Atiyah證明黎曼猜想的基本思想與價值

作者：葉揚波 著名數(shù)學(xué)家，美國愛荷華大學(xué)教授。作為數(shù)論學(xué)家，他在中國大陸出版有《跡公式與模形式》等專著。以下是他談Atiyah關(guān)于黎曼猜想的證明的文章，觀點專業(yè)而且獨到，轉(zhuǎn)載此文，希望大家能根據(jù)此文看到Atiyah證明黎曼猜想的基本思想與價值。

這幾天大家都非常關(guān)心Atiyah證明黎曼猜想的事情。作為一名數(shù)論工作者，我自然也非常關(guān)心，而且反復(fù)閱讀了Atiyah的兩篇論文?，F(xiàn)在所有的人都在說他的證明不對，我想要進一步弄清楚（1）他是用什么思路什么方法來研究黎曼猜想的，（2）他的所謂證明是否嚴(yán)格，（3）即使他的證明是錯的，他的思路方法是否有可取之處。現(xiàn)在談?wù)勎业目捶?，以補充大家的熱議。

問題（2）最容易回答，老先生的文章的確有許多漏洞。比如最關(guān)鍵的Todd函數(shù)T(s)他說在任意凸區(qū)域內(nèi)是多項式，我覺得他應(yīng)該說T(s)在凸區(qū)域內(nèi)是局部多項式。他又說T(s)把直線Im(s)=1/2映射到自己，可是又說T(s)在這條直線上的極限為137.035999...他說T(s)在這條直線上是單調(diào)增，可是他明明剛說過T(s)在凸區(qū)域1/4

更加致命的錯誤可能是用T(s)來證明黎曼猜想。老先生用T(s)和黎曼zeta函數(shù)

zeta(s)=1/1^s+1/2^s+1/3^s+...

作了一個復(fù)合函數(shù)，宣稱該復(fù)合函數(shù)恒等于零，用這個矛盾推出了黎曼猜想成立?？墒沁@個證明過程中沒有用到zeta(s)的任何性質(zhì)與定義，也就是說你可以把zeta(s)換成任何其他函數(shù)也能證明出來類似的定理。這就有點天方夜譚了。

Atiyah的證明是建立在實數(shù)域R上的von Neumann馮·卡門代數(shù)A和有理數(shù)域Q上的Hirzebruch代數(shù)A(Q)上的。這兩個代數(shù)超級巨大，比如A是2x2復(fù)矩陣代數(shù)與自身的無窮張量積的弱閉包。2x2復(fù)矩陣有兩個映射到復(fù)數(shù)域C，為矩陣映到其兩個特征值。老爺子把這兩個映射擴充到A的中心C(A)上，用這兩個映射一來一回定義T(s)?？墒蔷仃嚧鷶?shù)的中心不是都由相同對角元素的對角矩陣組成的嗎？這兩個特征值是一樣的對不對？就算兩個特征值不一樣，你憑什么說哪個是第一個哪個是第二個？尤其是還要來一個無窮張量積，全裹和到一塊兒去了，這樣定義出來的T(s)令人費解。

回到問題（1），大家已經(jīng)看出來了，Atiyah的理論是建立在巨大無比的兩個代數(shù)結(jié)構(gòu)上的。這兩個巨大的代數(shù)一個在R上，一個在Q上，它們之間的關(guān)系包含了所有的數(shù)論信息。而以這兩個代數(shù)中的元素作為線性算子，它們的特征值為所謂的證明提供了核心的基礎(chǔ)框架。不管證明對不對，上面這幾句話概括了Atiyah的思路與方法。

那么問題（3）來了，到底Atiyah的思路與方法有沒有可取之處？

近年來數(shù)論界對黎曼猜想的研究，公認(rèn)的一個進展是發(fā)現(xiàn)黎曼zeta函數(shù)的非平凡零點與重原子能級有同樣的統(tǒng)計分布。重原子能級是量子力學(xué)中Hamiltonian算子的特征值。這個發(fā)現(xiàn)一度被認(rèn)為是自黎曼猜想之后人類對黎曼zeta函數(shù)的第二個重大發(fā)現(xiàn)。但是幾年之后一位學(xué)者在德國的一家圖書館翻閱黎曼數(shù)學(xué)手稿，赫然發(fā)現(xiàn)黎曼在計算黎曼zeta函數(shù)零點的手稿的紙背，寫有大量關(guān)于原子能級的計算。這一下真相大白，原來黎曼早就意識到了非平凡零點與重原子能級之間的可能聯(lián)系。

從此數(shù)論學(xué)家們的目標(biāo)就是要找到這樣一個算子，使得它的特征值是黎曼zeta函數(shù)的非平凡零點。然后通過研究這個算子，就像對稱算子特征值均為實數(shù)一樣，證明所有非平凡零點的實部均為1/2，從而證明黎曼猜想。而這個思路在有限域上的函數(shù)域上已經(jīng)被證明了。

從這個意義下來說，Atiyah的思路是對的。算子有了，特征值也出現(xiàn)了。是不是他用的von Neumann算子代數(shù)和Hirzebruch算子代數(shù)真的包含了大家夢寐以求可以用來證明黎曼猜想的那個算子，或者可以在其之上構(gòu)建出一個，我想這未來的幾年一定會研究輩出。大家翹首以待吧，或者最好親身加入這個研究的行列。這條路如果最終能夠走通，Atiyah的文章就是有歷史意義的了。