有源濾波器中的低通和高通響應(yīng)

本文將研究濾波器傳遞函數(shù)本身的相移。雖然濾波器主要針對其幅度響應(yīng)而設(shè)計，但相位響應(yīng)在延時仿真、級聯(lián)濾波器級，尤其是過程控制環(huán)路等應(yīng)用中可能很重要。

本文將重點介紹低通和高通響應(yīng)。本系列的后續(xù)文章將研究濾波器的帶通和陷波（帶抑制）響應(yīng)、全通響應(yīng)以及脈沖和階躍響應(yīng)。

回顧一下，有源濾波器的傳遞函數(shù)可以看作是濾波器傳遞函數(shù)和放大器傳遞函數(shù)的級聯(lián)響應(yīng)（圖1）。

圖1.濾波為兩個傳遞函數(shù)的級聯(lián)。

低通傳遞方程

首先，我們將重新檢查傳遞方程的相位響應(yīng)。

對于單極點低通情況，傳遞函數(shù)的相移由下式給出：

(1)

其中 ω 表示弧度頻率（ω = 2πf 弧度每秒;1 Hz = 2π 弧度每秒）和 ω0表示濾波器的弧度中心頻率。中心頻率也可以稱為截止頻率。就相位而言，中心頻率將是相移處于其范圍50%的頻率。由于弧度頻率是用一個比率，頻率比，樓/樓0，可方便地替代 ω/ω0.

圖2（左軸）評估了公式1從低于中心頻率二十倍頻到高于中心頻率二十倍頻的十倍頻程。由于單極點低通具有90°的相移范圍（從0°到90°），因此中心頻率的相移為–45°。在 ω = ω 時0歸一化中心頻率為 1。

圖2.中心頻率為1的單極點低通濾波器（左軸）和高通濾波器（右軸）的相位響應(yīng)。

類似地，單極點高通濾波器的相位響應(yīng)由下式給出：

(2)

圖2（右軸）計算了公式2從低于中心頻率二十倍頻程到高于中心頻率二十倍頻程的系數(shù)。中心頻率（=1）的相移為+45°。

如果低通通帶定義為低于截止頻率的頻率，高通通帶定義為高于中心頻率的頻率，請注意，最低相移（0°至45°）在通帶內(nèi)。相反，最高相移（45°至90°）發(fā)生在阻帶（高于低通截止頻率和低于高通截止頻率的頻率）。

在低通情況下，濾波器的輸出滯后于輸入（負(fù)相移）;在高通情況下，輸出領(lǐng)先于輸入（正相移）。圖3顯示了波形：輸入正弦波信號（中心跡線）、1 kHz截止單極點高通濾波器的輸出（頂部跡線）和1 kHz截止單極點低通濾波器的輸出（底部跡線）。信號頻率也是1 kHz，即兩個濾波器的截止頻率。波形的45°超前和滯后清晰可見。

圖3.單極點高通濾波器（頂部跡線）和低通濾波器（底部跡線）的輸入（中心跡線）和輸出。

對于二階低通情況，傳遞函數(shù)的相移可以近似為：

圖4（左軸）從中心頻率以下二十倍頻到高于中心頻率二十倍頻的計算（使用α = √2 = 1.414）。這里的中心頻率為1，相移為–90°。

圖4.中心頻率為2的1極點低通濾波器（左軸）和高通濾波器（右軸）的相位響應(yīng)。

α，在公式3中，濾波器的阻尼比是Q的倒數(shù)（即Q = 1/α）。它決定了幅度（和瞬態(tài)）響應(yīng)的峰值和相變的尖銳度。1.414 的α表征了 2 極巴特沃斯（最大平坦）響應(yīng)。

2極點高通濾波器的相位響應(yīng)近似公式為：

在圖4（右軸）中，該方程用α = 1.414從低于中心頻率二十倍頻二十倍頻到高于中心頻率二十倍頻的計算。在中心頻率（=1）處，相移為90°。

圖2和圖4使用單曲線，因為高通和低通相位響應(yīng)相似，只是偏移了90°和180°（π/2和π弧度）。這相當(dāng)于相位符號的變化，導(dǎo)致低通濾波器的輸出滯后，高通濾波器的輸出超前。

實際上，高通濾波器實際上是一種寬帶帶通濾波器，因為放大器的響應(yīng)至少會引入一個低通極點。

圖5顯示了2極點低通濾波器的相位和增益響應(yīng)，繪制為Q的函數(shù)。傳遞函數(shù)表明，相變可以分布在相當(dāng)寬的頻率范圍內(nèi)，并且變化的范圍與電路的Q成反比。雖然本文主要討論相位響應(yīng)，但相位變化率和幅度變化率之間的關(guān)系值得考慮。

圖5.2極點低通濾波器部分的相位和幅度響應(yīng)與Q的函數(shù)關(guān)系。

請注意，每個 2 極部分提供最大 180° 的相移;在四肢，–180°的相移雖然滯后了360°，但與180°的相移具有相同性質(zhì)的角度。出于這個原因，多級濾波器通常會在有限的范圍內(nèi)繪制，例如 180° 到 –180°，以提高讀取圖形的準(zhǔn)確性（見圖 9 和圖 11）。在這種情況下，必須認(rèn)識到，繪制的角度實際上是 360° ×正負(fù) m 的真實角度。雖然在這種情況下，圖形的頂部和底部似乎存在不連續(xù)性（當(dāng)繪圖過渡±180°時），但實際相位角正在平滑而單調(diào)地變化。

