巴特沃斯濾波器的計算公式

巴特沃斯濾波器是一種有源濾波器，其通帶的頻率響應(yīng)相對平坦。由于這種頻率響應(yīng)，巴特沃斯濾波器也被稱為平坦濾波器。

使用巴特沃斯濾波器技術(shù)，可以設(shè)計所有類型的濾波器，包括高通、低通、帶通等。在本文當(dāng)中，小編將重點介紹下使用巴特沃斯濾波器技術(shù)進行低通濾波器設(shè)計。

眾所周知，在設(shè)計濾波器電路時主要有三個考慮因素，它們是：

通帶的響應(yīng)必須是最大平坦度

從通帶到阻帶必須有一個緩慢的過渡

濾波器在通帶內(nèi)無任何失真地通過信號的能力。

通常情況下，這些失真通常是由波形的相移引起的。除了這三個，上升和下降時間參數(shù)也起著重要作用。所以，為了獲得最大的平坦響應(yīng)，設(shè)計了巴特沃斯濾波器。而為了從通帶到阻帶的緩慢過渡，設(shè)計了切比雪夫濾波器，并設(shè)計了最大平坦時間延遲貝塞爾濾波器。

巴特沃斯濾波器

以從通帶到阻帶的過渡介質(zhì)的陡度為代價，巴特沃斯濾波器將在輸出信號中提供平坦的響應(yīng)。因此，它也被稱為最大平坦幅度濾波器。

濾波器的衰減響應(yīng)速率由電路中的極數(shù)決定，極數(shù)將取決于電路中電抗元件的數(shù)量，即電路中使用的電感器或電容器的數(shù)量。

n階巴特沃斯濾波器的幅度響應(yīng)如下：

V out / V in = 1 / √{1 + (f / f c ) 2n }

其中“n”是電路中的極數(shù)。隨著“n”值的增加，濾波器響應(yīng)的平坦度也會增加。'f' = 電路的工作頻率，'f c ' = 電路的中心頻率或截止頻率。

這些濾波器具有預(yù)先確定的考慮，其應(yīng)用主要用于較高頻率的有源RC電路。盡管它不提供尖銳的截止響應(yīng)，但它通常被認(rèn)為是在許多應(yīng)用中使用的全能濾波器。

巴特沃斯濾波器近似值

為了滿足濾波器響應(yīng)的考慮并獲得接近理想濾波器的近似值，需要具有更高階的濾波器，這將增加器復(fù)雜性。 此外，低通和高通電路具有輸出頻率響應(yīng)和相位響應(yīng)，所以理想的濾波器特性是最大平坦度、最大通帶增益和最大阻帶衰減。

要設(shè)計濾波器，需要適當(dāng)?shù)膫鬟f函數(shù)。為了滿足這些傳遞函數(shù)，在具有許多近似函數(shù)的模擬濾波器設(shè)計中進行了數(shù)學(xué)推導(dǎo)。

在此類設(shè)計中，巴特沃斯濾波器是其中一種濾波器類型，而低通巴特沃斯設(shè)計考慮主要用于許多功能。

一階低通巴特沃斯濾波器

下面的電路顯示了低通巴特沃斯濾波器。

巴特沃斯濾波器所需的通帶增益主要取決于“R1”和“Rf”的電阻值，濾波器的截止頻率將取決于上述電路中的R和C元件。

濾波器的增益為：A_max=1+R1/Rf

電容器“C”的阻抗由-jX C 給出，電容器兩端的電壓為：

V c = – jX C / (R – jX C ) * Vin

其中XC = 1 / (2πfc)

極性形式的濾波器的傳遞函數(shù)為：

H(jω) = |Vout/Vin| ∟?

其中濾波器增益：V out / V in = A max / √{1 + (f/f H )2}，而相位角?= – tan -1 ( f/f H )

在較低頻率下意味著當(dāng)工作頻率低于截止頻率時，通帶增益等于最大增益。

V out / V in = A max，即平衡常數(shù)。

在較高頻率下意味著當(dāng)工作頻率高于截止頻率時，則增益小于最大增益。

Vout / Vin < Amax

當(dāng)工作頻率等于截止頻率時，傳遞函數(shù)等于Amax /√2。增益的下降率為20dB/decade或者6dB/octave，可以在響應(yīng)斜率中表示為-20dB/decade。

