手撕boost 推導(dǎo)buck的公式

這個(gè)文章我本來沒打算寫的，因?yàn)橹拔乙呀?jīng)寫了《手撕Boost！Boost公式推導(dǎo)及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證》，在我看來，Buck與boost是完全類似的，明白一個(gè)，另外一個(gè)也就明白了。

不過后來還是陸續(xù)有粉絲問我有沒有buck，那么今天就來推導(dǎo)下buck的公式。畢竟大家基礎(chǔ)也是各不相同，舉一反三有時(shí)還比較困難，有現(xiàn)成的更好。

如果沒看過手撕boost的，我建議可以先看看，因?yàn)橛泻芏嗟那疤釛l件在那里面有詳盡的解釋。這些前提條件在buck里面也是適用的，這篇文章就不會(huì)再贅述了，羅里吧嗦也不好。

先簡要說明一下文章會(huì)說哪些內(nèi)容。

1、buck的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，工作原理2、輸入輸出電容取值的推導(dǎo)過程，電感感量的計(jì)算過程3、boost各處電壓，電流波形4、buck，boost公式匯總5、實(shí)際電路應(yīng)用情況

Buck的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

Buck是直流轉(zhuǎn)直流的降壓電路，下面是拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，作為硬件工程師，這個(gè)最好是能夠記下來，了然于胸。

為啥要記下來，自然是因?yàn)檫@個(gè)電路太基礎(chǔ)了，并且誰都會(huì)用到，更重要的一點(diǎn)，面試可能會(huì)考。。。

上圖是個(gè)異步buck，同步buck就是將里面的二極管換成MOS管。

我用異步buck來分析的原因，就是覺得它要復(fù)雜一點(diǎn)，多了一個(gè)二極管導(dǎo)通壓降，如果異步的明白了，那么同步的自然也明白了。

并且，根據(jù)這個(gè)拓?fù)渫茖?dǎo)的公式也是適用同步Buck的，只需要讓公式里面的二極管壓降為0即可。

首先，還是來看下工作原理。

工作原理其實(shí)非常簡單，上圖中MOS管就是一個(gè)開關(guān)，只要這個(gè)速度夠快（開關(guān)頻率夠高），控制好導(dǎo)通與關(guān)斷時(shí)間（電感充放電時(shí)間），配合輸出濾波電容，就可以得到基本穩(wěn)定的Vo了，也就是輸出電壓。

下面來看下兩個(gè)過程，開關(guān)導(dǎo)通和開關(guān)斷開。

先看開關(guān)導(dǎo)通

開關(guān)導(dǎo)通時(shí)，二極管不導(dǎo)通，我們看電感，電感左邊是Vi，右邊是Vo，因?yàn)槭墙祲?，所以左邊大于右邊，那么電感兩端電壓是Vi-Vo，為恒定值。如果把電感電流向右定義為正，那么電感電流是線性增大的，因?yàn)長*di/dt=Vi-Vo，那么di/dt=(Vi-Vo)/L=常數(shù)。

開關(guān)斷開時(shí)，電感要續(xù)流，會(huì)產(chǎn)生反向電動(dòng)勢(shì)，讓二極管導(dǎo)通，二極管導(dǎo)通電壓是Vd。因?yàn)槎O管陽極接地，所以陰極電壓是-Vd，也就是電感左邊的電壓就是-Vd，右邊的電壓是Vo不變，因此電感兩端電壓是-Vd-Vo。此時(shí)電感電流是線性減小的，因?yàn)長*di/dt=-Vd-Vo，di/dt=-(Vo+Vd)/L=常數(shù)，并且是負(fù)值，所以是線性減小的。

推導(dǎo)公式

我們推導(dǎo)公式，是為了選型，選擇輸入濾波電容，輸出濾波電容，電感。

那么先把已知條件列出來

首先是輸入電壓Vi，輸出電壓Vo，輸出電流Vo/R，咱總得知道自己想要什么吧，所以這些在設(shè)計(jì)之初都是已知的。

其次是開關(guān)頻率f，這個(gè)在芯片選型之后就是確定的了。

再然后就是設(shè)計(jì)的目標(biāo)，輸入紋波大小△Vi，輸出紋波大小△Vo。

我們根據(jù)這些已知的量，就可以求得電感感量，輸入濾波電容大小，輸出濾波電容大小。

因?yàn)橛?jì)算的基本原理其實(shí)就是電容和電感的充放電。所以，我們首先要求的就是開關(guān)導(dǎo)通的時(shí)間和斷開的時(shí)間，或者說是占空比。

