有源濾波器中的低通和高通響應(yīng)的計算和相移分析

本文旨在考察濾波器傳遞函數(shù)本身的相位偏移。雖然濾波器主要是針對幅度響應(yīng)而設(shè)計的，但在延時仿真、級聯(lián)濾波器級，特別是過程控制環(huán)路等應(yīng)用中，相位響應(yīng)可能非常重要。

本文將集中探討低通和高通響應(yīng)。我們先來回顧一下，有源濾波器的傳遞函數(shù)可以視為濾波器傳遞函數(shù)和放大器傳遞函數(shù)的級聯(lián)響應(yīng)（圖1）。

圖1.作為兩個傳遞函數(shù)級聯(lián)的濾波器

首先，我們將重新考察一下傳遞等式的相位響應(yīng)。

對于單極點低通情況，傳遞函數(shù)的相移為：

在等式中，？表示弧度頻率（=2πf弧度/秒;1 Hz=2π弧度/秒），表示濾波器上的弧度中心頻率。中心頻率也可稱為截止頻率。就相位而言，中心頻率指相移處于其范圍50%時的頻率。由于弧度頻率當(dāng)作一個比率使用，因此，頻率比（f/fo）可以方便地替代。

圖2（左軸）在中心頻率以下二十倍頻程至中心頻率以上二十倍頻程的范圍內(nèi)對等式1進行了評估。由于單極點低通 的相移范圍為90°（0°至90°），因此，中心頻率的相移為–45°。當(dāng)時，歸一化中心頻率為1。

圖2.單極點低通濾波器（左軸）和高通濾波器（右軸）在中心頻率為1時的相位響應(yīng)。

類似地，單極點高通濾波器的相位響應(yīng)計算公式為：

圖2（右軸）在中心頻率以下二十倍頻程至中心頻率以上二十倍頻程的范圍內(nèi)對等式2進行了評估。中心頻率（= 1）的相移為+45°。

如果低通 通帶定義為低于截止頻率的頻率，高通通帶定義為高于中心頻率的頻率，注意，最低相移（0°至45°）處于通帶中。相反，最高相移（45°至90°）出現(xiàn)在阻帶中（高于低通截止頻率和低于高通截止頻率的頻率）。

在低通情況下，濾波器的輸出落后于輸入（負相移）;在高通情況下，輸出先于輸入（正相移）。圖3展示的是下列波形：輸入正弦波信號（中部軌跡）、1 kHz截止單極點高通濾波器輸出（頂部軌跡）和1 kHz截止單極點低通濾波器輸出（底部軌跡）。信號頻率也為1 kHz——兩個濾波器的截止頻率。45°的波形超前和滯后情況顯而易見。

圖3.單極點高通濾波器（頂部軌跡）和低通濾波器（底部軌跡）的輸入（中部軌跡）和輸出。

對于二階低通情況，傳輸函數(shù)的相移近似值為：

圖4（左軸）在中心頻率以下二十倍頻程至中心頻率以上二十倍頻程的范圍內(nèi)對該等式（= √2 = 1.414）進行了評估。此處，中心頻率為1，相移為-90°。

圖4.雙極點低通濾波器（左軸）和高通濾波器（右軸）在中心頻率為1時的相位響應(yīng)。

在等式3中，（濾波器的阻尼比）為Q的倒數(shù)（即Q=1/α）。它決定著幅度（和瞬態(tài)）響應(yīng)的幅度峰值以及相變的銳度。α為1.414時，表示雙極點巴特沃茲（最平坦）響應(yīng)。

雙極點高通濾波器的相位響應(yīng)可通過下式計算其近似值：

圖4（右軸）對該式進行了評估，其中，=1.414，范圍為中心頻率以下二十倍頻程至中心頻率以上二十倍頻程。中心頻率（= 1）的相移為90°。

圖2和圖4采用的是單曲線，因為高通和低通相位響應(yīng)類似，僅相移180°（π弧度）。這等于改變相位的符號，使低通濾波器的輸出滯后，并使高通濾波器領(lǐng)先。

順便提一下，實踐中，高通濾波器實際上是寬帶通帶濾波器，因為放大器的響應(yīng)會引入至少一個低通極點。

圖5所示為一個雙極點低通濾波器的相位響應(yīng)和增益響應(yīng)，表示為Q的函數(shù)。傳遞函數(shù)表明，相位變化可能分布在較寬的頻率范圍中，并且變化范圍與電路Q成反比。雖然本文主要討論相位響應(yīng)，但是，相位變化率與幅度變化率之間的關(guān)系也是值得考慮的。

注意，每個雙極點段都會提供一個最大180°的相移，并且在極端情況下，–180°的相移（雖然滯后360°）與180°的相移具有相同的屬性。為此，多級濾波器往往在有限范圍內(nèi)繪制其曲線圖，比如180°至–180°，以提高圖形的讀取精度（見圖11和圖13）。在這種情況下，我們必須認識到，圖中繪制的角度實際上為真實角度±m(xù)×360°。盡管在這種情況下，圖的頂部和底部（曲線圖相移±180°）似乎存在不連續(xù)問題，但實際相位角度的變化是非常平滑的，并且呈單調(diào)性。

