頻率響應(yīng)法--頻率特性

頻率特性又稱頻率響應(yīng)，它是指系統(tǒng)或元件對(duì)不同頻率的正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)特性。系統(tǒng)的頻率特性可由兩個(gè)方法直接得到：(1) 機(jī)理模型—傳遞函數(shù)法；(2) 實(shí)驗(yàn)方法。

5.1.1 由傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)
設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)

(5-1)

對(duì)應(yīng)的頻率特性為

(5-2)

如果在S平面的虛軸上任取一點(diǎn) ，把該點(diǎn)與的所有零、極點(diǎn)連接成向量，并將這些向量分別以極坐標(biāo)的形式表示：

則式（5－3）可改寫(xiě)為

(5-3)

由上式得到其對(duì)應(yīng)的幅值和相角：

(5-4)

(5-5)

同理，可求得對(duì)應(yīng)于 的 和 。如此繼續(xù)下去，就能得到一系列幅值和相位與頻率 的關(guān)系，其中幅值隨頻率變化而變化的特性稱為系統(tǒng)的幅頻特性，相角隨頻率變化而變化的特性稱為系統(tǒng)的相頻特性。

例5-1繪制系統(tǒng)的幅頻和相頻特性曲線...

設(shè)一線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(5-6)

解：傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)的分布如圖5令 ，代入式（5即當(dāng) 時(shí)，頻率特性的幅值 ，相角 。代入不同的頻率 值，重復(fù)上述的計(jì)算，就可求得對(duì)應(yīng)的一組 和 值。據(jù)此，也可由下面的Matlab

figure(1),plot(w,x(:)),axis([0,10,0,3]),xlabel('頻率（弧度）'),ylabel('幅值');>

figure(2),plot(w,y(:)),axis([0,10,-120,40]),xlabel('頻率（弧度）'),ylabel('相角')>

5.1.2 由實(shí)驗(yàn)方法求頻率特性

系統(tǒng)的頻率特性也可用實(shí)驗(yàn)方法得到。圖5－3給出了一種求取系統(tǒng)頻率特性的實(shí)驗(yàn)接線方法，它由一臺(tái)正弦信號(hào)發(fā)生器、系統(tǒng)或元件裝置和雙蹤示波器組成。信號(hào)發(fā)生器的頻率范圍由被測(cè)試的實(shí)驗(yàn)裝置決定，雙蹤示波器的一路用于測(cè)量輸出、輸入信號(hào)的比值，即系統(tǒng)的幅頻特性： ，另一路用于測(cè)量輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的相位差，即系統(tǒng)的相頻特性： 。通過(guò)不斷改變輸入信號(hào)的頻率 值，應(yīng)可以得到系統(tǒng)的頻率特性。

5.1.3? 頻率特性的基本概念

5.1.3 頻率特性的基本概念
線性定常系統(tǒng)的頻率特性和時(shí)域響應(yīng)是一致的。在頻率特性已知的情況下，可通過(guò)數(shù)值或解析的方法得到系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。

如果一個(gè)系統(tǒng)的頻率特性已知，則可根據(jù)反富里葉級(jí)數(shù)示取系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。令 為控制系統(tǒng)輸出的頻率特性，則由>

(5-7)

>可得到系統(tǒng)輸出的時(shí)間響應(yīng)。上面的積分式可通過(guò)解析法或根據(jù)頻特性圖由數(shù)值法求得。

反過(guò)來(lái)，若已知系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，也可求出系統(tǒng)的頻率特性。為了方便理解，下面先以R－C電路為例，并說(shuō)明頻率特性的物理意義。

R－C電路的傳遞函數(shù)為

(5-8)

>設(shè)輸入電壓 ，由復(fù)數(shù)阻抗的概念求得

(5-9)

如上所述， 可改寫(xiě)為>

(5-10)

式中，

，

,

。

稱為電路的頻率特性。顯然，它由該電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，與輸入信號(hào)的幅值和相位無(wú)關(guān)。 是 的幅值，它表示在穩(wěn)態(tài)時(shí)，電路的輸出與輸入的幅值之比。 是 的相角，它表示在穩(wěn)態(tài)時(shí)，輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的相位差。由于 和 都是輸入信號(hào)頻率ω的函數(shù)，故它們分別被稱為電路的幅頻特性和相頻特性。

綜上所述，式（5—10）所示頻率特性的物理意義是：當(dāng)一頻率為ω的正弦信號(hào)加到電路的輸入端后，在穩(wěn)態(tài)時(shí)，電路的輸出與輸入之比；或者說(shuō)，電路的輸出與輸入的幅值之比和相位之差。

根據(jù)式（5—9），R-C電路的穩(wěn)態(tài)輸出為

由上式可知，當(dāng) 時(shí)，輸出與輸入的電壓不僅幅值相等，而且相位也完全一致。隨著ω的不斷增大，輸出電壓的幅值將不斷地衰減，相位也不斷地滯后。圖5—4示出了該電路的幅頻和相頻特性。

同樣，對(duì)于一般的線性定常系統(tǒng)，設(shè)輸入為一頻率為ω的正弦信號(hào)，在穩(wěn)態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的輸出具有和輸入同頻率的正弦函數(shù)，但其幅值和相位一般均不同于輸入量，且隨著輸入信號(hào)頻率的變化而變化。

設(shè)線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有式（5－2）的形式，已知輸入信號(hào) ，其拉氏變換 ，A為常量，則系統(tǒng)的輸出為

式中， 為 的極點(diǎn)。對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，這些極點(diǎn)都位于s的左平面，即它們的實(shí)部 均為負(fù)值。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，令 的極點(diǎn)均為相異的實(shí)數(shù)極點(diǎn)，則式（5—12）改寫(xiě)為

(5-13)

其中 、 和 (i=1，2，…，n)，均為待定系數(shù)。對(duì)上式取拉氏反變換，求得

當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)的瞬態(tài)分量 趨向零，其穩(wěn)態(tài)分量為

其中 、和 由下列兩式確定

由于是一個(gè)復(fù)數(shù)向量，因而可表示為

(5-18)

其中 。注意到式中 、 是ω的偶函數(shù)， 、 是ω的奇函數(shù)，因而 與 互為共軛復(fù)數(shù)。這樣 可改寫(xiě)為

把式（5—16）~（5—19）代入式（5—15），可得

以上證明了線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出是和輸入具有相同頻率的正弦信號(hào)，其輸出與輸入的幅值比為 ，輸出與輸入的相位差 。

比較頻率特性與傳遞函數(shù)的形式可以發(fā)現(xiàn)，只要把傳遞函數(shù)中的 用 代之，就可得到系統(tǒng)的頻率特性，即有 ?？梢?jiàn)，頻率特性只是傳遞函數(shù)的一種特殊形式，因而它和傳遞函數(shù)一樣能表征系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，成為描述系統(tǒng)的又一種數(shù)學(xué)模型。