這個(gè)也非常簡單，我們可以這么想。

在開關(guān)導(dǎo)通的時(shí)候，電感兩端電壓是Vi-Vo。

在開關(guān)斷開的時(shí)候，輸出端電壓為Vo，二極管導(dǎo)通，那么電感右側(cè)就是Vo，電感左側(cè)接的是-Vd，所以此時(shí)電感兩端電壓是Vo+Vd。

整個(gè)電路穩(wěn)定之后，因?yàn)樨?fù)載電流恒定，那么一個(gè)周期時(shí)間之內(nèi)，在開關(guān)導(dǎo)通時(shí)電感電流增加的量，要等于開關(guān)截止時(shí)，電感電流減小的量，即電感充了多少電就要放多少電，不然負(fù)載的電流或者電壓就要發(fā)生變化。

即一個(gè)周期內(nèi)，電感電流增大量等于減小量。

然后又因?yàn)閁=Ldi/dt，di/dt=U/L，L不變，所以電感電流變化速度與電壓成正比。

簡單說就是，電感電流上升或下降的斜率與電壓成正比。

斜率與電壓成正比，電感電流上升的高度與下降高度又相同，那上升時(shí)間不就和電壓成反比了嗎？

所以，自然就有了：

Ton/Toff=(Vo+Vd)/(Vi-Vo)

我們變換一下，就得到了江湖所傳的“伏秒法則”

再根據(jù)T=Ton+Toff=1/f

我們可以分別求得導(dǎo)通時(shí)間，關(guān)斷時(shí)間，占空比。

如果是同步buck，那么Vd=0，則會(huì)見到我們經(jīng)?？匆姷墓?

功率電感選擇

我們電感選型首先需要考慮兩個(gè)參數(shù)，電感感量和電感電流。

電感電流分為2個(gè)，平均電流IL和紋波電流△IL。

先看平均電流

顯然，輸出電壓Vo基本不變，也就是說輸出濾波電容兩端電壓沒有變化，那么電容的平均電流為0，根據(jù)輸出節(jié)點(diǎn)的基爾霍夫電流定律，節(jié)點(diǎn)電流和為0，那么電感的平均電流就等于負(fù)載的平均電流Io。

即IL=Io=Vo/R。

然后我們?cè)賮砬箅姼械募y波電流△IL

從前面知道，電感電流就是個(gè)三角波，在開關(guān)導(dǎo)通時(shí)電感電流增大，在關(guān)斷時(shí)，電感電流減小。

那紋波電流的大小求起來就簡單了，就等于在開關(guān)導(dǎo)通時(shí)電感電流增大的值，也等于關(guān)斷時(shí)電感電流減小的值。

我們就計(jì)算其中一個(gè)，計(jì)算開關(guān)導(dǎo)通時(shí)電感電流增大了多少吧。

這個(gè)也非常easy，開關(guān)導(dǎo)通，電感兩端電壓是Vi-Vo，導(dǎo)通時(shí)間Ton前面已經(jīng)求出來了。

根據(jù)U=Ldi/dt就可以求出電感電流紋波△IL=di=U/L*Ton

可以看到，電感電流的紋波跟負(fù)載電流的大小沒有關(guān)系。

同時(shí)呢，我們也很容易得到電感的峰值電流，就是電感的平均電流加上紋波電流的一半嘛，即ILp=IL+△IL/2=Io+△IL/2。

也就是：

計(jì)算這個(gè)峰值電流有什么用呢？

電感選型時(shí)，電感的飽和電流必須大于這個(gè)ILp，并且要留一定的裕量。

現(xiàn)在我們已經(jīng)寫出來了電感的平均電流IL，電感的紋波電流△IL，△IL應(yīng)該是IL的20%-40%為宜。

即：△IL=(0.2~0.4)*IL

根據(jù)這個(gè)范圍，就能求得我們的電感值范圍了。

輸入濾波電容計(jì)算

我們?cè)诖_定輸入濾波電容的時(shí)候，是有一個(gè)假設(shè)的，這個(gè)假設(shè)是什么呢？

輸入電源默認(rèn)來自遠(yuǎn)方，是沒法提供快速變化的電流的。

實(shí)際應(yīng)用中，輸入電源可能距離很遠(yuǎn)，有了很長的走線，走線越長，寄生電感就越大，也就是說輸入電源不能快速響應(yīng)這個(gè)Buck輸入電流的需求。

