介紹導(dǎo)航坐標(biāo)系與載體坐標(biāo)系之間的姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣

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說在前面的話

在 MEMS 慣性傳感器06 - 再說坐標(biāo)系定義（導(dǎo)航坐標(biāo)系與載體坐標(biāo)系）這篇章中，在介紹導(dǎo)航坐標(biāo)系與載體坐標(biāo)系之間的姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣使用的是用歐拉角表示旋轉(zhuǎn)矩陣。

我們知道用來表示姿態(tài)的方法有： 1）歐拉角 2）方向余弦矩陣 3）四元數(shù) 4）等效旋轉(zhuǎn)矢量。 本篇我們介紹采用四元數(shù)表示姿態(tài)矩陣。 以下內(nèi)容摘抄 《慣性導(dǎo)航》- 秦永元 姿態(tài)更新計(jì)算的四元數(shù)算法章節(jié)。

關(guān)于四元數(shù)的介紹和運(yùn)算規(guī)則可以看前期文章。這里簡單的匯總一下：

02

四元數(shù)表示矩陣

三維空間的任意旋轉(zhuǎn)，都可以用繞三維空間的某個軸旋轉(zhuǎn)過某個角度來表示（即軸角，Axis-Angle表示方法）。這種表示方法里，Axis可用一個三維向量(x,y,z)來表示，θ可以用一個角度值來表示，直觀來講，一個四維向量(θ,x,y,z)就可以表示出三維空間任意的旋轉(zhuǎn)。

注意，這里的三維向量(x, y, z)只是用來表示axis的方向朝向，因此更緊湊的表示方式是用一個單位向量來表示方向axis，而用該三維向量的長度來表示角度值θ。這樣，可以用一個三維向量(θx, θy, θ*z)就可以表示出三維空間任意的旋轉(zhuǎn)，前提是其中(x,y,z)是單位向量。這就是旋轉(zhuǎn)向量(Rotation Vector)的表示方式。

Axis-Angle的表示方法還可以推導(dǎo)出另一種很常用的三維旋轉(zhuǎn)表示方法，叫四元數(shù)(Quaternion)。同上，假設(shè)(x, y, z)是axis方向的單位向量，θ是繞axis轉(zhuǎn)過的角度，那么四元數(shù)可以表示為 [cos(θ/2), xsin(θ/2), ysin(θ/2), z*sin(θ/2)]。

注意，這里可以推導(dǎo)出，用于表示旋轉(zhuǎn)的四元數(shù)向量也必須是單位向量。四元數(shù)的神奇之處在于，對于三維坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)，可以通過四元數(shù)乘法直接操作，與上述旋轉(zhuǎn)矩陣操作可以等價，但是表示方式更加緊湊，計(jì)算量也可以小一些。捷聯(lián)慣導(dǎo)中的姿態(tài)更新實(shí)質(zhì)上是如何計(jì)算四元數(shù)Q。

審核編輯：劉清