s域傳遞函數(shù)與一階低通濾波器行為之間的關(guān)系

　　最近，我一直在寫關(guān)于濾波器的主題，雖然我一直專注于實(shí)際應(yīng)用考慮，但我覺得有必要解釋一些重要的理論概念，以便那些想要更徹底的人受益理解并分析模擬濾波器的行為?，F(xiàn)在每個(gè)人都可以使用軟件工具，使復(fù)雜的濾波器設(shè)計(jì)相對(duì)輕松，但我認(rèn)為完全忽略數(shù)學(xué)基礎(chǔ)并不是明智的，雖然它對(duì)完成許多現(xiàn)實(shí)設(shè)計(jì)任務(wù)不是絕對(duì)必要的。

　　s域

　　濾波器的響應(yīng)可以用s域傳遞函數(shù)表示;變量s來自拉普拉斯變換，代表復(fù)頻率響應(yīng)。例如：

　　該傳遞函數(shù)是一階低通濾波器的頻域特性的數(shù)學(xué)描述。s域表達(dá)式有效地傳達(dá)了一般特征，如果我們想要計(jì)算特定的幅度和相位信息，我們所要做的就是用jω代替s，然后在給定的角頻率下評(píng)估表達(dá)式。

　　您可能想知道K和ωO來自哪里-您可能從未見過具有以K和ωO表示的元件值的電路圖。這里的想法是K和ωO就像模板的一部分，在下一節(jié)中我們將看看該模板和電路圖之間的關(guān)系。

　　s域的電路分析

　　RC低通濾波器是與頻率相關(guān)的分壓器。在s域分析中，電阻器的阻抗為R，電容器的阻抗為1/（sC），如下圖所示：

　　s域與電路分析

　　如果我們將這個(gè)表達(dá)式與標(biāo)準(zhǔn)化傳遞函數(shù)進(jìn)行比較，我們可以看出K=1且ωO=1/RC。一旦你知道K和ωO代表什么，使用標(biāo)準(zhǔn)化形式的便利性就變得清晰了：K是電路在DC上的增益，ωO是截止頻率。因此，通過將電路的傳遞函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化傳遞函數(shù)進(jìn)行比較，可以立即為一階低通濾波器的兩個(gè)特征定義表達(dá)式，即DC增益和截止頻率。

　　另一種標(biāo)準(zhǔn)形式的一階低通傳遞函數(shù)如下的方程所示：

　　如果我們將上面方程的分子和分母除以RC，我們可以將電路的傳遞函數(shù)擬合到下面的這個(gè)模板中：

　　因此，aO=1/RC，ωO=1/RC。這種形式并沒有直接給我們DC增益，但如果我們?cè)u(píng)估s=0的標(biāo)準(zhǔn)化表達(dá)式，我們就有了：

　　這意味著我們的RC濾波器的DC增益為（1/RC）/（1/RC）=1，DC的單位增益正是我們對(duì)無源低通濾波器的期望。

　　理解截止頻率

　　我們已經(jīng)看到標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)中的ωO代表截止頻率，但這個(gè)事實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是什么？

　　首先，讓我們將標(biāo)準(zhǔn)的s域傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為等效的jω傳遞函數(shù)。

　　現(xiàn)在讓我們?cè)u(píng)估截止頻率的表達(dá)式：

　　分母是一個(gè)復(fù)數(shù)，因此幅度可以表示為：

　　由于K是DC增益，幅度為1伏的極低頻率輸入信號(hào)將導(dǎo)致幅度為K伏的輸出信號(hào)。如果輸入頻率增加到每秒ωO弧度，輸出幅度將為：

　　上式中：

　　因子代表的是對(duì)應(yīng)于-3dB，您可能知道，截止頻率的另一個(gè)名稱是-3dB頻率：

　　上圖是一階無源低通濾波器的幅度響應(yīng)的形狀，當(dāng)它被繪制為以dB為單位的幅度與對(duì)數(shù)頻率的關(guān)系。

　　這種直接的傳遞函數(shù)分析清楚地證明了截止頻率只是濾波器幅度響應(yīng)相對(duì)于極低頻幅度響應(yīng)降低3dB的頻率。

　　截止頻率和相移

　　低通濾波器的截止頻率對(duì)于電路的相位響應(yīng)也具有特殊意義。如果我們以x+jy的形式寫出一個(gè)復(fù)數(shù)，我們就可以按如下方式計(jì)算出相位：

　　因此，我們的RC低通濾波器的整體相位響應(yīng)是：

　　如果我們?cè)讦?ωO處評(píng)估該表達(dá)式，則其相移為：

　　上圖是當(dāng)相移相對(duì)于對(duì)數(shù)頻率繪制時(shí)一階無源低通濾波器的相位響應(yīng)的形狀。

　　由一階低通濾波器產(chǎn)生的最大相移為90°，因此該分析告訴我們截止頻率是電路相位響應(yīng)的“中心”-換句話說，它是濾波器產(chǎn)生一半的最大相移的頻率。

　　結(jié)論

　　我希望您對(duì)s-domain（S-域）概念和傳遞函數(shù)分析的這一簡要介紹很感興趣。模擬濾波器電路的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)起初可能有點(diǎn)令人生畏，但我認(rèn)為值得您花些時(shí)間來熟悉這些課題。我將在以后的文章中繼續(xù)探討這個(gè)課題，敬請(qǐng)關(guān)注！