普及一下程序猿們經(jīng)常遇見(jiàn)的樹(shù)

公歷 3 月 12 日是一年一度的植樹(shù)節(jié)。旨在宣傳保護(hù)森林，并動(dòng)員群眾參加植樹(shù)造林活動(dòng)。說(shuō)到樹(shù)，程序猿們肯定不陌生，趁著這個(gè)植樹(shù)節(jié)，普及一下程序猿們經(jīng)常遇見(jiàn)的樹(shù)。

二叉搜索樹(shù)

定義

二叉搜索樹(shù)又稱(chēng)二叉查找樹(shù)，亦稱(chēng)為二叉排序樹(shù)。設(shè) x 為二叉查找樹(shù)中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，x 節(jié)點(diǎn)包含關(guān)鍵字 key，節(jié)點(diǎn)x 的 key 值記為 key[x] 。如果 y 是 x 的左子樹(shù)中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，則 key[y] <= key[x] ；如果 y 是 x 的右子樹(shù)的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，則 key[y] >= key[x] 。

查找性能

當(dāng)數(shù)據(jù)數(shù)目為 N，樹(shù)高度保持 logN 附近。則平均查找長(zhǎng)度與 logN 成正比，查找平均時(shí)間復(fù)雜度為 O(logN) 。 當(dāng)先后插入的關(guān)鍵字有序時(shí)，二叉搜索樹(shù)退化成單支樹(shù)結(jié)構(gòu)。此時(shí)樹(shù)高 N 。平均查找長(zhǎng)度為 (N+1)/2 ，查找的平均時(shí)間復(fù)雜度為 O(N) 。

插入性能

插入效率與查找效率一致。??

刪除性能

刪除節(jié)點(diǎn)時(shí)，若節(jié)點(diǎn)為葉子節(jié)點(diǎn)，或者節(jié)點(diǎn)只有單一子樹(shù)，則時(shí)間復(fù)雜度為 O(1) 。若節(jié)點(diǎn)既有左子樹(shù)又有右子樹(shù)，則需要執(zhí)行遞歸過(guò)程，對(duì)應(yīng)時(shí)間復(fù)雜度為 O(logN) 。

應(yīng)用場(chǎng)景

二叉排序樹(shù)就既有鏈表的好處，也有數(shù)組的好處，因此在處理大批量的動(dòng)態(tài)的數(shù)據(jù)是比較有用。

種樹(shù)

平衡二叉樹(shù)

定義

平衡二叉樹(shù)是一種特殊的二叉搜索樹(shù)。平衡二叉樹(shù)保證節(jié)點(diǎn)平衡因子的絕對(duì)值不超過(guò)1，保證了樹(shù)的平衡。

查找性能

平衡二叉樹(shù)是嚴(yán)格平衡的，那么查找過(guò)程與二叉搜索樹(shù)一樣，只是平衡二叉樹(shù)不會(huì)出現(xiàn)最差的單支樹(shù)情形。因此查找效率最好，最壞情況時(shí)間復(fù)雜度為 O(logN) 。

插入性能

插入數(shù)據(jù)之前需要進(jìn)行查找操作，查找到插入位置。插入數(shù)據(jù)后需要進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作，旋轉(zhuǎn)操作復(fù)雜度為常量級(jí)。因此插入數(shù)據(jù)的時(shí)間復(fù)雜度與查找相同為 O(logN)。

刪除性能

刪除數(shù)據(jù)同樣需要查找數(shù)據(jù)，在刪除數(shù)據(jù)后需要進(jìn)行調(diào)整。一次刪除最多需要需要O(logN)次旋轉(zhuǎn)，因此刪除數(shù)據(jù)的時(shí)間復(fù)雜度為O(logN)+O(logN)=O(2logN)。

應(yīng)用場(chǎng)景

SGI/STL的 set/map 底層都是用紅黑樹(shù)（平衡二叉樹(shù)的一種）實(shí)現(xiàn)的。

種樹(shù)

紅黑樹(shù)

定義

平衡二叉樹(shù)的嚴(yán)格平衡策略以犧牲建立查找結(jié)構(gòu)(插入，刪除操作)的代價(jià)，換來(lái)了穩(wěn)定的O(logN) 的查找時(shí)間復(fù)雜度。紅黑樹(shù)采用了折中策略，即不犧牲太大的建立查找結(jié)構(gòu)的代價(jià)，同時(shí)又能保證穩(wěn)定高效的查找效率。

查找性能

由于紅黑樹(shù)的性質(zhì)(最長(zhǎng)路徑長(zhǎng)度不超過(guò)最短路徑長(zhǎng)度的 2 倍)，可以說(shuō)明紅黑樹(shù)雖然不像平衡二叉樹(shù)一樣是嚴(yán)格平衡的，但平衡性能還是要比二叉搜索樹(shù)要好。其查找代價(jià)基本維持在 O(logN) 左右，但在最差情況下(最長(zhǎng)路徑是最短路徑的 2 倍少 1)，比平衡二叉樹(shù)效率低一些。

插入性能

紅黑樹(shù)插入結(jié)點(diǎn)時(shí)，需要旋轉(zhuǎn)操作和變色操作。但由于只需要保證紅黑樹(shù)基本平衡就可以了。因此插入結(jié)點(diǎn)最多只需要2次旋轉(zhuǎn)，這一點(diǎn)和平衡二叉樹(shù)的插入操作一樣，但是變色操作的時(shí)間復(fù)雜度為O(logN)。

刪除性能

紅黑樹(shù)的刪除操作代價(jià)要比平衡二叉樹(shù)要好的多，刪除一個(gè)結(jié)點(diǎn)最多只需要 3 次旋轉(zhuǎn)操作，保證了刪除時(shí)間復(fù)雜度維持在常量級(jí)。

