電機(jī)的PWM驅(qū)動(dòng)：PWM周期與電機(jī)的電氣時(shí)間常數(shù)之間的關(guān)系

關(guān)于有刷直流電機(jī)的PWM驅(qū)動(dòng)，有一個(gè)注意事項(xiàng)：“相比于電機(jī)的電氣時(shí)間常數(shù)，PWM周期要足夠短”。在本文中，我們來探討一下這個(gè)“足夠短的PWM周期”具體是多少。

PWM驅(qū)動(dòng)時(shí)，相比于電機(jī)的電氣時(shí)間常數(shù)，PWM周期要足夠短的含義是什么？

首先，我們來看數(shù)值上的相關(guān)性。占空比m=0.5時(shí)電流紋波值最大，“電機(jī)的電氣時(shí)間常數(shù)τ/PWM周期tpwm”與“電流紋波/平均電流”的關(guān)系如下表所示：

從這個(gè)表中可以看出，τ/tpwm需要10倍以上才能將紋波保持在5%以下，但實(shí)際上還應(yīng)該根據(jù)所需特性來決定。在數(shù)學(xué)上，“相比于電機(jī)的電器時(shí)間常數(shù)τ，當(dāng)PWM周期tpwm足夠短時(shí)”，可以認(rèn)為tpwm/τ≈0，因此可以理解為τ/tpwm要大于100。

下面通過公式來求一下結(jié)果。首先來看對(duì)有刷直流電機(jī)施加電源電壓時(shí)的等效電路。

電機(jī)的電氣時(shí)間常數(shù)是表示相對(duì)于輸入電壓的電流上升特性的值，是達(dá)到峰值的63.2%所需的時(shí)間。如等效電路所示，從電氣角度看，電機(jī)是將電機(jī)的發(fā)電電壓Ec加在電阻R和電感L的串聯(lián)電路中。電機(jī)的電氣時(shí)間常數(shù)τ用L/R來表示。這意味著該值越小，電流波形上升越快。

假設(shè)電機(jī)發(fā)電電壓Ec=0V，則將電壓Ea分步施加給電機(jī)等效電路中的電感L和電阻R時(shí)的瞬態(tài)電流i的關(guān)系式為

L?(di/dt)＋R?i＝Ea ……（1）
這個(gè)微分方程的通解是
?i＝Ea/R＋A?exp(－R?t/L)?????A：初始值 ……（2）
因此，如果在t=0時(shí)流過i=i_0 的初始值電流，則
?A＝i_0－Ea/R ……（3）
所以
?i＝(Ea/R)?(1－exp(－R?t/L))＋i_0?exp(－R?t/L) ……（4）

接下來是電機(jī)端子間短路、電流再生時(shí)的等效電路。

Ia：電機(jī)電流
R：電機(jī)的等效電阻
L：電機(jī)的等效電感
Ec：電機(jī)的發(fā)電電壓

求此時(shí)的瞬態(tài)電流i。在方程（2）中，設(shè)Ea＝0V即可，因此i為
?i＝A?exp(－R?t/L) ……（5）
當(dāng)t=0時(shí)，有刷直流電機(jī)PWM驅(qū)動(dòng)瞬態(tài)電流波形τ/tpwm變化時(shí)，假設(shè)流過i_0的初始值電流，則
?A＝i_0 ……（6）
所以
?i＝i_0?exp(－R?t/L) ……（7）

從這些公式可以看出，PWM工作時(shí)流過電機(jī)線圈的瞬態(tài)電流，假設(shè)施加電壓時(shí)的電流為 i_1，則指數(shù)函數(shù)為
?i_1＝(Ea/R)?(1－exp(－m?tpwm/τ))＋i_01?exp(－m?tpwm/τ) ……（8）
另外，假設(shè)電機(jī)端子間短路，電流再生時(shí)流過的電流為i_2，則指數(shù)函數(shù)為
?i_2＝i_02?exp(－(1－m)?tpwm/τ) ……（9）

但是前提是Ea：施加電壓，R：電機(jī)的等效電阻值，m：占空比（=0～1），tpwm：PWM周期，τ：電機(jī)的電氣時(shí)間常數(shù)（=L/R），i_01、i_02：各初始電流值，電機(jī)的發(fā)電電壓Ec=0V。
根據(jù)這些瞬態(tài)電流公式來考慮相對(duì)于電機(jī)的電氣時(shí)間常數(shù)來說足夠短的PWM周期時(shí)，應(yīng)為
?－M?tpwm/τ≈0τ≈0 或 －(1－m)?tpwm/τ≈0
而
?Exp(－m?tpwm/τ)≈1τ)≈1 或 exp(－(1－m)?tpwm/τ)≈1
所以
?i_1≈i_01、i_2≈i_02
成立，始終會(huì)流過恒定的電流。而如果要使
?－M?tpwm/τ≈0τ≈0 或 －(1－m)?tpwm/τ≈0
成立，從數(shù)學(xué)角度看，需要
?τ/(m?tpwm)>100、τ/((1－m)?tpwm)>100
即使按照PWM周期tpwm來考慮，也需要
?τ/tpwm>100
的程度。
關(guān)于電流紋波，當(dāng)電流穩(wěn)定時(shí)，i_2的初始值變?yōu)閕_1，i_2的結(jié)果變?yōu)閕_1的初始值i_0，因此以下三個(gè)公式成立。
?i_1＝(Ea/R)?(1－exp(－m?tpwm/τ))＋i_0?exp(－m?tpwm/τ) ……（10）
?i_2＝i_1?exp(－(1－m)?tpwm/τ) ……（11）
?i_2＝i_0 ……（12）
通過總結(jié)公式，消去i_1和i_2，可以求得i_0和m、tpwm、τ的關(guān)系式，代入?yún)?shù)并計(jì)算可以求得各電流值。
下面給出了兩個(gè)使用這些公式，從電機(jī)電流0A開始進(jìn)行PWM驅(qū)動(dòng)時(shí)的瞬態(tài)電流波形示例。首先是在Ea＝12V、R＝6Ω的條件下，按照τ/tpwm＝10、tpwm＝100μs使m變化時(shí)的曲線圖，可以看出m＝0.5時(shí)的紋波最大。

接下來同樣是在Ea＝12V、R＝6Ω條件下的曲線圖，是通過在m＝0.5時(shí)改變tpwm，從而使τ/tpwm變化的示例，可以看出τ/tpwm越大，紋波越小。

實(shí)際上，當(dāng)電源接通時(shí)和電機(jī)端子間短路時(shí)，需要考慮驅(qū)動(dòng)電路中輸出MOSFET的導(dǎo)通電阻、以及再生電流流經(jīng)MOSFET的寄生二極管等因素。