FFT、PFT和多相位DFT濾波器組瞬態(tài)響應(yīng)的比較

摘要：本文簡(jiǎn)要地論述了FFT和多相位DFT濾波器組在響應(yīng)方面的差異。一般而言，多相位DFT(甚至包括任何濾波器組，比如PFT)在穩(wěn)態(tài)條件下有著很好的相鄰信道抑制性能，而瞬態(tài)響應(yīng)卻很糟糕。這符合了濾波器沖激響應(yīng)結(jié)論。通過對(duì)一個(gè)典型的1024子帶濾波器組研究的簡(jiǎn)單例子說明這些不同點(diǎn)。

引言
濾波器組頻率響應(yīng)的研究是一個(gè)非常復(fù)雜的課題。這方面的大多數(shù)文章只研究穩(wěn)定狀態(tài)下的響應(yīng)，事實(shí)上，雷達(dá)和其它突發(fā)方式的信號(hào)具有瞬時(shí)的特性。因此，了解濾波器組的瞬時(shí)性能是非常重要的。一般而言，頻率分辨特性越好，穩(wěn)定下來需要的時(shí)間越長(zhǎng)。這是因?yàn)樵绞嵌盖偷臑V波器，其需要的抽頭就越多、沖激響應(yīng)時(shí)間越長(zhǎng)。因此，在穩(wěn)定期間，濾波器抽頭沒有充滿，相鄰信道的頻率響應(yīng)實(shí)際上比非加權(quán)的FFT濾波器組還要差。
本文將對(duì)FFT和多相位DFT濾波器組進(jìn)行比較，包括穩(wěn)定狀態(tài)和瞬時(shí)條件的情況。同時(shí)也簡(jiǎn)要地分析了過抽樣和所謂的“最小相位”濾波器的內(nèi)容。

濾波器組穩(wěn)定狀態(tài)下的
頻率響應(yīng)
頻率響應(yīng)的比較
眾所周知，管道FFT的有效濾波器響應(yīng)是Sinx/x (Sinc)函數(shù)，對(duì)很多應(yīng)用，它不能提供足夠的相鄰信道抑制能力。使用簡(jiǎn)單的窗口函數(shù)，比如Hanning, Kaiser, Blackman-Harris等，可改善濾波器的旁瓣抑制，代價(jià)是主瓣寬度減小。通過設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)臑V波器組，比如PFT和多相位DFT,可以改善頻率響應(yīng)特性。
有效噪聲帶寬
濾波器性能的另一個(gè)重要參數(shù)是有效噪聲帶寬(ENB)。表1給出了幾種濾波器組的比較。
由表1可知，Blackman-Harris窗口加權(quán)的FFT具有很好的旁瓣抑制，但在信噪比(S/N)上損失超過3dB ；而一個(gè)8抽頭多相位DFT(如下面要說明的一個(gè)8倍變換長(zhǎng)度的窗口)具有良好的旁瓣抑制和低的有效噪聲帶寬，信噪比損失只有1dB 。

圖1   2倍過抽樣、非加權(quán)、1024子帶管道FFT瞬態(tài)響應(yīng)

圖2   2倍過抽樣、5抽頭、1024子帶多相位DFT瞬態(tài)響應(yīng)

圖3  32倍過抽樣、5抽頭、1024子帶多相位DFT瞬態(tài)響應(yīng)

圖4  2倍過抽樣、5抽頭、最小相位、1024子帶多相位DFT瞬態(tài)響應(yīng)