二階低通巴特沃斯濾波器

連接到一階巴特沃斯濾波器的附加RC網(wǎng)絡(luò)為我們提供了二階低通濾波器。這種二階低通濾波器的優(yōu)點是增益在截止頻率之后在阻帶中滾降得非?？?。

在這個二階濾波器中，截止頻率值取決于兩個RC部分的電阻和電容值。截止頻率使用以下公式計算：

增益以40dB/decade的速率下降，該響應(yīng)以斜率-40dB/decade顯示。濾波器的傳遞函數(shù)可以表示為：

二階濾波器傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式為：

其中 ω n = 振蕩的固有頻率 =

，ε = 阻尼系數(shù) = (3 – A max ) / 2

對于二階巴特沃斯濾波器，所需的中間項是sqrt(2) = 1.414，從歸一化巴特沃斯多項式是：

3 – Amax = √2 = 1.414

為了確保輸出濾波器響應(yīng)，增益Amax必須為 1.586。

通過級聯(lián)一階和二階巴特沃斯濾波器獲得高階巴特沃斯濾波器。這可以顯示如下：

其中a n和b n 是預(yù)先確定的濾波器系數(shù)，它們用于生成所需的傳遞函數(shù)。

巴特沃斯濾波器的理想頻率響應(yīng)

輸出響應(yīng)的平坦度隨著濾波器階數(shù)的增加而增加，不同階數(shù)的巴特沃斯濾波器的增益和歸一化響應(yīng)如下所示。

歸一化低通巴特沃斯濾波器多項式

歸一化是電壓、電流或阻抗除以相同測量單位的數(shù)量的過程，此過程用于生成特定值的無量綱范圍或水平。

濾波器傳遞函數(shù)的分母多項式為我們提供了巴特沃斯多項式。如果考慮一個以原點為中心的半徑相等的圓上的s平面，那么巴特沃斯濾波器的所有極點都位于該s平面的左半邊。

對于任何階濾波器，“s”的最高功率的系數(shù)應(yīng)始終為1，對于任何階濾波器，常數(shù)項始終為1。對于偶數(shù)階濾波器，所有多項式因子本質(zhì)上都是二次的。對于奇數(shù)階濾波器，除一階外，所有多項式都是二次的，對于一階濾波器，多項式為 1+s。

系數(shù)形式的巴特沃斯多項式如下表所示。

n階巴特沃斯濾波器的傳遞函數(shù)如下：

H (jω) = 1 / {{1 + ε2 (ω / ω c ) 2n }

其中n是濾波器的階數(shù)，ω是弧度頻率，它等于2πf，ε為最大通帶增益，即Amax。

三階巴特沃斯低通濾波器

一階和二階巴特沃斯濾波器的級聯(lián)連接給出了三階巴特沃斯濾波器，三階巴特沃斯濾波器電路如下圖所示。

對于三階低通濾波器，給定的歸一化低通巴特沃斯多項式的多項式為 (1+s) (1+s+s2)，該濾波器包含三個未知系數(shù)，它們是 a 0、a 1、a 2。

它們的系數(shù)值為a 0 = 1、a 1 = 2 和a 2 = 2。與一階濾波器相比，該三階巴特沃斯濾波器的曲線平坦度增加。

巴特沃斯濾波器的應(yīng)用

由于其最大平坦通帶特性，它在數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換器應(yīng)用中用作抗混疊濾波器。

在雷達中有應(yīng)用，例如設(shè)計雷達目標(biāo)軌跡的顯示。

在高質(zhì)量音頻應(yīng)用中使用巴特沃斯濾波器。

用于運動分析的數(shù)字濾波器。

巴特沃斯低通濾波器示例

以截止頻率為15.9 kHz、通帶增益為1.5且電容器C=0.001μF的巴特沃斯低通濾波器為例：

fc = 1/2πRC

15.9 * 103 = 1 / {2πR1 * 0.001 * 10-6}

R = 10k?

Amax = 1.5，并假設(shè)R1=10 k?

Amax = 1 + {Rf / R1}

Rf = 5 k?

總結(jié)

巴特沃斯濾波器就是電子濾波器的一種，也被稱作最大平坦濾波器，其主要特點是通頻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線最大限度平坦，沒有紋波，而在阻頻帶則逐漸下降為零。

簡單來說，巴特沃斯濾波器是濾波器的一種設(shè)計分類，類同于切比雪夫濾波器，可以設(shè)計成高通，低通，帶通等多種濾波器。