頻率響應(yīng)法-相對(duì)穩(wěn)定性分析

為了使控制系統(tǒng)能可靠地工作，不但要求它能穩(wěn)定，而且還希望有足夠的穩(wěn)定裕量，使系統(tǒng)在環(huán)境發(fā)生變化或存在干擾的情況下仍能工作，這即為相對(duì)穩(wěn)定性的概念。

在討論系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量時(shí)，首先要假定開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，是最小相位系統(tǒng)，即開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的零、極點(diǎn)均僅位于s的左半平面，否則討論系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量是無(wú)意義的。

為了說(shuō)明相對(duì)穩(wěn)定性的概念，圖5－49為一典型的I型系統(tǒng) 曲線，其開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 。根據(jù)奈氏判據(jù)可知，當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定，奈氏曲線包圍（－1，j0）點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生等幅振蕩，奈氏曲線經(jīng)過(guò)（－1，j0）點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定，奈氏曲線不包圍（－1，j0）點(diǎn)。因此直觀地看，對(duì)于開(kāi)環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，要求閉環(huán)系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定性，不僅要求 的幅頻特性不包圍（－1，j0）點(diǎn)，而且應(yīng)與該點(diǎn)有一定的距離，即有一定的穩(wěn)定裕量。

衡量閉環(huán)系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性的具體指標(biāo)有幅值裕量 和相位裕量 。在Matlab中，相應(yīng)地有專(zhuān)門(mén)的函數(shù)來(lái)求取上述指標(biāo)：Margin。具體用法參見(jiàn)下面的例子。

5.5.1 用奈氏圖表示相位裕量和幅值裕量

1、 相位裕量

設(shè)一開(kāi)環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)的奈氏曲線 負(fù)實(shí)軸相交于G點(diǎn)，與單位圓相交于C點(diǎn)，如圖5－50。對(duì)應(yīng)于 時(shí)的頻率 （交點(diǎn)C）稱(chēng)為增益穿越頻率，又稱(chēng)剪切頻率或交界頻率。在剪切頻率 處，使系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)所能接受的附加相位遲后角，定義為相位裕量，用 表示之。對(duì)于任何系統(tǒng)，相位裕量 的算式為

(5-54)

式中， 是開(kāi)環(huán)頻率特性在剪切頻率 處的相位。

不難理解，對(duì)于開(kāi)環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，若 ，表示 曲線包圍（－1，j0）點(diǎn)，相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；反之，若 ，則相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。一般 越大，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性也就越好。因?yàn)橄到y(tǒng)的參數(shù)并非絕對(duì)不變，如果 太小，就有可能因參數(shù)的變化而使奈奎斯特曲線包圍（－1，j0）點(diǎn)，即導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。

2、 幅值裕量

幅值裕量是系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性的另一度量指標(biāo)。如圖5－50所示，開(kāi)環(huán)頻率特性的相角 時(shí)的頻率 （交點(diǎn)G）處， 稱(chēng)為相位穿越頻率，又稱(chēng)為相位交界頻率。開(kāi)環(huán)幅值 的倒數(shù)稱(chēng)為增益裕量，用 表示。即

(5-55)

上式表示系統(tǒng)在變到臨界穩(wěn)定時(shí)，系統(tǒng)的增益能增大多少。

由奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可知，對(duì)于最小相位系統(tǒng)，其閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是 曲線不包圍（－1，j0）點(diǎn)，即 曲線與其負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)處的模小于1，此時(shí)對(duì)應(yīng)的 。反之，對(duì)于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，其 ，如圖5－51所示，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

5.5.2 用伯德圖表示相位裕量和幅值裕量

上述的相位裕量和幅值裕量也可在對(duì)數(shù)幅相圖（Bode圖）上表示。對(duì)應(yīng)于圖5－50，其Bode圖如圖5－52所示。圖5－50中的增益穿越頻率 對(duì)應(yīng)于圖5－52的零分貝線上的點(diǎn)，即開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線與 軸的交點(diǎn)；圖5－50中相位穿越頻率 的點(diǎn)在Bode圖上是對(duì)應(yīng)相角 的點(diǎn)，即相頻曲線與 水平線的交點(diǎn)。從圖5－50可見(jiàn)，相頻特性曲線上對(duì)應(yīng)于增益穿越頻率 的點(diǎn)位于 水平線的上方。

在Bode圖上，增益裕量常用分貝數(shù)表示，即

上式表示系統(tǒng)在到達(dá)臨界穩(wěn)定前，允許系統(tǒng)增益增大的倍數(shù)。對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，由于 ＜1，即 為負(fù)，由式（5－56）可知，增益裕量為正，這時(shí)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線上對(duì)應(yīng) 的點(diǎn)在 軸下方，如圖5－52；當(dāng)系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)，相應(yīng)地，可將圖5－51繪制在Bode圖上，如圖5－53，這時(shí)相位裕量和幅值裕量均是負(fù)的。

增益裕量和相位裕量通常作為設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)。大的增益裕量和相位裕量表明控制系統(tǒng)是非常穩(wěn)定的，但此時(shí)控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度將是非常慢的，而當(dāng)增益裕量接近1或相位裕量接近零時(shí)，則對(duì)應(yīng)一個(gè)高度振蕩的系統(tǒng)。因此從工程的角度出發(fā)，一般控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)采用如下的裕量范圍是比較合適的： 在 到 之間，增益裕量大于6dB。

