難以證明又無法推翻的黎曼猜想被證明了嗎？

困擾人類 159 年的最重要數(shù)學(xué)猜想被證明了？

剛剛公布的德國海德堡獲獎(jiǎng)?wù)?a href="http://wenjunhu.com/article/bbs/" target="_blank">論壇日程中，9 月 24 日著名數(shù)學(xué)家 Michael Atiyah 將會(huì)做一場關(guān)于 “證明黎曼猜想” 的報(bào)告。消息傳出，數(shù)學(xué)物理計(jì)算機(jī)各路豪杰，紛紛炸了鍋。

海德堡獲獎(jiǎng)?wù)哒搲倬W(wǎng)的日程顯示，該報(bào)告是在 9 月 24 日上午

網(wǎng)址：https://www.heidelberg-laureate-forum.org/event_2018/

瑞典籍澳大利亞數(shù)學(xué)家 Steve McCormick 在社交網(wǎng)絡(luò)上發(fā)布了這一消息，引起大量關(guān)注，小編在論壇官網(wǎng)證實(shí)的確有這樣一個(gè)日程。（論壇官網(wǎng)一直到今天下午才能訪問，可能是全球數(shù)學(xué)愛好者聽說消息紛紛趕來圍觀，服務(wù)器都被拖垮了）

翻譯一下摘要：“黎曼猜想是 1859 年提出的著名問題，至今懸而未決。我會(huì)基于馮諾依曼（1936）、希策布魯克（1954）和狄拉克（1928）的相關(guān)工作，給出一個(gè)使用全新方法的簡潔證明?！?/p>

德國海德堡獲獎(jiǎng)?wù)哒搲℉eidelberg Laureate Forum）是一個(gè)由國際頂級(jí)獎(jiǎng)項(xiàng)（圖靈獎(jiǎng)、阿貝爾獎(jiǎng)、林奈獎(jiǎng)、菲爾茲獎(jiǎng)）得主與青年學(xué)者交流的研討會(huì)，自 2013 年開始舉辦，頂尖學(xué)者每年齊聚一堂，相關(guān)討論在數(shù)學(xué)屆甚至整個(gè)科學(xué)界都受到廣泛關(guān)注。在這樣一個(gè)大場合，倒配得上公布黎曼猜想得證的消息。

黎曼猜想——最重要的數(shù)學(xué)猜想

早在 1737 年，大數(shù)學(xué)家歐拉就發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)分布問題與 Zeta 函數(shù)的聯(lián)系，給出并證明了歐拉乘積公式，使得 Zeta 函數(shù)成為研究質(zhì)數(shù)問題的經(jīng)典方法。

歐拉乘積公式，其中 p 為質(zhì)數(shù)，n 為自然數(shù)

黎曼猜想（Riemann Hypothesis）由大數(shù)學(xué)家黎曼在 1859 年首次提出，討論黎曼 Zeta 函數(shù)的非平凡解問題。

黎曼猜想是眾多尚未解決的最重要的數(shù)學(xué)問題之一，被克雷數(shù)學(xué)研究所列為待解決的七大千禧問題，懸賞百萬美金證明或者證偽。一百年前希爾伯特就曾被問過一個(gè)問題 “假定你能死而復(fù)生，你會(huì)做什么？”，他的回答是，“我會(huì)問黎曼猜想是否已經(jīng)解決”?？梢娎杪孪攵嗝次?。

伯恩哈德 · 黎曼（Bernhard Riemann，1826-1866）

集智俱樂部在今年 5 月，曾經(jīng)報(bào)道過研究者用晶體衍射實(shí)驗(yàn)研究質(zhì)數(shù)分布問題的最新進(jìn)展。質(zhì)數(shù)分布間隔的規(guī)模至今是未解之謎，而研究者發(fā)現(xiàn)，如果用質(zhì)數(shù)序列作為準(zhǔn)晶體微粒的分布間隔，就可以在其光學(xué)衍射結(jié)果中發(fā)現(xiàn)出分形結(jié)構(gòu)。這為解開質(zhì)數(shù)之謎提供了新的靈感，但仍然不能直接證明黎曼猜想。

