深入淺出的講解傅里葉變換

　　我保證這篇文章和你以前看過的所有文章都不同，這是12年還在果殼的時(shí)候?qū)懙?，但是?dāng)時(shí)沒有來得及寫完就出國(guó)了……于是拖了兩年，嗯，我是拖延癥患者……

　　這篇文章的核心思想就是：

　　要讓讀者在不看任何數(shù)學(xué)公式的情況下理解傅里葉分析。

　　傅里葉分析不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)工具，更是一種可以徹底顛覆一個(gè)人以前世界觀的思維模式。但不幸的是，傅里葉分析的公式看起來太復(fù)雜了，所以很多大一新生上來就懵圈并從此對(duì)它深惡痛絕。老實(shí)說，這么有意思的東西居然成了大學(xué)里的殺手課程，不得不歸咎于編教材的人實(shí)在是太嚴(yán)肅了。（您把教材寫得好玩一點(diǎn)會(huì)死嗎？會(huì)死嗎？）所以我一直想寫一個(gè)有意思的文章來解釋傅里葉分析，有可能的話高中生都能看懂的那種。所以，不管讀到這里的您從事何種工作，我保證您都能看懂，并且一定將體會(huì)到通過傅里葉分析看到世界另一個(gè)樣子時(shí)的快感。至于對(duì)于已經(jīng)有一定基礎(chǔ)的朋友，也希望不要看到會(huì)的地方就急忙往后翻，仔細(xì)讀一定會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)。

　　————以上是定場(chǎng)詩(shī)————

　　下面進(jìn)入正題：

　　抱歉，還是要啰嗦一句：其實(shí)學(xué)習(xí)本來就不是易事，我寫這篇文章的初衷也是希望大家學(xué)習(xí)起來更加輕松，充滿樂趣。但是千萬！千萬不要把這篇文章收藏起來，或是存下地址，心里想著：以后有時(shí)間再看。這樣的例子太多了，也許幾年后你都沒有再打開這個(gè)頁(yè)面。無論如何，耐下心，讀下去。這篇文章要比讀課本要輕松、開心得多……

　　一、嘛叫頻域

　　從我們出生，我們看到的世界都以時(shí)間貫穿，股票的走勢(shì)、人的身高、汽車的軌跡都會(huì)隨著時(shí)間發(fā)生改變。這種以時(shí)間作為參照來觀察動(dòng)態(tài)世界的方法我們稱其為時(shí)域分析。而我們也想當(dāng)然的認(rèn)為，世間萬物都在隨著時(shí)間不停的改變，并且永遠(yuǎn)不會(huì)靜止下來。但如果我告訴你，用另一種方法來觀察世界的話，你會(huì)發(fā)現(xiàn)世界是永恒不變的，你會(huì)不會(huì)覺得我瘋了？我沒有瘋，這個(gè)靜止的世界就叫做頻域。

　　先舉一個(gè)公式上并非很恰當(dāng)，但意義上再貼切不過的例子：

　　在你的理解中，一段音樂是什么呢？

　　這是我們對(duì)音樂最普遍的理解，一個(gè)隨著時(shí)間變化的震動(dòng)。但我相信對(duì)于樂器小能手們來說，音樂更直觀的理解是這樣的：

　　好的！下課，同學(xué)們?cè)僖姟?/p>

　　是的，其實(shí)這一段寫到這里已經(jīng)可以結(jié)束了。上圖是音樂在時(shí)域的樣子，而下圖則是音樂在頻域的樣子。所以頻域這一概念對(duì)大家都從不陌生，只是從來沒意識(shí)到而已。

　　現(xiàn)在我們可以回過頭來重新看看一開始那句癡人說夢(mèng)般的話：世界是永恒的。

　　將以上兩圖簡(jiǎn)化：

　　時(shí)域：

　　頻域：

　　在時(shí)域，我們觀察到鋼琴的琴弦一會(huì)上一會(huì)下的擺動(dòng)，就如同一支股票的走勢(shì)；而在頻域，只有那一個(gè)永恒的音符。

　　所（前方高能！~~~~~~~~~~~非戰(zhàn)斗人員退散~~~~~~~）

　　以（~~~~~~~~~~~~~~~前方高能預(yù)警~~~~~~~~~~~~~~前方高能~~~~~~~~）

　　你眼中看似落葉紛飛變化無常的世界，實(shí)際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂章。

　　（眾人：雞湯滾出知乎?。?/p>

　　抱歉，這不是一句雞湯文，而是黑板上確鑿的公式：傅里葉同學(xué)告訴我們，任何周期函數(shù)，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的疊加。在第一個(gè)例子里我們可以理解為，利用對(duì)不同琴鍵不同力度，不同時(shí)間點(diǎn)的敲擊，可以組合出任何一首樂曲。

　　而貫穿時(shí)域與頻域的方法之一，就是傳中說的傅里葉分析。傅里葉分析可分為傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier Serie）和傅里葉變換（Fourier Transformation），我們從簡(jiǎn)單的開始談起。

　　二、傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier Series）

　　還是舉個(gè)栗子并且有圖有真相才好理解。

　　如果我說我能用前面說的正弦曲線波疊加出一個(gè)帶90度角的矩形波來，你會(huì)相信嗎？你不會(huì)，就像當(dāng)年的我一樣。但是看看下圖：

　　第一幅圖是一個(gè)郁悶的正弦波cos（x）

　　第二幅圖是2個(gè)賣萌的正弦波的疊加cos（x）+a.cos（3x）

　　第三幅圖是4個(gè)發(fā)春的正弦波的疊加

　　第四幅圖是10個(gè)便秘的正弦波的疊加

　　隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長(zhǎng)，他們最終會(huì)疊加成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矩形，大家從中體會(huì)到了什么道理？