同時(shí)需要指出，單獨(dú)使用增益裕量或相位裕量作性能分析，都不足以說(shuō)明系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，必須同時(shí)給出這兩個(gè)穩(wěn)定裕量。對(duì)于大多數(shù)控制系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，這兩個(gè)指標(biāo)是統(tǒng)一的，但有時(shí)情況并非如此，圖5－54a、圖5－54b分別表示了這兩種情況下的頻率特性。

例5－10　試求：（1）K＝1時(shí)系統(tǒng)的相位裕量和增益裕量。（2）要求通過(guò)增益K的調(diào)整，使系統(tǒng)的增益裕量 ，相位裕量 。

例5－10　試求：（1）K＝1時(shí)系統(tǒng)的相位裕量和增益裕量。（2）要求通過(guò)增益K的調(diào)整，使系統(tǒng)的增益裕量 ，相位裕量 。

已知一單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

解　?。?）基于在 處的開(kāi)環(huán)頻率特性的相角為

即

由三角函數(shù)的性質(zhì)，有

求得 。

同時(shí)，在 處的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅值為

則

根據(jù)K＝1時(shí)的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，可知系統(tǒng)的 ，從而

此小題也可用Matlab直接求解。

g=tf(1,conv([1,0],conv([0.2,1],[0.05,1])))

Transfer function:
1
-----------------------
0.01 s^3 + 0.25 s^2 + s

margin(g)

（2）由題意得 ，即 。在 處的對(duì)數(shù)幅值為

上式簡(jiǎn)化后為

解之得，K＝2.5。

　　根據(jù) 的要求，則得

即

利用三角函數(shù)的性質(zhì)，可求得 。于是有

即

求解上式得 。不難看出，K取2.5就能同時(shí)滿(mǎn)足 和 的要求。

5.5.3 對(duì)數(shù)幅頻特性中頻段與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系

在分析控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅相頻率特性時(shí)，習(xí)慣上將頻率范圍分為三個(gè)頻段：低頻段、中頻段和高頻段。其中低頻段反映了控制系統(tǒng)的靜態(tài)特性，關(guān)于此點(diǎn)在5.3.4中我們作了分析；中頻段則反映了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，這是控制設(shè)計(jì)中一個(gè)非常關(guān)心的問(wèn)題，這將在下面作介紹；高頻段則主要反映了系統(tǒng)的抗干擾能力，對(duì)動(dòng)態(tài)性能影響不大，將不作介紹。

中頻段的主要參數(shù)有：剪切頻率 、相位裕量 和中頻寬度h。對(duì)于圖5－56所示系統(tǒng)，其中頻寬度一般定義在斜率等于 、靠近 處：

(5-57)

一般要求最小相位系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性在 處的斜率等于 。如果在該處的斜率等于或小于為 ，則對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)可能不穩(wěn)定，或者系統(tǒng)即使穩(wěn)定，但因相位裕量較小，系統(tǒng)的穩(wěn)定性也較差。下面通過(guò)二階系統(tǒng)和三階系統(tǒng)對(duì)上述結(jié)論進(jìn)行說(shuō)明。

設(shè)一標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：

式中，自然振蕩頻率 ，阻尼比 ，其中 為轉(zhuǎn)角頻率，則：

（1） 當(dāng) 時(shí)， ，如圖5－57a示，階躍響應(yīng)是衰減較慢的振蕩過(guò)程；

（2） 當(dāng) 時(shí)， ，如圖5－57b示，階躍響應(yīng)是衰減較快的振蕩過(guò)程；

（3） 當(dāng) 時(shí)， ，如圖5－57c示，階躍響應(yīng)是接近無(wú)振蕩的非周期過(guò)程；

再設(shè)一個(gè)三階系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳函數(shù)為：

取K＝0.1，1,10,100，得到如圖5－58的幅頻曲線a，b，c，d。由圖可見(jiàn)。當(dāng) 時(shí)，式（5－59）的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖5－58所示的曲線 。剪切頻率 在斜率為 的區(qū)段內(nèi)，對(duì)照?qǐng)D5－58下部的相頻特性曲線可知，相位裕量為 ，因此閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若開(kāi)環(huán)放大系數(shù)K值減小，則對(duì)數(shù)幅頻特性曲線向下垂直移動(dòng)。這時(shí)剪切頻率 向左移動(dòng)[注意，K變化時(shí)，系統(tǒng)的相頻特性曲線 不變。由圖5－58可知，相位裕量 將增大。當(dāng)剪切頻率 移至斜率為 的區(qū)段內(nèi)時(shí)，相位裕量 將更大，如圖5－58的曲線b所示。反之，增大開(kāi)環(huán)放大系數(shù)K，剪切頻率 將向右移動(dòng)，相位裕量 將減小，當(dāng) 移至 時(shí)（ 為相位穿越頻率）， ，閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。當(dāng) 時(shí)， ，這時(shí)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的中頻段斜率仍為 ，如圖5－58曲線c所示。因這時(shí) 為負(fù)值，所以閉環(huán)系統(tǒng)已不穩(wěn)定了。如果開(kāi)環(huán)放大系數(shù)K繼續(xù)加大，使剪切頻率 落在對(duì)數(shù)幅頻特性曲線斜率為 的區(qū)段內(nèi)，如圖5－58曲線b所示。這時(shí)相位裕量 “負(fù)”得更歷害，系統(tǒng)將更加不穩(wěn)定。

根據(jù)上述分析，可得到如下結(jié)論：為使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且系統(tǒng)的階躍響應(yīng)無(wú)超調(diào)量或或超調(diào)很小，應(yīng)使剪切頻率 位于斜率為 的線段上，同時(shí)要有一定的中頻寬度，中頻段越寬，則階躍響應(yīng)越接近非周期過(guò)程。