因此，我們?cè)谝粋€(gè)周期時(shí)間內(nèi)，可以將輸入電源的電流看作是恒定的，穩(wěn)定狀態(tài)下，這個(gè)電流也等于電源輸入的平均電流Ii，我們先求一下電源輸入的平均電流Ii。

怎么求電源的輸入電流呢？

很簡單，使用能量守恒定律就可以了。

不考慮MOS管的損耗的話，那么用耗電的器件有2個(gè)，一個(gè)是二極管，一個(gè)是負(fù)載R。

由工作原理可知，二極管只在MOS開關(guān)斷開時(shí)有電流流過，其電流等于電感電流，并且一個(gè)周期內(nèi)有電流流過的時(shí)間為Toff，所以二極管的平均電流也等于電感的平均電流，為IL=Io。

一個(gè)周期內(nèi)二極管流過電流的時(shí)間為Toff，電流為IL，導(dǎo)通壓降為Vd。

所以二極管的功率為：

Pd=Vd*Io*Toff*f =Vd*Io *(Vi-Vo)/(Vi+Vd)

負(fù)載的功率是Pr=Io*Vo

電源輸入功率Pi=Vi*Ii

根據(jù)能量守恒，Pi=Pr+Pd，可以得到輸入電源的平均電流Ii為：

現(xiàn)在已經(jīng)求出Ii，在一個(gè)周期內(nèi)，電源的輸入電流可以看成恒定值，為Ii。

了解了這個(gè)前提條件，我們回到目標(biāo)：計(jì)算輸入濾波電容的容量

我們先理清下思路，輸入電壓紋波就是輸入電容上面的電壓變化。電容上面的紋波變化可以分成兩個(gè)部分。

一個(gè)是電容放電或者是充電，存儲(chǔ)了電荷量發(fā)生了變化，這個(gè)變化會(huì)導(dǎo)致電壓變化，可以用公式Q=CUq來表示，Uq即是電壓的變化。

另一個(gè)是電容有等效串聯(lián)電阻ESR，電容充放電時(shí)有電流流過，電流流過ESR會(huì)產(chǎn)生壓降，這個(gè)壓降用Uesr表示吧。

所以，電壓紋波應(yīng)該是：

△Vi=Uq+Uesr

1、電容電荷量變化引起的壓降Uq

我們看輸入節(jié)點(diǎn)，這個(gè)節(jié)點(diǎn)的電流有3個(gè)，一個(gè)是來自電源Vi輸入的，前面說了，在一個(gè)周期內(nèi)，它可以看作是恒定的，一個(gè)節(jié)點(diǎn)是電容，另外一個(gè)節(jié)點(diǎn)是開關(guān)。

根據(jù)基爾霍夫電流定律，節(jié)點(diǎn)電流和為0，并且電源輸入的電流恒定為Ii，那么輸入電容電流的變化量必然等于開關(guān)電流的變化量，因?yàn)樽罱K3者的和為0。

也就是說，開關(guān)斷開時(shí)，開關(guān)電流為0，那么電源輸入的電流全都流進(jìn)輸入電容，電容被充電，此時(shí)電容的充電電流為Ii。而開關(guān)導(dǎo)通時(shí)，電感需要續(xù)流，這個(gè)電流由電源輸入和輸入濾波電容二者共同提供，電容此時(shí)放電。

并且，開關(guān)切換的時(shí)候，開關(guān)電流是突變的。而三者電流和為0，那么電容的電流必然也是突變的。

我們畫出三者的電流波形如下：

一個(gè)周期內(nèi)，電容的充電電荷量和放電電荷量必然一樣，我們計(jì)算出其中一個(gè)就行了。

顯然，充電的時(shí)候更好計(jì)算，因?yàn)槌潆姇r(shí)開關(guān)斷開，電容的電流就是電源的輸入電流，是恒定的，為Ii。

根據(jù)Q=I*t，那么充入的電荷量為Q=Ii*Toff，電容充入電荷，會(huì)導(dǎo)致電壓變大，這個(gè)電壓的增量這里取個(gè)名字叫Uq，那么Q=Uq*C，也就是Uq=Q/C=Ii*Toff/C

