應(yīng)用衛(wèi)星通信領(lǐng)域的一個(gè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過(guò)程—機(jī)體坐標(biāo)系與ENU坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換

今天我們要講的是應(yīng)用于衛(wèi)星通信領(lǐng)域的一個(gè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過(guò)程——機(jī)體坐標(biāo)系與ENU坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。小D將以《機(jī)載衛(wèi)星通信天線角度的計(jì)算推導(dǎo)》為基礎(chǔ)，來(lái)分析和推導(dǎo)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式。

開(kāi)頭部分，我們先講一下ENU坐標(biāo)系和機(jī)體坐標(biāo)系的定義。

ENU坐標(biāo)系（導(dǎo)航坐標(biāo)系）

ENU坐標(biāo)系中的E表示East，N表示North，U表示Up，翻譯過(guò)來(lái)就是東北天坐標(biāo)系，小D第一次看到東北天這個(gè)名字時(shí)，還以為這個(gè)坐標(biāo)系跟咱們祖國(guó)大東北有啥關(guān)系，后來(lái)發(fā)現(xiàn)沒(méi)有關(guān)系。

所以，為了不讓別人產(chǎn)生誤解，小D就叫的北天東，其他文獻(xiàn)中也有叫北東天的。另外還有一個(gè)坐標(biāo)系是END，D表示Down。

ENU坐標(biāo)系是以某個(gè)點(diǎn)為原點(diǎn)，三個(gè)軸表示出正東方向，正北方向和指向天上的方向，其中的“指向天上”是指垂直于水平面或海平面向上。

在大多數(shù)的文獻(xiàn)中，ENU坐標(biāo)系Z軸一般表示指向天，如果X軸指向正東方向，Y軸指向正北方向，那么這個(gè)坐標(biāo)系就是ENU右手坐標(biāo)系；如果Z軸指向天，X軸指向正北，Y軸指向正東，那么這個(gè)ENU坐標(biāo)系就是左手坐標(biāo)系。

我們今天參考的文獻(xiàn)《機(jī)載衛(wèi)星通信天線角度的計(jì)算推導(dǎo)》中的NEU坐標(biāo)系是一個(gè)左手坐標(biāo)系，并且ENU坐標(biāo)系在這篇文獻(xiàn)中也被稱為導(dǎo)航坐標(biāo)系，記作n系。ENU左手坐標(biāo)系示意圖如下圖所示：

圖1ENU左手坐標(biāo)系（導(dǎo)航坐標(biāo)系n系）

機(jī)體坐標(biāo)系（載體坐標(biāo)系）

機(jī)體坐標(biāo)系也叫載體坐標(biāo)系，記作b系。機(jī)體坐標(biāo)系也有很多種定義方式，有的地方定義的是左手坐標(biāo)系，有的地方是右手坐標(biāo)系；有的機(jī)體Z軸垂直于水平面向上，有的垂直于水平面向下。

我們今天講的機(jī)體坐標(biāo)系是這樣定義的：X軸正方向指向飛機(jī)前進(jìn)的方向，與機(jī)身縱軸重合，Y軸指向機(jī)身右翼，Z軸垂直于機(jī)身平面向上，構(gòu)成左手坐標(biāo)系。

航向角、俯仰角、橫滾角

機(jī)體坐標(biāo)系中有個(gè)重要的概念，就是機(jī)體姿態(tài)角，姿態(tài)角包含三個(gè)角度：航向角(yaw)，俯仰角(pitch)，橫滾角(roll)，這三個(gè)角的定義如下：

