“時(shí)間常數(shù)”哪學(xué)來的？

“時(shí)間常數(shù)”哪學(xué)來的？

“電路”/“信號(hào)與系統(tǒng)”/“自動(dòng)控制原理”，多次揭示一階系統(tǒng)的運(yùn)行規(guī)律，其中τ(tao)就是時(shí)間常數(shù)time constant。電路中，RC串聯(lián)的零狀態(tài)響應(yīng)是典型的一階電路，τ=RC。

若u(t)為單位階躍輸入，輸出y(t)經(jīng)過3-5個(gè)τ的滯后才可近似認(rèn)為進(jìn)入了穩(wěn)態(tài)，達(dá)到靜態(tài)增益k。

簡(jiǎn)言之，“時(shí)間常數(shù)”只針對(duì)一階系統(tǒng)，廣義上的時(shí)間常數(shù)或可針對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)為一階形式的，類一階的高階系統(tǒng)。直觀地說，它代表了系統(tǒng)對(duì)抗外界變化，保持原狀的抵抗能力（慣性）。

那么，從穩(wěn)態(tài)來看，只要我身為舔狗等女神足夠久，一階環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)并不會(huì)對(duì)直流輸入產(chǎn)生影響。

直流書上都有，交流呢？

實(shí)際工程的采樣環(huán)節(jié)中，除了直流信號(hào)，我們常遇到交流信號(hào)（或含交流信號(hào)）的調(diào)理與高頻噪聲濾除，最簡(jiǎn)單且典型的，即采用一階濾波電路實(shí)現(xiàn)。

濾掉高頻噪聲很簡(jiǎn)單，但我們也應(yīng)該關(guān)心，經(jīng)過時(shí)間常數(shù)τ的一階濾波，正弦輸入基波的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，有沒有可能被濾過頭？

從用戶友好+小白實(shí)用的角度出發(fā)，必然是直接從時(shí)域得到結(jié)論。

已知輸入波形周期100us，一階濾波器的時(shí)間常數(shù)取多少us才可以不失真（幅度，相位）？

系統(tǒng)穩(wěn)定后，輸入輸出兩個(gè)正弦的基波，在時(shí)域上有多少延遲？

不必每次都理論計(jì)算/仿真，而能秒答這兩個(gè)問題，加速調(diào)試和設(shè)計(jì)過程，是本文撰寫的初衷。

怎么分析？

為了盡可能量化，聯(lián)系理論工具：正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)→波特圖。

一階系統(tǒng)波特圖和漸近線如下，轉(zhuǎn)折頻率為藍(lán)色線fc，輸入的ac信號(hào)基波頻率為綠色線fac。

由圖可知，為了幾乎不產(chǎn)生衰減和相移的失真，放在轉(zhuǎn)折頻率1/10以下，fac

我們就把fac放在fc/10的地方，為了找出時(shí)間常數(shù)和交流信號(hào)，在時(shí)域的直接關(guān)系，列表如下：

結(jié)論：頻域幅度和相位的不失真，即時(shí)域上幅度縮小和時(shí)間延遲近似忽略的情況下，在時(shí)域上需求的倍數(shù)關(guān)系高達(dá)62.8，也就是說，針對(duì)100us周期的輸入信號(hào)，濾波器時(shí)間常數(shù)不要超過1.6us。

那么，為了研究時(shí)域延遲，如果讓輸入信號(hào)頻率fac在fc之下自由移動(dòng)，（上圖中橙色區(qū)域），即周期低于20pi*τ，相移會(huì)有負(fù)的0°-45°之多，對(duì)應(yīng)的時(shí)域呢？

一階系統(tǒng)相位表達(dá)式如下，橙色區(qū)域恰對(duì)應(yīng)自變量2pi*f*τ的范圍在[0，1]。

百度一下，白嫖個(gè)函數(shù)圖像：

為了避免用大一高等數(shù)學(xué)的泰勒展開和各階近似把人繞暈，直接由圖可知：

x→0（無窮?。?，有y=-x成立；x=1時(shí)，y=-x*pi/4。

如果你愿意，可以把這段區(qū)域用y=-x和y=-x*pi/4包起來。

因此，知道了相角，由高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識(shí)，顯然可以得到對(duì)應(yīng)的時(shí)間：

結(jié)論：近似的，通過時(shí)間常數(shù)為τ的一階系統(tǒng)，若輸入的交流信號(hào)頻率處于相對(duì)中低頻（低于轉(zhuǎn)折頻率fc），輸出產(chǎn)生的延遲約在0.785τ~τ之間。

總結(jié)下

這就是大家的直覺印象，交流信號(hào)通過時(shí)間常數(shù)τ的濾波器，會(huì)產(chǎn)生大約τ的時(shí)域延遲的由來。

但要注意，該結(jié)論的近似條件，只到轉(zhuǎn)折頻率fc，也就是低頻才可等效。

某種程度上，這也直接從時(shí)域等效的角度，解釋了耳熟能詳?shù)模涸谙鄬?duì)低頻段，τ的純延遲環(huán)節(jié)可以和時(shí)間常數(shù)τ的一階慣性環(huán)節(jié)，相互近似等效。

如果從頻域的角度，畫出延遲環(huán)節(jié)（含e的超越函數(shù)）的波特圖曲線，可以發(fā)現(xiàn)在低頻段，其相角和一階系統(tǒng)差異很小。

究其數(shù)學(xué)根本，就是高數(shù)的泰勒展開近似。感興趣的同學(xué)可以自行查閱陳伯時(shí)老師的“電力拖動(dòng)自動(dòng)控制系統(tǒng)”課本，附錄中針對(duì)該近似的推導(dǎo)。

審核編輯 ：李倩

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