使用Python分析拉普拉斯空間中的二階電路

了解如何使用拉普拉斯變換、Python 和 SymPy 以串聯(lián) RLC 電路為例簡(jiǎn)化電路分析的數(shù)學(xué)運(yùn)算。

研究電路可能是一個(gè)非常滑坡。 在不知不覺(jué)中，你已經(jīng)深入微分方程了。 對(duì)于那些對(duì)微積分感到不舒服的人來(lái)說(shuō)，這可能是可怕的。 然而，我經(jīng)常告訴我的EE學(xué)生，成為一名工程師并不是要善于以困難的方式解決難題; 相反，它主要是關(guān)于找到更簡(jiǎn)單的方法來(lái)解決這些問(wèn)題。 當(dāng)我教授電路分析課程并需要激勵(lì)他們學(xué)習(xí)
拉普拉斯變換。

將隨時(shí)間變化的微分方程轉(zhuǎn)換為拉普拉斯空間可確保將這些微分方程的解簡(jiǎn)化為代數(shù)練習(xí); 不需要微積分！ 然而，有時(shí)確定解決方案所涉及的代數(shù)量可能會(huì)抵消該方法的好處，使學(xué)生希望他們正在做更高級(jí)的數(shù)學(xué)。 然而，一種解決方案是
蟒。 利用Python可以大大減少確定解決方案所需的代數(shù)量。

在本文中，我們將首先通過(guò)一個(gè)例子，展示拉普拉斯空間是如何發(fā)揮作用的，以及 Python 如何幫助更輕松地完成數(shù)學(xué)。

示例：查找串聯(lián)RLC電路中的電流

在進(jìn)入拉普拉斯空間和Python如何在電路分析中發(fā)揮作用之前，讓我們將示例設(shè)置到拉普拉斯變換進(jìn)入的位置。

首先，考慮電流如何流過(guò) 電容器 與該電容器兩端的電壓與時(shí)間有關(guān)的導(dǎo)數(shù)成正比。 同樣，兩端的電壓 感應(yīng)器
與流過(guò)該電感器的電流與時(shí)間有關(guān)的導(dǎo)數(shù)成正比：

等式 1a.

等式 1b.

這些差分關(guān)系對(duì)于描述和分析電路中的電流和電壓行為至關(guān)重要，如圖1所示。

圖1. RLC電路示例。

在 RLC電路 在圖 1 中，我們看到流過(guò)元件的電流都是相等的，因?yàn)檫@些元件都是串聯(lián)的。 此外，在t ≥ 0時(shí)，該電路無(wú)源元件兩端的電壓等于5V（直流電源電壓）。 我們可以將這些關(guān)系寫(xiě)成等式 2 和 3。

iL=iC=iRiL=iC=iR等式 2.

vR+vL+vC=VdcvR+vL+vC=Vdca3.

將等式1a和1b與等式2和3相結(jié)合，得到等式4，這是一個(gè)積分微分方程，描述了流過(guò)圖1所示電路的電流的時(shí)間行為。

等式4.

取公式4中關(guān)于時(shí)間的兩邊的導(dǎo)數(shù)，并重新排列微分項(xiàng)的系數(shù)，得到公式5，即描述圖1電路中電流瞬態(tài)行為的微分方程。

等式5.

讓我們停下來(lái)反思一下我們剛剛做了什么。 到目前為止，我們還沒(méi)有真正需要做太多的微積分。 基本上，我們已經(jīng)描述了該電路中隨時(shí)間推移的電流演變，但我們還沒(méi)有解決該電流的功能形式。 如果我們要在時(shí)域中進(jìn)行，我們需要確定該電路是過(guò)阻尼、欠阻尼還是臨界阻尼。 然后，為我們的解選擇了一個(gè)一般形式，我們需要將該一般解及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用邊界條件，以確定解的一般形式的幾個(gè)常數(shù)值。

如果我們停留在時(shí)域中，這是求解二階電路中電流的最簡(jiǎn)單、最直接的方法。 但是，如果我們將方程6轉(zhuǎn)換為拉普拉斯空間，我們可以避免時(shí)域的混亂（即大部分實(shí)際微積分）。

L{f（t）}=F（s）=∫∞0?f（t）e?stdtL{f（t）}=F（s）=∫0?∞f（t）e?stdt等式 6.

現(xiàn)在我們已經(jīng)在示例中達(dá)到了這一點(diǎn)，讓我們簡(jiǎn)要概述一下拉普拉斯空間。

拉普拉斯空間 - 拉普拉斯變換屬性和對(duì)

在這一點(diǎn)上，根據(jù)您的教育背景（或您對(duì)大學(xué)課程的褪色記憶），您可能想知道，“什么是拉普拉斯空間？ 我將把更完整的描述留給數(shù)學(xué)家，但出于我們的目的，你可以把拉普拉斯空間想象成一個(gè)復(fù)雜的頻域。 拉普拉斯空間中的函數(shù)包含有關(guān)隨時(shí)間變化的豐富信息，可以使用簡(jiǎn)單的代數(shù)來(lái)操作這些信息來(lái)提取該時(shí)間信息。

單側(cè)拉普拉斯變換通常根據(jù)公式6通過(guò)積分進(jìn)行。 該方程定義了f（t），F(xiàn)（s）的拉普拉斯變換，作為f（t）和e乘積積分的結(jié)果-圣從 t = 0-到無(wú)窮大。 此外，根據(jù)公式7進(jìn)行從s空間到時(shí)域的逆變換。

L?1{F（s）}=f（t）=12πj∫ε+j∞ε?j∞F（s）estdsL?1{F（s）}=f（t）=12πj∫ε?j∞ε+j∞F（s）estds等式7.

