗?Z+υ?p=2k?Z±p，極對數(shù)較多，轉(zhuǎn)速為n1?υ?p/(2k?Z±p)，轉(zhuǎn)速較慢，感應(yīng)出的υ次諧波電勢較小，可以忽略；取“-”時，極對數(shù)變?yōu)閜，與主極極對數(shù)相同，但轉(zhuǎn)速為±υ?n1，“±”號表示轉(zhuǎn)向不同，轉(zhuǎn)速是轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的υ倍，轉(zhuǎn)速很高，感應(yīng)出的υ次諧波電勢極大，這種情況只發(fā)生在υ=k?Z/p±1這種特定次數(shù)的諧波磁勢上，因此稱其為齒諧波。

由此可見，每個齒諧波電勢都是主要由一個極對數(shù)與基波極對數(shù)p相等，但轉(zhuǎn)速是基波轉(zhuǎn)速υ倍的旋轉(zhuǎn)磁場產(chǎn)生的。

4 齒諧波電勢為什么那么大

以上分析可知，諧波電勢是由(18)式中的三種電勢組成。對于次數(shù)為υz=k?Z/p±1的齒諧波電勢，則主要是(18)式中的第三項(xiàng)E″υk最大，我們抓主要矛盾，忽略其它兩個磁場產(chǎn)生的齒諧波，只考慮(18)式中第三項(xiàng)，即近似認(rèn)為齒諧波電勢：

Eυz≈E″υk=Ke?Kdpυ?Fυk?λk?ξ2(24)

對齒諧波：

ξ2=(υz?p)/[2?(k?Z-υz?p)]=±(1/2)υz (25)

Kdpυ=Kdp1 (26)

將(25)、(26)式代入(24)式得：

Eυz≈E″υk

=±(1/2)Ke?Kdp1?Fυk?υz?λk

=±(1/2)Ke?Kdp1?F1?λk (27)

式中：對于已經(jīng)制造完成的電機(jī)在一定的轉(zhuǎn)速下(f1一定)，Ke為一常數(shù)；F1=Fυk?υz為基波磁勢幅值。

由(25)、(26)、(27)式可見，齒諧波電勢之所以強(qiáng)大，主要原因有兩個：一是因?yàn)辇X諧波的繞組系數(shù)很高，與基波繞組系數(shù)相等；二是齒諧波的ξ2很大，相當(dāng)于齒槽把齒諧波電勢“放大”了。

由(27)式可見，各階齒諧波電勢的大小近似與該階齒磁導(dǎo)諧波的幅值λk成正比，由于階次越高齒磁導(dǎo)的幅值越小，一階齒磁導(dǎo)的幅值遠(yuǎn)大于二階、三階的齒磁導(dǎo)幅值，即：λ1＞＞λ2＞＞λ3…，因此一階齒諧波電勢最大，二階比一階會小很多，三階更小…，因此次數(shù)為Z/p±1的兩個一階齒諧波電勢最大，設(shè)計電機(jī)時必須采取措施來削弱它。另外由于各階齒諧波的繞組系數(shù)的絕對值都與基波繞組系數(shù)相等，因此不能靠減小繞組系數(shù)來削弱齒諧波電勢，否則基波電勢也會等比例削弱。

以上從任意諧波電勢入手，分析了齒諧波電勢的特點(diǎn)和產(chǎn)生齒諧波電勢的主要磁場的性質(zhì)，進(jìn)而指出了齒諧波電勢之所以強(qiáng)大的原因。本期的講解中又整出了一大堆令同學(xué)們頭疼的數(shù)學(xué)推導(dǎo)公式，如果你嫌煩可以跳過不看，重點(diǎn)記住文中紅色突出顯示內(nèi)容即可，不過如果你有時間，還是溫馨建議你慢慢消化一下那些公式，對深入理解齒諧波電勢有好處。

再次特別強(qiáng)調(diào)的是：按照上一期講的“種瓜得瓜種豆得豆”結(jié)論，電勢中的齒諧波必然是主極勵磁磁勢中包含了這種齒諧波次數(shù)的諧波磁勢引起，只不過經(jīng)過齒磁導(dǎo)諧波的“調(diào)制”，使得這種次數(shù)的諧波電勢得到了“放大”，因此才在電勢中含量較強(qiáng)。如果主極勵磁磁勢中不包含這種次數(shù)的齒諧波磁勢，那么電勢中也必然不會存在齒諧波電勢。因此齒諧波并不是因定子開槽而憑空多出來的諧波，而是首先要有勵磁磁勢的齒諧波“基因”作為“種子”，齒槽只是專門把它“挑出來”“孕育培養(yǎng)”，讓它“長大”。從這個意義上來說，可以說勵磁磁勢是齒諧波的“粑粑”，而齒槽則是齒諧波的“嫲嫲”。之所以叫“齒諧波”，主要是因?yàn)樗c齒槽有著千絲萬縷的聯(lián)系：一是它與齒槽“嫲嫲”有特殊的“親近”關(guān)系，特別招“嫲嫲”“待見”；二是它的“基因”里的繞組系數(shù)天然與“基波老大”相同，“贏在了起跑線”上，具有很大的“培養(yǎng)價值”，齒槽“嫲嫲”當(dāng)然就容易選中它，最終把它“溺愛”成了最大的“逆子”！

其實(shí)齒諧波的大小還與轉(zhuǎn)子上的阻尼繞組有關(guān)，如果阻尼繞組設(shè)計不當(dāng)，會使齒諧波電勢更加放大，如果您對李老師的文章還意猶未盡，歡迎5月27日-29日來無錫參加“電機(jī)NVH問題的機(jī)理及測試仿真”研修班，聽西莫首席技術(shù)專家通解電機(jī)NVH問題機(jī)理，教您如何更好地設(shè)計電機(jī)！

審核編輯：湯梓紅