質(zhì)數(shù)分布、分形幾何、晶體衍射——竟然被一個(gè)小實(shí)驗(yàn)聯(lián)系到一起

如何用 Mathematica 窺探質(zhì)數(shù)分布中隱藏的分形規(guī)律

Michael Atiyah 爵士是何許人也，竟然有這樣的野心？

數(shù)學(xué)最高獎(jiǎng)獲得者，Michael Atiyah 爵士

Michael Atiyah（1924-）是當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家，主要研究領(lǐng)是幾何，他于 1966 年獲得 4 年頒發(fā)一次的數(shù)學(xué)界最高獎(jiǎng)菲爾茲獎(jiǎng)，而且在 1990-1995 年擔(dān)任英國皇家學(xué)會(huì)主席。

Michael Atiyah（1924-）

Atiyah 最重要的工作都是在上世紀(jì)六七十年代完成的。但作為一位年屆九旬的科學(xué)家，他仍然活躍在學(xué)術(shù)前沿，并時(shí)常有驚人之舉，2016 年他因?yàn)榻o出一個(gè) “6 維球面上不存在復(fù)結(jié)構(gòu)” 的證明被質(zhì)疑而頗具爭議。

而黎曼猜想本身的確非常難，所以在 Michael Atiyah 證明黎曼猜想的消息公開之后，社交媒體上多數(shù)人仍在觀望，畢竟太多人都曾聲稱自己證明了黎曼猜想但之后卻被推翻，連大數(shù)學(xué)家哈代也犯過這種錯(cuò)誤。

難以證明又無法推翻的黎曼猜想

回到黎曼猜想上。黎曼猜想是關(guān)于黎曼 Zeta 函數(shù)的零點(diǎn)分布的猜想。黎曼 Zeta 函數(shù)長這個(gè)樣子：

黎曼 Zeta 函數(shù)有兩種零點(diǎn)，一種是位于實(shí)數(shù)軸線上的零點(diǎn)，被稱為平凡零點(diǎn)，另一種是位于其他復(fù)平面區(qū)域上的零點(diǎn)，被稱為非平凡零點(diǎn)，目前數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明這些非平凡零點(diǎn)全部位于實(shí)部區(qū)間為 0 到 1 的復(fù)平面內(nèi)，而黎曼則大膽猜想，這些非平凡零點(diǎn)全部位于實(shí)部為 1/2 的一條直線上。

“所有非平凡零點(diǎn)都位于實(shí)部為 1/2 的直線上” 是一個(gè)尚未得到嚴(yán)格證明的猜想，但數(shù)學(xué)家們至今找到的上萬億個(gè)非平凡零點(diǎn)的確都位于這條直線上，無一例外。

不止如此，黎曼猜想還跟冪律分布有關(guān)。

我們都知道冪律分布是指

其中 x 如果只能取 1,2,3,...,n 的整數(shù)，c 為歸一化常數(shù)，滿足：

而這里面的

就是 Zeta 函數(shù)，黎曼猜想就是關(guān)于這個(gè)函數(shù)的，但是 a 可以取復(fù)數(shù)值。

黎曼猜想真的會(huì)被證明嗎？

質(zhì)數(shù)分布沒有簡單規(guī)律，但質(zhì)數(shù)出現(xiàn)的頻率跟黎曼 Zeta 函數(shù)緊密相關(guān)。有數(shù)學(xué)家甚至認(rèn)為黎曼猜想與強(qiáng)條件下的質(zhì)數(shù)定理是等價(jià)的。目前已經(jīng)驗(yàn)證了前 1,500,000,000 個(gè)質(zhì)數(shù)對(duì)這個(gè)定理都成立，但至今沒有完全證明。黎曼猜想得證，對(duì)質(zhì)數(shù)研究、數(shù)論研究意義重大。

黎曼猜想對(duì)許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域都意義重大，質(zhì)數(shù)分布只是其中一個(gè)。有上千個(gè)數(shù)學(xué)命題都建立在黎曼猜想為真的基礎(chǔ)上。多數(shù)數(shù)學(xué)家認(rèn)為這個(gè)猜想是正確的，如果黎曼猜想被證偽，數(shù)學(xué)體系將失去重要根基。

作為菲爾茲獎(jiǎng)和阿貝爾獎(jiǎng)雙料得主，Michael Atiyah 爵士已經(jīng)功成名就，而且培養(yǎng)出許多優(yōu)秀的年輕學(xué)者。如果真的證明了黎曼猜想，那 Michael Atiyah 就會(huì)登頂最偉大數(shù)學(xué)家的行列中。

真相如何？9 月 24 日見分曉！