最終可以求得Uq

2、電流流過電容的ESR造成的壓降Uesr

想要知道ESR造成的紋波大小，我們只需要知道流過電容的電流就知道了，因?yàn)殡妷旱扔陔娏鞒艘訣SR。

我們把電容的電流波形單獨(dú)畫一下。

這個(gè)波形下面解釋下：

在開關(guān)斷開的時(shí)候，電源輸入電流Ii全部進(jìn)入輸入濾波電容，因?yàn)閘i恒定，因此輸入濾波電容的電流就是恒定為li，此時(shí)電容充電，如果我們把充電電流定義為正，那么電流就是+li。

在開關(guān)導(dǎo)通之后，電感原本從二極管續(xù)流，變成了從MOS管續(xù)流，因?yàn)橹半姼幸恢痹诜烹姡郧袚Q時(shí)電感電流最小，等于IL-△IL/2，在整個(gè)Ton時(shí)間段內(nèi)，電感是被充電的，所以電感電流一直在增大，直到達(dá)到峰值電流IL+△IL/2。

并且在Ton時(shí)間內(nèi)，電感電流走的是MOS管通路，因此，Mos管電流最大也是IL+△IL/2。根據(jù)輸入節(jié)點(diǎn)電流和為0，這個(gè)電流等于輸入電源電流Ii和濾波電容的放電電流，所以濾波電容的最大放電電流為IL+△IL/2-Ii。因?yàn)榍懊娑x了充電電流為正，那么放電電流就為負(fù)，即濾波電容電流是：-(IL+△IL/2-Ii)。

知道了電流，ESR，那么我們就知道了紋波大小。

在開關(guān)斷開時(shí)，ESR上面產(chǎn)生的壓降是恒定的，為：Ii*ESR

在開關(guān)導(dǎo)通后，ESR上面產(chǎn)生的最大壓降是：-(IL+△IL/2-Ii)*ESR

兩者相減，得到的就是一個(gè)周期內(nèi)ESR引起的紋波大小，也就是：

Uesr=(IL+△IL/2)*ESR

計(jì)算過程如下：

好，我們已經(jīng)算出Uesr和Uq。

那么根據(jù)△Vi=Uesr+Uq，我們就可以△Vo的表達(dá)式了，如果知道△Vo，我們也能得到輸入濾波電容Ci的大小或者是ESR了。

輸入總的紋波公式：

這個(gè)公式看著有點(diǎn)復(fù)雜，有兩個(gè)參數(shù)都跟電容本身有關(guān)系，ESR和容量Ci。

考慮到我們的電容實(shí)際使用情況

陶瓷電容ESR小，容量小，Uq對(duì)紋波起決定作用，所以輸入紋波電壓可以近似為Uq，如果我們要限定紋波不能大于△Vi，那么Uq≤△Vi。

鋁電解電容容量大，ESR大，Uesr對(duì)紋波起決定作用，所以輸入紋波電壓可以近似Uesr，如果我們要限定紋波不能大于△Vi，那么Uesr≤△Vi

根據(jù)上面兩點(diǎn)，我們就可以去選擇合適的電容了。

陶瓷電容根據(jù)容量值去選

鋁電解電容根據(jù)ESR去選

好，現(xiàn)在輸入電容的理論計(jì)算已經(jīng)搞定了，我們接著看輸出濾波電容。

輸出濾波電容

相比輸入紋波△Vi大小，我們可能更關(guān)心輸出紋波△Vo的大小，畢竟是要帶負(fù)載的。同樣，紋波由電容容量和ESR決定。

1、電容電荷量變化引起的Uq

我們看輸出節(jié)點(diǎn)，這個(gè)節(jié)點(diǎn)的電流有3個(gè)，一個(gè)是來自負(fù)載的，它可以看作是恒定的，為Io=Vo/RL，一個(gè)節(jié)點(diǎn)是輸出濾波電容，另外一個(gè)節(jié)點(diǎn)是電感。

