拉普拉斯變換有什么用?其物理意義是什么

　　什么是拉普拉斯變換

　　拉普拉斯變換是工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換，又名拉氏變換。拉氏變換是一個(gè)線性變換，可將一個(gè)有參數(shù)實(shí)數(shù)t（t≥ 0）的函數(shù)轉(zhuǎn)換為一個(gè)參數(shù)為復(fù)數(shù)s的函數(shù)。拉普拉斯變換在許多工程技術(shù)和科學(xué)研究領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，特別是在力學(xué)系統(tǒng)、電學(xué)系統(tǒng)、自動(dòng)控制系統(tǒng)、可靠性系統(tǒng)以及隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)等系統(tǒng)科學(xué)中都起著重要作用。

　　公式概念

　　拉普拉斯變換［2］ 是對(duì)于t》=0函數(shù)值不為零的連續(xù)時(shí)間函數(shù)x（t）通過(guò)關(guān)系式

　?。ㄊ街衧t為自然對(duì)數(shù)底e的指數(shù)）變換為復(fù)變量s的函數(shù)X（s）。它也是時(shí)間函數(shù)x（t）的“復(fù)頻域”表示方式。據(jù)此，在“電路分析”中，元件的伏安關(guān)系可以在復(fù)頻域中進(jìn)行表示，即電阻元件：V=RI，電感元件：V=sLI，電容元件：I=sCV。如果用電阻R與電容C串聯(lián)，并在電容兩端引出電壓作為輸出，那么就可用“分壓公式”得出該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為H（s）=（1/RC）/（s+（1/RC）），于是響應(yīng)的拉普拉斯變換Y（s）就等于激勵(lì)的拉普拉斯變換X（s）與傳遞函數(shù)H（s）的乘積，即Y（s）=X（s）H（s）

　　如果定義：f（t）是一個(gè)關(guān)于t的函數(shù)，使得當(dāng)t《0時(shí)候，f（t）=0；s是一個(gè)復(fù)變量；mathcal 是一個(gè)運(yùn)算符號(hào)，它代表對(duì)其對(duì)象進(jìn)行拉普拉斯積分int_0^infty e‘ dt；F（s）是f（t）的拉普拉斯變換結(jié)果。

　　則f（t），的拉普拉斯變換由下列式子給出：F（s），=mathcal left =int_ ^infty f（t）’ e‘ dt 　拉普拉斯逆變換，是已知F（s）’ 求解f（t）的過(guò)程。用符號(hào) mathcal‘ 表示。

　　拉普拉斯逆變換的公式是：對(duì)于所有的t》0，f（t）= mathcal ^ left=frac int_ ^ F（s）’ e‘ds，c’ 是收斂區(qū)間的橫坐標(biāo)值，是一個(gè)實(shí)常數(shù)且大于所有F（s）‘ 的個(gè)別點(diǎn)的實(shí)部值。

　　為簡(jiǎn)化計(jì)算而建立的實(shí)變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換。對(duì)一個(gè)實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來(lái)求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往比直接在實(shí)數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計(jì)算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運(yùn)算步驟對(duì)于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數(shù)方程來(lái)處理，從而使計(jì)算簡(jiǎn)化。在經(jīng)典控制理論中，對(duì)控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。引入拉普拉斯變換的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)，是可采用傳遞函數(shù)代替微分方程來(lái)描述系統(tǒng)的特性。這就為采用直觀和簡(jiǎn)便的圖解方法來(lái)確定控制系統(tǒng)的整個(gè)特性（見(jiàn)信號(hào)流程圖、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖）、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程（見(jiàn)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、根軌跡法），以及綜合控制系統(tǒng)的校正裝置（見(jiàn)控制系統(tǒng)校正方法）提供了可能性。用 f（t）表示實(shí)變量t的一個(gè)函數(shù)，F(xiàn)（s）表示它的拉普拉斯變換，它是復(fù)變量s=σ+j&owega；的一個(gè)函數(shù)，其中σ和&owega; 均為實(shí)變數(shù)，j2=-1。F（s）和f（t）間的關(guān)系由下面定義的積分所確定：

　　如果對(duì)于實(shí)部σ 》σc的所有s值上述積分均存在，而對(duì)σ ≤σc時(shí)積分不存在，便稱(chēng) σc為f（t）的收斂系數(shù)。對(duì)給定的實(shí)變量函數(shù) f（t），只有當(dāng)σc為有限值時(shí)，其拉普拉斯變換F（s）才存在。習(xí)慣上，常稱(chēng)F（s）為f（t）的象函數(shù)，記為F（s）=L［f（t）］；稱(chēng)f（t）為F（s）的原函數(shù)，記為f（t）=L-1［F（s）］。

　　函數(shù)變換對(duì)和運(yùn)算變換性質(zhì) 　利用定義積分，很容易建立起原函數(shù) f（t）和象函數(shù) F（s）間的變換對(duì)，以及f（t）在實(shí)數(shù)域內(nèi)的運(yùn)算與F（s）在復(fù)數(shù)域內(nèi)的運(yùn)算間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。表1和表2分別列出了最常用的一些函數(shù)變換對(duì)和運(yùn)算變換性質(zhì)。