一般時(shí)域考慮
時(shí)域抽樣窗口
對(duì)簡(jiǎn)單的窗口抽樣，窗口中的抽樣點(diǎn)數(shù)目等于它自身的變換長(zhǎng)度。為了獲得更好的濾波效果，需要使窗口中的抽樣點(diǎn)數(shù)目大于變換長(zhǎng)度。理論上，窗口的大小可以為任意長(zhǎng)度。在多相位DFT當(dāng)中，它通常是變換長(zhǎng)度的整數(shù)倍(2x，3x等)，但是在WOLA實(shí)現(xiàn)中，它可以是任意長(zhǎng)度。比方說，一個(gè)1024子帶的濾波器組可能需要4096個(gè)輸入抽樣(4倍幀長(zhǎng)度)作為第一個(gè)全輸出的幀。對(duì)于PFT濾波器組，需要的抽樣點(diǎn)數(shù)目等同于級(jí)聯(lián)濾波器的沖激響應(yīng)，但實(shí)際效果類似于獲得第一個(gè)全輸出幀需要的抽樣點(diǎn)數(shù)目，遠(yuǎn)超過了幀的長(zhǎng)度。
過抽樣
影響處理吞吐量速率的另一個(gè)因素是輸出濾波器需要的過抽樣程度。即使獲得臨界抽樣(抽樣速率正好等于奈奎斯特速率)也需要交迭處理。使用上面的例子，形成1024子帶的第一個(gè)全輸出幀需要4096個(gè)抽樣。要實(shí)現(xiàn)臨界抽樣就意味著1024子帶的下一幀在時(shí)間上必須與前一幀相鄰，并且輸出抽樣速率必須等于輸入抽樣速率。這可以通過下一組4096個(gè)抽樣點(diǎn)的起始延時(shí)1024個(gè)抽樣點(diǎn)、并進(jìn)行4次交迭處理來實(shí)現(xiàn)。要實(shí)現(xiàn)過抽樣，需要增加交迭的次數(shù)。再用以上的例子，2倍的過抽樣將需要4096個(gè)抽樣的延時(shí)，而通過8次交迭處理，僅需512個(gè)抽樣即可滿足上述要求。PFT通常采用2倍的過抽樣。
過抽樣的程度由新抽樣的數(shù)目M(每一次新變換的參數(shù))決定。M的值越小，過抽樣因子越大。