航向角α：機(jī)頭方向在水平面的投影與正北之間的夾角，北偏東為正，范圍為0-360°；也可定義右偏為正，左偏為負(fù)，范圍為-180-180°。

俯仰角β：機(jī)頭方向與水平面的夾角，抬頭為正，范圍為-90-90°。

橫滾角γ：機(jī)體繞機(jī)體縱軸旋轉(zhuǎn)過(guò)的角度，右滾為正，范圍為-180-180°。

其實(shí)上面各個(gè)角度都是人為定義的，你也可以有不同的定義方式，重要的是在解算角度的時(shí)候，實(shí)際的偏離角度要和定義的角度一致。

機(jī)體坐標(biāo)系的航向角、俯仰角和橫滾角示意圖如下所示：

圖2 飛機(jī)水平飛行時(shí)的機(jī)體俯視圖

圖3 機(jī)體右偏時(shí)的航向角(俯視圖)

圖4機(jī)體左偏時(shí)的航向角(俯視圖)

圖5飛機(jī)水平飛行時(shí)的機(jī)體左視圖

圖6 機(jī)體向上抬頭時(shí)的俯仰角(左視圖)

圖7機(jī)體向下低頭時(shí)的俯仰角(左視圖)

圖8 飛機(jī)水平飛行時(shí)的機(jī)體前視圖

圖9 飛機(jī)向右滾轉(zhuǎn)時(shí)的橫滾角(前視圖)

注：向左滾轉(zhuǎn)和向右滾轉(zhuǎn)是以飛行員正視前方時(shí)的視角判斷的

圖9飛機(jī)向左滾轉(zhuǎn)時(shí)的橫滾角(前視圖)

上面的圖是小D用visio畫的，應(yīng)該可以很好地說(shuō)明航向角、俯仰角和橫滾角。

ENU左手坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到機(jī)體左手坐標(biāo)系

ENU左手坐標(biāo)系(導(dǎo)航坐標(biāo)系)轉(zhuǎn)到機(jī)體左手坐標(biāo)系(載體坐標(biāo)系)是一個(gè)有點(diǎn)抽象的過(guò)程，小D第一次看這個(gè)轉(zhuǎn)換過(guò)程的時(shí)候，覺(jué)得頭都大了，想了好久才想明白是怎么旋轉(zhuǎn)的。為了講清楚轉(zhuǎn)換原理，小D根據(jù)《機(jī)載衛(wèi)星通信天線角度的計(jì)算推導(dǎo)》里的圖，重新畫了一個(gè)三維圖，希望可以讓大家更好地理解這個(gè)過(guò)程。

下圖中，α是飛機(jī)的航向角，β是俯仰角，γ是橫滾角，大家可以結(jié)合小D參考的這篇文獻(xiàn)中的解釋來(lái)看這幾個(gè)角，小D把截圖放在文末了。

紫色的XnYnZn坐標(biāo)系代表NEU坐標(biāo)系，灰色的XbYbZb坐標(biāo)系代表機(jī)體坐標(biāo)系，虛線坐標(biāo)系是中間過(guò)程坐標(biāo)系。為了不讓示意圖看起來(lái)很復(fù)雜，文獻(xiàn)以及小D都把ENU坐標(biāo)系XnYnZn的原點(diǎn)放到了機(jī)尾位置，它本來(lái)應(yīng)該是和機(jī)體坐標(biāo)系XbYbZb共用一個(gè)原點(diǎn)的。

圖10 ENU坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到機(jī)體坐標(biāo)系的過(guò)程示意圖

現(xiàn)在我們來(lái)看看ENU坐標(biāo)系XnYnZn轉(zhuǎn)換到機(jī)體坐標(biāo)系XbYbZb的整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程，一共有三個(gè)旋轉(zhuǎn)變換：

①XnYnZn坐標(biāo)系先繞Zn軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，形成X′nY′nZ′n坐標(biāo)系；

②X′nY′nZ′n坐標(biāo)系繞Y′n軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角，形成X′′nY′′nZ′′n坐標(biāo)系；

③X′′nY′′nZ′′n坐標(biāo)系繞X′′n軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)γ角，與機(jī)體坐標(biāo)系XbYbZb重合。