根據(jù)基爾霍夫電流定律，節(jié)點(diǎn)電流和為0，并且負(fù)載的電流恒定，那么電感電流的變化量必然等于電容電流的變化量，因?yàn)樽罱K3者的和為0。

我們畫出三者的電流波形如下：

根據(jù)節(jié)點(diǎn)電流和為0，那么輸出電容的電流變化就是功率電感的電流變化（你增大時(shí)我減小，你減小時(shí)我增大）。我們從上圖也可以很直觀的看出來。

顯然，電容電流大于0時(shí)，電容在充電，電容電流小于0時(shí)，電容在放電。并且圖中也可以看到，電容充電和放電時(shí)間長度是一樣的，都是周期的一半，T/2。

那充放電的電荷量是多少呢？

從前面知道，輸出電容的電流變化就是功率電感的電流變化，因?yàn)殡姼械募y波電流是△IL，那么電容的紋波電流也是 △IL。又因?yàn)殡娙莸钠骄娏魇?，所以電容的充電電流和放電電流都是△IL/2。

需要注意，電容電流是在大于0時(shí)充電，電流小于0時(shí)放電，也就是圖中陰影部分，充電與放電的切換的時(shí)刻并不是開關(guān)導(dǎo)通與斷開的時(shí)候，而是在中間時(shí)刻。

然后電容放電/充電的總電荷量Q等于電流乘以時(shí)間，這不就是圖中陰影三角形的面積嗎？

三角形底部是時(shí)間，充電/放電時(shí)間等于T/2

三角形的高為電感紋波電流的一半，△IL/2。

所以總放電量為Q=1/2*底*高

再結(jié)合Q=CUq，即可求得Uq了。

具體計(jì)算如下圖所示：

2、電流流過電容的ESR造成的壓降Uesr

前面波形圖知道，電容的充電電流最大是△IL/2，放電電流最大就是-△IL/2，負(fù)號(hào)表示電流方向，方向的不同，引起的壓降的電壓也是相反的。

那么ESR引起的總的壓降是：

Uesr=△IL/2*ESR-(-△IL/2*ESR)=△IL*ESR

最終，我們求得Uesr的公式如下：

好，我們已經(jīng)算出Uesr和Uq，那么根據(jù)△Vo=Uesr+Uq，就可以求出總的輸出紋波大小△Vo。

根據(jù)上面兩點(diǎn)，我們就可以去選擇合適的電容了。

陶瓷電容根據(jù)容量值去選

陶瓷電容ESR小，容量小，Uq對(duì)紋波起決定作用，所以可以近似為Uq，如果我們要限定紋波不能大于△Vo，那么Uq≤△Vo

鋁電解電容根據(jù)ESR去選

公式到這里就基本推完了。

公式匯總

下面把Buck所有的公式匯總下，如下圖：

之前寫過boost的公式推導(dǎo)，不過沒匯總公式，現(xiàn)在也匯總?cè)缦拢?/p>

實(shí)際電路應(yīng)用

公式現(xiàn)在都已經(jīng)推出來了，這些公式都是從拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)里面推出來的，我們也會(huì)在很多芯片手冊(cè)中看到這些公式，那么我們?cè)O(shè)計(jì)時(shí)，按照這些公式選擇電容可以嗎？

答案是：no，no，no！

原因在于，實(shí)際我們使用的器件都不會(huì)是理想的。

就陶瓷電容來說，一個(gè)直流偏壓特性，可能就使得電容實(shí)際容量只有標(biāo)稱值的30%甚至更低。

還有電容會(huì)有ESL等參數(shù)，電路本身還有會(huì)其它的損耗等等，這些都會(huì)使得buck/boost實(shí)際輸出與理論推導(dǎo)有較大的出入。

雖然這些公式不能直接套用，但是我們根據(jù)它們也能大致知道是個(gè)什么情況，所以其作用還是有的，我們?cè)O(shè)計(jì)時(shí)也需要去算一算的。

這些因素具體有多大的威力，以及實(shí)際電路該如何考量。因?yàn)槲以谥暗摹妒炙築oost！Boost公式推導(dǎo)及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證》一文中，進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)以及分析，現(xiàn)在就不再說了，有興趣可以去翻一翻。

責(zé)任編輯：haq