應(yīng)用場(chǎng)景

應(yīng)用場(chǎng)景有很多。

Java 中的 TreeSet ,TreeMap，HashMap

C++ 的 STL中的 map 和 set 都是用紅黑樹(shù)實(shí)現(xiàn)的

epoll 在內(nèi)核中的實(shí)現(xiàn)，用紅黑樹(shù)管理事件塊

nginx 中，用紅黑樹(shù)管理 timer 等

linux 進(jìn)程調(diào)度 Completely Fair Schedule r,用紅黑樹(shù)管理進(jìn)程控制塊

種樹(shù)

B 樹(shù)

定義

B樹(shù)是一種多路平衡查找樹(shù)，在相同數(shù)據(jù)數(shù)目情形下，B樹(shù)的高度更小，這樣就減少了磁盤(pán)的IO次數(shù)，在文件系統(tǒng)以及數(shù)據(jù)庫(kù)索引等場(chǎng)景下提升了查找效率。

查找性能

B樹(shù)的查找分成兩種：一種是從一個(gè)結(jié)點(diǎn)查找另一結(jié)點(diǎn)的地址的時(shí)候，需要定位磁盤(pán)地址(查找地址)，查找代價(jià)極高。另一種是將結(jié)點(diǎn)中的有序關(guān)鍵字序列放入內(nèi)存，進(jìn)行優(yōu)化查找(可以用折半)，相比查找代價(jià)極低。而B(niǎo)樹(shù)的高度很小，因此在這一背景下，B樹(shù)比任何二叉結(jié)構(gòu)查找樹(shù)的效率都要高很多。

插入性能

B樹(shù)的插入會(huì)發(fā)生結(jié)點(diǎn)的分裂操作。當(dāng)插入操作引起了 s 個(gè)節(jié)點(diǎn)的分裂時(shí)，磁盤(pán)訪問(wèn)的次數(shù)為 h (讀取搜索路徑上的節(jié)點(diǎn)) ＋2s (回寫(xiě)兩個(gè)分裂出的新節(jié)點(diǎn)) ＋1（回寫(xiě)新的根節(jié)點(diǎn)或插入后沒(méi)有導(dǎo)致分裂的節(jié)點(diǎn)）。因此，所需要的磁盤(pán)訪問(wèn)次數(shù)是 h+2s+1，最多可達(dá)到 3h+1。因此插入的代價(jià)較大。

刪除性能

B樹(shù)的刪除會(huì)發(fā)生結(jié)點(diǎn)合并操作。最壞情況下磁盤(pán)訪問(wèn)次數(shù)是 3h＝（找到包含被刪除元素需要h次讀訪問(wèn)）+（獲取第2至h層的最相鄰兄弟需要h-1次讀訪問(wèn)）+（在第3至h層的合并需要h-2次寫(xiě)訪問(wèn)）+（對(duì)修改過(guò)的根節(jié)點(diǎn)和第2層的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行3次寫(xiě)訪問(wèn)）。

應(yīng)用場(chǎng)景

B樹(shù)/B+樹(shù)主要用于磁盤(pán)文件組織 數(shù)據(jù)索引和數(shù)據(jù)庫(kù)索引等場(chǎng)景。

種樹(shù)

B+ 樹(shù)

定義

B+樹(shù)是B-樹(shù)的一種變體，B+樹(shù)相比B-樹(shù)的特點(diǎn)：

（1）索引節(jié)點(diǎn)的key值均會(huì)出現(xiàn)在葉子節(jié)點(diǎn)中。（2）索引節(jié)點(diǎn)中的key值在葉子節(jié)點(diǎn)中或者為最大值或者為最小值。（3）葉子節(jié)點(diǎn)使用單鏈表的形式鏈接起來(lái)。

查找性能

（1）在相同數(shù)量的待查數(shù)據(jù)下，B+樹(shù)查找過(guò)程中需要調(diào)用的磁盤(pán)IO操作要少于普通B-樹(shù)。由于B+樹(shù)所在的磁盤(pán)存儲(chǔ)背景下，因此B+樹(shù)的查找性能要好于B-樹(shù)。

（2）B+樹(shù)的查找效率更加穩(wěn)定，因?yàn)樗腥~子結(jié)點(diǎn)都處于同一層中，而且查找所有關(guān)鍵字都必須走完從根結(jié)點(diǎn)到葉子結(jié)點(diǎn)的全部歷程。因此同一顆B+樹(shù)中，任何關(guān)鍵字的查找比較次數(shù)都是一樣的。而B(niǎo)樹(shù)的查找是不穩(wěn)定的。

插入性能

B+樹(shù)的插入過(guò)程與B樹(shù)類(lèi)似，性能也基本一致。

刪除性能

刪除性能與B樹(shù)也基本一致。

應(yīng)用場(chǎng)景

B樹(shù)/B+樹(shù)主要用于磁盤(pán)文件組織 數(shù)據(jù)索引和數(shù)據(jù)庫(kù)索引等場(chǎng)景。

種樹(shù)

霍夫曼樹(shù)

定義

給定 n 個(gè)權(quán)值作為 n 個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，構(gòu)造一棵二叉樹(shù)，若該樹(shù)的帶權(quán)路徑長(zhǎng)度達(dá)到最小，稱(chēng)這樣的二叉樹(shù)為最優(yōu)二叉樹(shù)，也稱(chēng)為霍夫曼樹(shù)(Huffman Tree)。

霍夫曼樹(shù)是帶權(quán)路徑長(zhǎng)度最短的樹(shù)，權(quán)值較大的結(jié)點(diǎn)離根較近。

應(yīng)用場(chǎng)景

霍夫曼樹(shù)主要用于霍夫曼編碼，進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮領(lǐng)域。

霍夫曼編碼