圖6顯示了具有不同Q值的2極點高通濾波器的增益和相位響應(yīng)。傳遞函數(shù)表明，180°的相變可以在較大的頻率范圍內(nèi)發(fā)生，并且變化的范圍與電路的Q成反比。另請注意，曲線的形狀非常相似。特別是，相位響應(yīng)具有相同的形狀，只是范圍不同。

圖6.2極點高通濾波器部分的相位和幅度響應(yīng)與Q的函數(shù)關(guān)系。

放大器傳遞函數(shù)

放大器的開環(huán)傳遞函數(shù)基本上是單極點濾波器的傳遞函數(shù)。如果是反相放大器，它實際上是在插入180°的額外相移。放大器的閉環(huán)相移通常被忽略，但如果其帶寬不足，它會影響復(fù)合濾波器的整體傳輸。本文選擇AD822進(jìn)行濾波器仿真。它會影響復(fù)合濾波器傳遞函數(shù)，但僅限于較高頻率，因為它的增益和相移保持在比濾波器本身的轉(zhuǎn)折頻率高得多的頻率。數(shù)據(jù)手冊中AD822的開環(huán)傳遞函數(shù)如圖7所示。

圖7.AD822 博德圖增益和相位。

示例 1：1kHz、5 極點、0.5 dB 切比雪夫低通濾波器

例如，我們將研究一個1 kHz、5極點、0.5 dB切比雪夫低通濾波器。此特定選擇的幾個原因：

1）與巴特沃斯的情況不同，各個部分的中心頻率都不同。這允許圖形將跟蹤進(jìn)一步展開，因此圖形更有趣。

2）Q通常更高一些。

3）奇數(shù)極強(qiáng)調(diào)單極和雙極截面之間的差異。

濾波器部分是使用ADI公司網(wǎng)站上的濾波器設(shè)計向?qū)гO(shè)計的。

這f0各節(jié)的 和 Q 如下：

圖8顯示了整個濾波器的原理圖。選擇的濾波器拓?fù)洹喾答仯∕FB）——也是任意的，選擇將單極部分作為有源積分器而不是簡單的緩沖無源RC電路也是如此。

圖8.1kHz、5極點、0.5 dB切比雪夫低通濾波器。

圖9顯示了整個濾波器每級的相移。該圖顯示了第一部分（第 1 部分 - 藍(lán)色）、前兩部分（第 1 部分和第 2 部分 - 紅色）和完整濾波器（第 1、2 和 3 部分 - 綠色）的相移。其中包括濾波器部分的基本相移、每個反相放大器貢獻(xiàn)的 180° 以及放大器頻率響應(yīng)對整體相移的影響。

圖9.圖1中5 kHz、0極點、5.8 dB切比雪夫低通濾波器的相位響應(yīng)。

一些有趣的細(xì)節(jié)：首先，相位響應(yīng)是凈滯后，會累積為負(fù)數(shù)。由于低頻時的放大器相位反轉(zhuǎn)，第一個 2 極部分從 –180° （=180° 模 360°） 開始，在高頻下增加到 –360° （=0° 模 360°）。第二部分增加了另一個從–540°（=180°模360°）開始的反相，在高頻下相位增加到–720°（=0°模360°）。 第三部分在低頻下從–900°（= 180°模360°）開始，在高頻下增加到–990°（= 90°模360°）。 另請注意，在高于10 kHz的頻率下，由于放大器的頻率響應(yīng)，相位會略有滾降。這種滾降被認(rèn)為是累積的，每個部分都在增加。

示例 2：1kHz、5 極點、0.5 dB 切比雪夫高通濾波器

第二個示例（見圖10）考慮了1 kHz、5極點、0.5 dB切比雪夫高通濾波器的相位響應(yīng)。在這種情況下，濾波器設(shè)計（再次使用濾波器設(shè)計向?qū)В┎捎肧allen-Key電壓控制電壓源（VCVS）部分，而不是多反饋（MFB）。雖然VCVS是一個任意選擇，但每個2極部分只需要兩個電容器，而不是MFB的每個部分三個電容器，并且前兩個部分是同相的。

圖 10.1kHz、5極點、0.5 dB切比雪夫高通濾波器。

圖11顯示了濾波器各部分的相位響應(yīng)。第一部分的相移在低頻時從180°開始，在高頻下下降到0°。第二部分在低頻時增加 180°，從 360°（= 0° 模 360°）開始，在高頻時下降到 0°。第三部分增加了相位反轉(zhuǎn)，從低頻的–180° + 90° = 90°開始，下降到–540°（= –180°模360°）。再次注意由于放大器頻率響應(yīng)而在高頻下的額外滾降。

圖 11.圖1中5 kHz、0極點、5.8 dB切比雪夫低通濾波器的相位響應(yīng)。

結(jié)論

本文考慮低通和高通濾波器的相移。本系列的上一篇文章研究了與濾波器拓?fù)湎嚓P(guān)的相移。在以后的文章中，我們將介紹帶通、陷波和全通濾波器——在最后一部分中，我們將將它們結(jié)合在一起，并研究相移如何影響濾波器的瞬態(tài)響應(yīng)，研究群延遲、脈沖響應(yīng)和階躍響應(yīng)。

審核編輯：郭婷