線性相位FIR濾波器設(shè)計(jì)

　　如果一個(gè)FIR濾波器的脈沖響應(yīng)函數(shù)具有對(duì)稱(chēng)性或反對(duì)稱(chēng)性，則其相位響應(yīng)是頻率的線性函數(shù)r或附加一個(gè)固定的初始相位），這樣的濾波器稱(chēng)為線性相位FIR濾波器。由于系數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，實(shí)現(xiàn)線性相位FIR濾波器所需要的乘法器數(shù)量只有相同長(zhǎng)度FIR濾波器的r約）一半，并且沒(méi)有相位失真，因而線性相位FIR濾波器在無(wú)線通信，圖像處理，語(yǔ)音處理等領(lǐng)域有非常廣泛的應(yīng)用。在設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器時(shí)，通常需要給出通帶和阻帶的區(qū)間以及相應(yīng)誤差范圍r如通帶起伏，阻帶衰減等），有時(shí)還需要附加一些時(shí)域或頻域約束。常見(jiàn)的設(shè)計(jì)方法有窗函數(shù)法，頻率采樣法，等波紋法，線性規(guī)劃法，最小二乘法等。這些方法在計(jì)算量，優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，數(shù)值穩(wěn)定性等方面差別較大。窗函數(shù)法最為簡(jiǎn)單，但它在任何意義上都不是最優(yōu)的。在給定通帶和阻帶起伏的約束下，等波紋法可以得到最短的濾波器。它的通帶和阻帶具有等波紋特性，在最大誤差最小化意義上是最優(yōu)的。但這種方法無(wú)法兼容濾波器的時(shí)域和頻域約束。線性規(guī)劃法需要占用大量的內(nèi)存空間并且計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)。最小二乘法可以極小化誤差的能量，但這種方法需要矩陣求逆運(yùn)算，因而計(jì)算量較大。此外，該方法還存在數(shù)值穩(wěn)定性問(wèn)題．特別是在設(shè)計(jì)長(zhǎng)濾波器時(shí)該問(wèn)題更為突出。Vaidyanathan和Nguyen將線性相位FIR濾波器的設(shè)計(jì)表示成一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)正定矩陣的特征向量問(wèn)題，通過(guò)求解該矩陣的最小特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量即可得到濾波器的脈沖響應(yīng)函數(shù)。隨后該方法被推廣至任意FIR濾波器的設(shè)計(jì)，高階數(shù)字差分器的設(shè)計(jì)，IIR濾波器的設(shè)計(jì)，2維FIR濾波器的設(shè)計(jì)。該方法避免了復(fù)雜的矩陣求逆運(yùn)算，可以用高效的迭代法僅僅求解一個(gè)特征向量。這個(gè)方法的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是可以兼容濾波器的時(shí)域和頻域約束。但是該方法將零頻設(shè)為參考頻率，引入了不必要的附加約束。本文通過(guò)在通帶取平均的方法，避免了參考頻率的設(shè)定問(wèn)題，并提高了線性相位FIR濾波器的設(shè)計(jì)性能。