　　拉普拉斯變化的存在性：為使F（s）存在，積分式必須收斂。有如下定理：

　　如因果函數(shù)f（t）滿(mǎn)足：（1）在有限區(qū)間可積，（2）存在σ0使|f（t）|e-σt在t→∞時(shí)的極限為0，則對(duì)于所有σ大于σ0，拉普拉斯積分式絕對(duì)且一致收斂。

　　基本性質(zhì)：線性性質(zhì)、微分性質(zhì)、積分性質(zhì)、位移性質(zhì)、延遲性質(zhì)、初值定理與終值。

　　應(yīng)用領(lǐng)域定理

　　有些情形下一個(gè)實(shí)變量函數(shù)在實(shí)數(shù)域中進(jìn)行一些運(yùn)算并不容易，但若將實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來(lái)求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，

　　在經(jīng)典控制理論中，對(duì)控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。引入拉普拉斯變換的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)，是可采用傳遞函數(shù)代替常系數(shù)微分方程來(lái)描述系統(tǒng)的特性。這就為采用直觀和簡(jiǎn)便的圖解方法來(lái)確定控制系統(tǒng)的整個(gè)特性、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，以及提供控制系統(tǒng)調(diào)整的可能性。

　　應(yīng)用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微分方程化為代數(shù)方程，使問(wèn)題得以解決。在工程學(xué)上，拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個(gè)信號(hào)從時(shí)域上，轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域（s域）上來(lái)表示；在線性系統(tǒng)，控制自動(dòng)化上都有廣泛的應(yīng)用。

　　拉普拉斯變換的物理意義是什么？

　　從正則系綜配分函數(shù)切換到微正則系綜態(tài)密度或者說(shuō)譜密度的時(shí)候，所用的是拉普拉斯逆變換；反之是拉普拉斯變換。其中核的指數(shù)上的復(fù)數(shù)也很好理解，它經(jīng)常出現(xiàn)于統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的Lee-Yang理論（由李政道和楊振寧于1952年通過(guò)兩篇論文建立）：即復(fù)化之后的溫度，化學(xué)勢(shì)或者外磁場(chǎng)。

　　他們通過(guò)這種復(fù)化的方法推導(dǎo)出出了在熱力學(xué)極限下，系統(tǒng)發(fā)生一級(jí)或者連續(xù)相變的條件（原文是對(duì)于自旋系統(tǒng)的）：就像復(fù)分析里的branch cut一樣，Lee-Yang零點(diǎn)在復(fù)平面上聚集成一條線，只有取實(shí)數(shù)值的物理量在相變是跨過(guò)這條線，才會(huì)發(fā)生一級(jí)相變。這些零點(diǎn)解釋了為什么一個(gè)明明是解析函數(shù)的配分函數(shù)在相變時(shí)卻能導(dǎo)致發(fā)散的物理量，也給出了一個(gè)no-go theorem： 不取熱力學(xué)極限就不會(huì)發(fā)生相變；至今這套理論還是研究傳統(tǒng)非拓?fù)湎嘧兊睦?。有人?huì)說(shuō)復(fù)的物理學(xué)量只是數(shù)學(xué)技巧罷了，但近來(lái)有實(shí)驗(yàn)表明我們是能觀測(cè)到Lee-Yang零點(diǎn)的， 跑偏一點(diǎn)，這套理論還衍生出Lee-Yang edge，即高于相變溫度時(shí)，上述的Lee-Yang零點(diǎn)匯聚線終止于兩個(gè)臨界點(diǎn)，而用于描述該臨界點(diǎn)附近復(fù)物理量的理論是一個(gè)central charge為-22/5的2維共形場(chǎng)論，叫非幺正minimal model.

　　因此拉普拉斯變換在研究3維純量子引力（不含費(fèi)米物質(zhì)）特別是黑洞熵以及黑洞Hawking-Page相變的時(shí)候，經(jīng)常出現(xiàn)在半經(jīng)典近似中，因?yàn)槿绻僭O(shè)AdS/CFT成立，復(fù)化的熱力學(xué)量既屬于2維漸進(jìn)邊界上的引力邊界條件，也是邊界2維共形場(chǎng)論的參數(shù)。可以參照下列Witten和尹希的文章（Maloney-Witten里（5.7）式附近把拉普拉斯逆變換寫(xiě)成拉普拉斯變換了）。

　　PS： Lee-Yang的原文里只考慮了復(fù)化的外磁場(chǎng)和化學(xué)勢(shì)，叫做field-driven transition；復(fù)溫度是1965年Michael E. Fisher引入的，叫temperature-driven transition，是一個(gè)nontrivial的推廣，注意不要和有限溫度場(chǎng)論中的虛時(shí)間混淆。

　　數(shù)學(xué)上，其實(shí)把拉普拉斯變換看成Borel變換的推廣比看成是傅里葉變換的推廣更合適，因?yàn)楹笳叩闹笖?shù)上也沒(méi)有虛數(shù)單位，專(zhuān)治非收斂級(jí)數(shù)，這和拉普拉斯變換代替傅里葉變換處理非收斂信號(hào)有異曲同工之妙。在物理中的用途嘛，最近在非微擾量子場(chǎng)論和弦論的resurgent analysis里火得不行呀