定積分-黎曼和的極限解析

定積分如果存在就是一個具體的數(shù)值，這個精確的定義是黎曼給出的，所以也叫黎曼積分。

定積分的概念起源于求平面圖形的面積和其他的一些實際問題。主要用的思想是微元法（元素法）。

主要的思想就是 分割，取近似值，求和，取極限

定積分的幾何意義：其絕對值表示曲線梯形的面積

大概就是這樣，真丑

公式是這樣的

定積分（外文名：definite integral）是分的一種，是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上積分和的極限。

這里應注意定積分與不定積分之間的關(guān)系：若定積分存在，則它是一個具體的數(shù)值，而不定積分是一個函數(shù)表達式，它們僅僅在數(shù)學上有一個計算關(guān)系（牛頓-萊布尼茨公式）。

首先是一個有界的函數(shù)

接著在下面切片，一條一條的

在區(qū)間里面任意的找一點，不是中點

然后就求和唄，一塊一塊的

以上三張圖非常精彩

說明了小區(qū)間的點是任意取的，所以導致這個矩形的面積不是固定的。

這個就是最后一步了，分割完怎么辦？

一開始很粗

進一步變小

很密集

定積分的求解其實和不定積分的求解方法差不多，只是最后要利用牛頓萊布尼茨公式將上下限代入原函數(shù)求差值。

最后再看一眼這個公式

黎曼和的極限是定積分，但是一般只需要Newton-Leibniz公式就可以計算定積分的值而不需要黎曼和。

因此，對于求和式的極限，如果能把它寫成黎曼和的形式，那么其極限就是定積分的值。

并不是所有函數(shù)都可積，但是連續(xù)函數(shù)是可積的，記住三類：

1.連續(xù)函數(shù)

2.單調(diào)函數(shù)

3.在[a,b]上有界但是有且僅有有限個間斷的點或無定義的點函數(shù)。

可積函數(shù)必須有界，無界函數(shù)都不可積。

審核編輯：劉清