圖中沒(méi)有畫出第③個(gè)過(guò)程，大家可以自己想像一下，或者用模型比劃一下，模型小D是用便簽紙和膠棒粘的一個(gè)三維的空間XYZ坐標(biāo)系，用來(lái)理解空間中的變換過(guò)程，大家也可以像小D一樣做一個(gè)模型。

圖11 自制模型

由于上面的過(guò)程是左手坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)過(guò)程，所以順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，計(jì)算帶入的角度是正的，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)計(jì)算帶入的角度是負(fù)的，根據(jù)小D上次發(fā)的公眾號(hào)文章中的左手坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣，我們可以計(jì)算ENU坐標(biāo)系XnYnZn轉(zhuǎn)換到機(jī)體坐標(biāo)系XbYbZb的旋轉(zhuǎn)矩陣：

這就是最終的旋轉(zhuǎn)矩陣了。

機(jī)體左手坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到ENU左手坐標(biāo)系

機(jī)體坐標(biāo)系轉(zhuǎn)到ENU坐標(biāo)系的過(guò)程是一個(gè)逆過(guò)程：

①XbYbZb坐標(biāo)系先繞Xb軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)γ角，形成X′bY′bZ′b坐標(biāo)系；

②X′bY′bZ′b坐標(biāo)系繞Y′b軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角，形成X′′bY′′bZ′′b坐標(biāo)系；

③X′′bY′′bZ′′b坐標(biāo)系繞Z′′b軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，與ENU坐標(biāo)系XnYnZn重合。

所以，機(jī)體左手坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到ENU左手坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)矩陣為：

文獻(xiàn)中的公式推導(dǎo)

《機(jī)載衛(wèi)星通信天線角度的計(jì)算推導(dǎo)》中的轉(zhuǎn)換過(guò)程示意圖如下圖所示，其中U軸是水平面正上方，小D繪制的跟文獻(xiàn)中的圖有一些不同的地方，就是Zb軸小D覺(jué)得應(yīng)該畫在U軸的右邊。

圖12文獻(xiàn)中的旋轉(zhuǎn)過(guò)程示意圖

除此之外，小D覺(jué)得文獻(xiàn)中給出的繞X，Y，Z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣是有點(diǎn)問(wèn)題的，正確的旋轉(zhuǎn)矩陣小D在上篇公眾號(hào)文章中給出了，大家可以對(duì)比一下，如果你覺(jué)得小D的觀點(diǎn)有問(wèn)題，也可以告訴小D。

文獻(xiàn)中關(guān)于ENU坐標(biāo)系（導(dǎo)航坐標(biāo)系）與機(jī)體坐標(biāo)系（載體坐標(biāo)系）的推導(dǎo)過(guò)程是這樣的：

需要注意的是，上面的“逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2π-α”與“順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α”是等效的。該篇文獻(xiàn)的作者講解的旋轉(zhuǎn)過(guò)程是導(dǎo)航坐標(biāo)系轉(zhuǎn)到載體坐標(biāo)系的過(guò)程，但是計(jì)算的旋轉(zhuǎn)矩陣是載體坐標(biāo)系轉(zhuǎn)到導(dǎo)航坐標(biāo)系的公式。

還有一點(diǎn)就是，作者可能是筆誤，三個(gè)矩陣相乘的結(jié)果也有一點(diǎn)問(wèn)題，小D用matlab計(jì)算了一下作者給出的三個(gè)矩陣相乘的公式，計(jì)算過(guò)程如下：

圖13旋轉(zhuǎn)矩陣相乘的驗(yàn)證代碼

圖14代碼計(jì)算結(jié)果

代碼計(jì)算結(jié)果如上圖所示，和作者計(jì)算的不一樣，字體有點(diǎn)小，大家可以自己在matlab里驗(yàn)證旋轉(zhuǎn)矩陣計(jì)算結(jié)果。

審核編輯：劉清