低通濾波器的傳遞函數(shù)簡(jiǎn)析

s域

濾波器的響應(yīng)可以用s域傳遞函數(shù)表示；變量s來(lái)自拉普拉斯變換，代表復(fù)雜的頻率。例如：

該傳遞函數(shù)是一階低通濾波器頻域特性的數(shù)學(xué)描述。s域表達(dá)式有效地傳達(dá)了一般特征，如果我們想要計(jì)算特定的振幅和相位信息，我們所要做的就是用jω代替s，然后在給定的角頻率下評(píng)估表達(dá)式。因?yàn)閺奈匆?jiàn)過(guò)具有以K和ωO表示的元件值的電路圖，所以你可能想知道其中K和ωO來(lái)自哪里。這里的想法是K和ωO就像一個(gè)模板的部分，并在接下來(lái)的部分，我們將看看模板和電路圖之間的關(guān)系。

s域電路分析

RC低通濾波器是與頻率相關(guān)的分壓器。 在s域分析中，電阻器的阻抗為R，電容器的阻抗為 1/sC。

如果比較這個(gè)表達(dá)式與標(biāo)準(zhǔn)化傳遞函數(shù)，可以看出K = 1且ωO= 1/RC。 一旦你知道K和ωO代表什么，使用標(biāo)準(zhǔn)化形式的便利就變得清晰了：K是電路在DC上的增益，ωO是截止頻率。 因此，通過(guò)比較電路的傳遞函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化傳遞函數(shù)，可以立即為一階低通濾波器的兩個(gè)定義特征表達(dá)式，即DC增益和截止頻率。另一種標(biāo)準(zhǔn)形式的一階低通傳遞函數(shù)如下：

如果我們將分子和分母除以RC，我們可以將電路的傳遞函數(shù)擬合到這個(gè)模板中：

因此，aO = 1/RC和ωO= 1/RC。這種形式并沒(méi)有直接給DC增益，但如果我們?cè)u(píng)估s = 0的標(biāo)準(zhǔn)化表達(dá)式，我們就有了：

這意味著我們的RC濾波器的DC增益為（1/RC）/（1/RC）= 1，DC的單位增益正是我們對(duì)無(wú)源低通濾波器的期望。

理解截止頻率

我們已經(jīng)看到ωO在標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)表示截止頻率，但這一事實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是什么？首先，讓我們將標(biāo)準(zhǔn)的s域傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為等效的jω傳遞函數(shù)。

現(xiàn)在讓我們以截止頻率評(píng)估表達(dá)式。

分母是一個(gè)復(fù)數(shù)，因此振幅很大。

由于K是DC增益，幅度為1V的極低頻輸入信號(hào)將導(dǎo)致幅度為KV的輸出信號(hào)。 如果輸入頻率增加到每秒ωO弧度，輸出幅度將為K/√2。 K/√2對(duì)應(yīng)于-3 dB，你可能知道，截止頻率的另一個(gè)名稱(chēng)是-3 dB頻率。

一階無(wú)源低通濾波器的振幅響應(yīng)圖，當(dāng)它被繪制為以dB為單位的振幅與對(duì)數(shù)頻率的關(guān)系。

這種直接的傳遞函數(shù)分析清楚地證明了截止頻率只是濾波器振幅響應(yīng)相對(duì)于極低頻振幅響應(yīng)降低3dB的頻率。

截止頻率和相移

低通濾波器的截止頻率對(duì)于電路的相位響應(yīng)也具有特殊意義。如果我們以x + jy的形式寫(xiě)出一個(gè)復(fù)數(shù)，我們按如下方式計(jì)算相位：

因此，我們的RC低通濾波器的整體相位響應(yīng)是

如果我們?cè)讦?= ωO處評(píng)估這個(gè)表達(dá)式，相移是

當(dāng)相移相對(duì)于對(duì)數(shù)頻率時(shí)一階無(wú)源低通濾波器的相位響應(yīng)圖。

由一階低通濾波器產(chǎn)生的最大相移為90°，因此該分析告訴我們截止頻率是電路相位響應(yīng)的“中心”，換句話(huà)說(shuō)，它是濾波器的頻率產(chǎn)生一半的最大相移。