圖5.雙極點低通

濾波器段的相位和幅度響應(yīng)（為Q的函數(shù)）。

圖6所示為雙極點高通濾波器在不同Q下的增益和相位響應(yīng)。傳遞函數(shù)表明，180°的相變可能發(fā)生在較大的頻率范圍內(nèi)，并且變化范圍與電路的Q成反比。另外要注意的是，曲線的形狀是十分相似的。具體地，相位響應(yīng)具有相同的形狀，只是范圍有所不同。

圖6.雙極點高通

濾波器段的相位和幅度響應(yīng)（為Q的函數(shù)）。

放大器傳遞函數(shù)

放大器的開環(huán)傳遞函數(shù)基本上就是單極點濾波器的開環(huán)傳遞函數(shù)。如果是反相放大器，實際上是插入180°的額外相移。放大器的閉環(huán)相移一般忽略不計，但是，如果帶寬不足，就可能影響復(fù)合濾波器的總傳遞函數(shù)。本文隨機選擇了AD822以便對濾波器進行仿真。本文展示了對復(fù)合濾波器傳遞函數(shù)的部分影響，但只是在較高頻率下的影響，因為維持其增益和相移的頻率比濾波器本身的角頻要高得多。AD822的開環(huán)傳遞函數(shù)（摘自數(shù)據(jù)手冊）如圖7所示。

圖7.AD822波特圖增益和相位。

示例1：1 kHz、5極點0.5 dB切比雪夫低通濾波器

作為例子，我們將考察一款1 kHz、5極點0.5 dB切比雪夫低通濾波器。做出該隨機選擇的幾個原因：

1） 與巴特沃茲情況不同，各段的中心頻率都不相同。這樣，圖中的軌跡分布會更廣些，圖也就有趣些。

2） Q一般都略高。

3） 奇數(shù)個極點突出了單極點段和雙極點段之間的差異。

濾波器段是用ADI網(wǎng)站上的濾波器設(shè)計向?qū)гO(shè)計的。

各段的F0和Q為：

F01 = 615.8Hz F02=960.8Hz F03=342Hz

Q1=1.178 Q2=4.545

圖8所示為完整濾波器的原理圖。所選濾波器拓撲結(jié)構(gòu)——多反饋（MFB）——也是隨機的，就像選擇使單極點段成為有源積分器而非簡單的緩沖式無源RC電路一樣。

圖8.1 kHz、5極點0.5dB切比雪夫低通濾波器。

圖9所示為完整濾波器在各級的相移。圖中所示為第一段本身（第1段，藍色）、前兩段（第1段和第2段，紅色）和完整濾波器（第1段、第2段和第3段，綠色）的相移。其中包括各濾波器段的基本相移、各個反相放大器貢獻的180°以及放大器頻率響應(yīng)對整體相移的影響。

圖9.圖8中的1 kHz、5極點0.5 dB切比雪夫低通濾波器的相位響應(yīng)。

一些有意思的細節(jié)：首先，相位響應(yīng)（為凈滯后）負向累加。受放大器反相影響，在低頻下，第一個雙極點段始于–180°（=180° 模360°）;在高頻下，增至–360°（=0° 模360°）。第二段再添一次反相，因此，始于–540°（=180°模360°），在高頻下，相位增至–720°（=0°模360°）。低頻下，第三段始于–900°（=180° 模 360°），高頻下增至–990°（=90° 模360°）。另外注意，當(dāng)頻率超過10 kHz時，受放大器頻率響應(yīng)影響，相位略微滾降。該滾降具有累加性，每段均有增加。

示例2：1 kHz、5極點0.5 dB切比雪夫高通濾波器

第二個例子（圖10）考慮的是一款1 kHz、5極點0.5 dB切比雪夫高通濾波器的相位響應(yīng)。在本例中，濾波器是用（同樣使用濾波器設(shè)計向?qū)В㏒allen-Key壓控電壓源（VCVS）段而非多路反饋（MFB）設(shè)計而成。雖然為隨機選擇，但是，VCVS只要求在每個雙極點段使用兩個電容，而不像多反饋那樣要求每段使用三個電容，并且前兩段同相。

圖10.1 kHz、5極點0.5 dB切比雪夫高通濾波器。

圖11顯示了濾波器各段的相位響應(yīng)。低頻下，第一段的相移始于180°，高頻時降至0°。第二段（低頻下增加180°）始于360°（=0°模360°），高頻時降至0°。第三段（添加反相）低頻下始于–180°+90°=？90°，降至–540°（=–180°模360°）。同樣注意，高頻下因放大器頻率響應(yīng)而增加的滾降。

圖11.圖10中的1 kHz、5極點0.5 dB切比雪夫低通濾波器的相位響應(yīng)。

結(jié)論

本文考察了低通和高通濾波器的相移。上一篇文章考察的是相移與濾波器拓撲結(jié)構(gòu)的關(guān)系。在將來的文章中，我們將探討帶通、陷波和全通濾波器，并且在最后一篇文章中，我們將縱覽全局，考察相移對濾波器瞬態(tài)響應(yīng)的影響，以及組延遲、脈沖響應(yīng)和階躍響應(yīng)。

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