瞬態(tài)分析
一般參數(shù)
盡管多相位、WOLA 或 PFT濾波器組在穩(wěn)態(tài)條件(如穩(wěn)定的信號(hào)條件和所有的濾波器抽頭充滿)給出了很好的相鄰信道抑制性能，瞬態(tài)響應(yīng)卻是另外一種情況。在以下的討論中，使用的一般參數(shù)是：
?子帶的數(shù)目 = 1024
?輸入抽樣速率=102.4 MS/s(復(fù)數(shù))
?輸出抽樣速率 = 204.8 MS/s (2倍過抽樣)
?多相位抽頭的數(shù)目=5(等同5120點(diǎn)窗口)
?濾波器阻帶抑制 = -85 dB
?濾波器通帶紋波 = 0.2 dB(峰—峰)
?濾波器交迭 = 75%
最后一個(gè)參數(shù)用來測(cè)量濾波器的截止率。濾波器被設(shè)計(jì)成子帶的邊緣內(nèi)都是平坦的，然后進(jìn)入阻帶，與相鄰子帶的寬度有75%的交迭。
瞬態(tài)的結(jié)果由一個(gè)正弦波輸入的階梯函數(shù)產(chǎn)生，頻率范圍從中心頻率到半個(gè)子帶的偏移。它給出了對(duì)于FFT的最差的頻譜泄漏。
下面將介紹歸一化的功率譜(10*Log10{I2+Q2})，描述在2倍過抽樣速率(在這種情況下速率是204.8MS/s)情況下的管道輸出。一個(gè)單獨(dú)的1024抽樣的幀包含了從蠪s/2 到 +Fs/2的交織頻率子帶，這里Fs是輸入復(fù)數(shù)抽樣速率。
FFT瞬態(tài)響應(yīng)
圖1給出了非加權(quán)FFT的瞬態(tài)響應(yīng)。圖中沒有表示在第一次輸出前需要采集1024個(gè)抽樣和實(shí)際硬件處理帶來的任何其它延時(shí)的“廢棄”時(shí)間。因?yàn)樗?倍過抽樣，第一個(gè)1024點(diǎn)的幀還沒有達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。這可以由以下的事實(shí)說明：第一個(gè)輸出幀在5ms內(nèi)產(chǎn)生(1024個(gè)點(diǎn)以204.8MS/s 的抽樣速率產(chǎn)生)，而輸入抽樣速率是102.4MS/s ，這意味著只有512個(gè)抽樣是有用的(剩余的為0)。
多相位DFT瞬態(tài)響應(yīng)
圖2給出了5抽頭多相位DFT的瞬態(tài)響應(yīng)。很顯然，與FFT相比瞬態(tài)響應(yīng)的時(shí)間要長(zhǎng)，并且直到第10幀才完全達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。直到第5幀，有效的濾波器頻率響應(yīng)還不如非加權(quán)的FFT好。這是因?yàn)闉V波器的抽頭只是半充滿。達(dá)到全穩(wěn)定狀態(tài)花費(fèi)了10幀的時(shí)間(5抽頭乘以過抽樣因子)。
過抽樣的影響
有人可能認(rèn)為通過在濾波器組的輸出端進(jìn)行過抽樣能夠減少瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)間，這是不正確的。瞬態(tài)響應(yīng)是濾波器沖激響應(yīng)函數(shù)，過抽樣的影響只是使瞬態(tài)響應(yīng)的細(xì)節(jié)更加清楚。這可以通過以下的例子說明：
?子帶的數(shù)目=1024
?輸入抽樣速率=6.4MS/s (復(fù)數(shù))
?輸出抽樣速率 = 204.8MS/s (32倍過抽樣)
?多相位抽頭的數(shù)目=5(同上具有相同的有效濾波)
圖3給出了32倍過抽樣的瞬態(tài)響應(yīng)。為了保持204.8MS/s的輸出抽樣速率(受限于設(shè)備最大輸出速率)，輸入速率必須減小到6.4MS/s。
32倍過抽樣情形下的第80和第160幀的瞬態(tài)響應(yīng)恰好對(duì)應(yīng)于2倍過抽樣情形的第5和第10幀。這清楚地說明過抽樣并沒有獲得時(shí)間上的好處。32倍過抽樣的第1幀甚至比2倍過抽樣的第1幀還要差，因?yàn)楝F(xiàn)在5120個(gè)抽樣中只有32個(gè)可用。通過將圖2和圖3進(jìn)行比較，瞬態(tài)響應(yīng)的細(xì)微差別就更加清楚了(注意，由于輸入抽樣速率從102.4MS/s到6.4 MS/s的改變，引起時(shí)間軸刻度不同)。
最小相位FIR濾波器的影響
在此方面，一個(gè)更準(zhǔn)確的命名是“最小群時(shí)延濾波器”，因?yàn)閷?duì)于IIR濾波器而言，通過非線性相位響應(yīng)的代價(jià)，可以減少中心頻帶的群時(shí)延。典型的例子如圖4所示。
除了濾波器抽頭系數(shù)不同，其它參數(shù)和圖2一樣。可以看到，濾波器的幅度響應(yīng)增長(zhǎng)很快，但這并不意味著濾波器在相鄰信道抑制方面能夠更快的穩(wěn)定下來。
在最小相位第5幀，盡管幅度已經(jīng)達(dá)到了最大值，但頻譜響應(yīng)還沒有達(dá)到第9或第10幀的穩(wěn)定狀態(tài)條件。這方面的影響與標(biāo)準(zhǔn)多相位DFT的情況是類似的。

結(jié)語
結(jié)論很清楚?？焖偎矐B(tài)響應(yīng)和陡峭頻譜濾波器不能同時(shí)獲得。最快速穩(wěn)定時(shí)間可以從簡(jiǎn)單的FFT(加權(quán)或非加權(quán))得到，代價(jià)是相對(duì)差的頻譜濾波特性。從另一個(gè)方面看，Sinx/x  FFT 濾波器的階梯響應(yīng)很接近立即階梯響應(yīng)。
提到“磚墻”濾波器，設(shè)計(jì)人員必須接受隨之引起的由于濾波器需要充滿帶來的瞬態(tài)響應(yīng)延時(shí)。濾波器越陡峭，瞬態(tài)時(shí)間越長(zhǎng)。如果優(yōu)先考慮給定子帶的信號(hào)幅度，那么“最小相位”濾波器會(huì)有所幫助，但這并不能改善(實(shí)際上可能會(huì)惡化)瞬態(tài)期間的相鄰信道抑制性能。這也會(huì)帶來每一個(gè)子帶的非線性相位響應(yīng)。
過抽樣在瞬態(tài)期間展示更多細(xì)節(jié)方面有一定的作用，但它不會(huì)縮短瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)間。