　?。ㄖ灰Γ瑥澋亩寄荜保。?/p>

　　隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時(shí)繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€。一個(gè)矩形就這么疊加而成了。但是要多少個(gè)正弦波疊加起來才能形成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)90度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無窮多個(gè)。（上帝：我能讓你們猜著我？）

　　不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來的。這是沒有接觸過傅里葉分析的人在直覺上的第一個(gè)難點(diǎn)，但是一旦接受了這樣的設(shè)定，游戲就開始有意思起來了。

　　還是上圖的正弦波累加成矩形波，我們換一個(gè)角度來看看：

　　在這幾幅圖中，最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來越接近矩形波的那個(gè)圖形。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個(gè)分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開來，而每一個(gè)波的振幅都是不同的。一定有細(xì)心的讀者發(fā)現(xiàn)了，每?jī)蓚€(gè)正弦波之間都還有一條直線，那并不是分割線，而是振幅為0的正弦波！也就是說，為了組成特殊的曲線，有些正弦波成分是不需要的。

　　這里，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量。

　　好了，關(guān)鍵的地方來了！！

　　如果我們把第一個(gè)頻率最低的頻率分量看作“1”，我們就有了構(gòu)建頻域的最基本單元。

　　對(duì)于我們最常見的有理數(shù)軸，數(shù)字“1”就是有理數(shù)軸的基本單元。

　?。ê冒?，數(shù)學(xué)稱法為——基。在那個(gè)年代，這個(gè)字還沒有其他奇怪的解釋，后面還有正交基這樣的詞匯我會(huì)說嗎？）

　　時(shí)域的基本單元就是“1秒”，如果我們將一個(gè)角頻率為的正弦波cos（t）看作基礎(chǔ)，那么頻域的基本單元就是。

　　有了“1”，還要有“0”才能構(gòu)成世界，那么頻域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一個(gè)周期無限長(zhǎng)的正弦波，也就是一條直線！所以在頻域，0頻率也被稱為直流分量，在傅里葉級(jí)數(shù)的疊加中，它僅僅影響全部波形相對(duì)于數(shù)軸整體向上或是向下而不改變波的形狀。

　　接下來，讓我們回到初中，回憶一下已經(jīng)死去的八戒，啊不，已經(jīng)死去的老師是怎么定義正弦波的吧。

　　正弦波就是一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個(gè)始終在旋轉(zhuǎn)的圓

　　不能傳動(dòng)態(tài)圖真是太讓人惋惜了……

　　想看動(dòng)圖的同學(xué)請(qǐng)戳這里：

　　File:Fourier series square wave circles animation.gif以及這里：

　　File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif點(diǎn)出去的朋友不要被wiki拐跑了，wiki寫的哪有這里的文章這么沒節(jié)操是不是。

　　介紹完了頻域的基本組成單元，我們就可以看一看一個(gè)矩形波，在頻域里的另一個(gè)模樣了：

　　這是什么奇怪的東西？

　　這就是矩形波在頻域的樣子，是不是完全認(rèn)不出來了？教科書一般就給到這里然后留給了讀者無窮的遐想，以及無窮的吐槽，其實(shí)教科書只要補(bǔ)一張圖就足夠了：頻域圖像，也就是俗稱的頻譜，就是——

　　再清楚一點(diǎn)：

　　可以發(fā)現(xiàn)，在頻譜中，偶數(shù)項(xiàng)的振幅都是0，也就對(duì)應(yīng)了圖中的彩色直線。振幅為0的正弦波。

　　動(dòng)圖請(qǐng)戳：

　　File:Fourier series and transform.gif老實(shí)說，在我學(xué)傅里葉變換時(shí)，維基的這個(gè)圖還沒有出現(xiàn)，那時(shí)我就想到了這種表達(dá)方法，而且，后面還會(huì)加入維基沒有表示出來的另一個(gè)譜——相位譜。

　　但是在講相位譜之前，我們先回顧一下剛剛的這個(gè)例子究竟意味著什么。記得前面說過的那句“世界是靜止的”嗎？估計(jì)好多人對(duì)這句話都已經(jīng)吐槽半天了。想象一下，世界上每一個(gè)看似混亂的表象，實(shí)際都是一條時(shí)間軸上不規(guī)則的曲線，但實(shí)際這些曲線都是由這些無窮無盡的正弦波組成。我們看似不規(guī)律的事情反而是規(guī)律的正弦波在時(shí)域上的投影，而正弦波又是一個(gè)旋轉(zhuǎn)的圓在直線上的投影。那么你的腦海中會(huì)產(chǎn)生一個(gè)什么畫面呢？

　　我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的后面有無數(shù)的齒輪，大齒輪帶動(dòng)小齒輪，小齒輪再帶動(dòng)更小的。在最外面的小齒輪上有一個(gè)小人——那就是我們自己。我們只看到這個(gè)小人毫無規(guī)律的在幕布前表演，卻無法預(yù)測(cè)他下一步會(huì)去哪。而幕布后面的齒輪卻永遠(yuǎn)一直那樣不停的旋轉(zhuǎn)，永不停歇。這樣說來有些宿命論的感覺。說實(shí)話，這種對(duì)人生的描繪是我一個(gè)朋友在我們都是高中生的時(shí)候感嘆的，當(dāng)時(shí)想想似懂非懂，直到有一天我學(xué)到了傅里葉級(jí)數(shù)…

　　《深入淺出的講解傅里葉變換（2）》