你總是可以執(zhí)行這些積分從 s 空間變換到 t 空間，然后再變換回來(lái)，但積分是一種痛苦，逆拉普拉斯變換積分要求我們確保 ??
的值位于該積分的收斂區(qū)域內(nèi); 我們真的應(yīng)該撣去我們復(fù)雜的分析技能，以正確執(zhí)行這個(gè)積分。 幸運(yùn)的是，拉普拉斯變換和逆變換通?？梢允褂美绽箍臻g的線性屬性表和引用變換對(duì)表來(lái)執(zhí)行，而無(wú)需完全積分。

圖2a和2b顯示了這些的最小版本，盡管可以通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)搜索找到更完整的拉普拉斯表。

圖 2a. 拉普拉斯變換屬性。

圖 2b. 拉普拉斯變換對(duì)。

現(xiàn)在我們已經(jīng)有了復(fù)習(xí)，讓我們回到我們的示例。

求解拉普拉斯空間中的電流

將拉普拉斯變換屬性應(yīng)用于時(shí)間相關(guān)方程 6 的每個(gè)項(xiàng)，可得出 s 空間方程 8。 重要的是要注意，我在這里假設(shè)t =
0之前的電流是0A，并且已經(jīng)有一段時(shí)間了。

等式8.

考慮到這一點(diǎn)，我們可以輕松地代數(shù)操作方程9以找到I（s）。 然后，確定 i（t） 就像逆變換 I（s）一樣簡(jiǎn)單。 這種簡(jiǎn)單性是我們?cè)诶绽箍臻g中進(jìn)行電路分析的原因; 這是解決難題的一種非?？焖俚姆椒ā?/p>

等式9.

從這里開(kāi)始，事情可能會(huì)變得有點(diǎn)混亂。 的確，我們可以通過(guò)反轉(zhuǎn)用于使用圖 2 中的表從時(shí)域轉(zhuǎn)換到 s 空間的過(guò)程來(lái)執(zhí)行逆變換。 但是，我們需要代數(shù)操作I（s） 的表達(dá)式，直到它符合圖 2b中變換對(duì)表中的一個(gè)或許多函數(shù)的總和。 如果手工完成，這個(gè)過(guò)程可能涉及如此繁瑣的代數(shù)，以至于它完全否定了在拉普拉斯空間中求解電路而不是求解時(shí)域微分方程的好處。

使用 Python 和 SymPy 執(zhí)行逆拉普拉斯變換

在我們的示例中，我們已經(jīng)手動(dòng)完成了所有實(shí)際電路工作。 是時(shí)候拿出 Python 的計(jì)算能力了 SymPy 為我們做逆變換。

首先，我們需要打開(kāi)一個(gè) Python 環(huán)境。 我使用 谷歌合作實(shí)驗(yàn)室為了解決這些問(wèn)題，因?yàn)樗腔赪eb的，我需要的所有庫(kù)都可用，并且它會(huì)在命令旁邊呈現(xiàn)任何可視輸出。 該程序類似于 木星筆記本，但它是由谷歌維護(hù)的。

第 1 步，我們將導(dǎo)入 SymPy 庫(kù)并定義我們的符號(hào) — s 和 t：

from sympy import *

s,t = symbols(‘s,t’)

考慮等式 9，我們可以用符號(hào) ‘s’ 來(lái)定義 I（s）：

i = 5/(3*(s**2 + 20000*s + 33333333))

最后，我們將I（s）逆變換到時(shí)域，并使用以下命令將結(jié)果打印到筆記本上：

inverse_laplace_transform(i, s, t).simplify()

然后生成公式 10：

等式10.

請(qǐng)注意，Heaviside 階躍函數(shù)在此表達(dá)式中表示為 θ（t）。 等式 10 不是我們想要的形式，因?yàn)?SymPy試圖保持分?jǐn)?shù)表示而不是四舍五入無(wú)理數(shù)。 但是，只需在紙上稍作操作，我們可以將 i（t） 重寫(xiě)為等式 11：

等式 11.

其中 u（t） 表示階躍函數(shù)。

完成所有這些操作后，我們就完成了。 使用這個(gè)例子，這就是如何在 Python 和 SymPy 庫(kù)的幫助下，使用 Laplace空間在二階電路中求解未知的、隨時(shí)間變化的量。

Python 還能如何幫助電路分析？

雖然本文的范圍僅限于使用 Python 在分析二階電路時(shí)執(zhí)行逆拉普拉斯變換，但 Python 中的 SymPy庫(kù)可用于幫助解決許多類型的電路分析問(wèn)題。 每當(dāng)涉及代數(shù)時(shí)，您都可以使用Python來(lái)減輕乏味。 我認(rèn)為，最好的方法是應(yīng)用所有必要的電路原理（基爾霍夫定律，歐姆定律等）用手。 然后，當(dāng)您將問(wèn)題簡(jiǎn)化為紙上的方程或方程組時(shí)，使用 Python完成該過(guò)程。 拉普拉斯空間中的電路分析是一個(gè)充分展示這種方法優(yōu)勢(shì)的舞臺(tái)。 通過(guò)使用計(jì)算機(jī)執(zhí)行逆變換，我們可以大大減少獲得解決方案所需的手動(dòng)代數(shù)操作量，并保留拉普拉斯空間的美麗和好處。