算法框架 - 五大常用算法：分治、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、貪心、回溯和分支界定詳解

　　4）算法框架

　　（1）問題框架

　　設(shè)問題的解是一個(gè)n維向量（a1，a2，………，an），約束條件是ai（i=1，2，3，…。。，n）之間滿足某種條件，記為f（ai）。

　　（2）非遞歸回溯框架

　　1： int a［n］，i;

　　2： 初始化數(shù)組a［］;

　　3： i = 1;

　　4： while （i》0（有路可走） and （未達(dá)到目標(biāo)）） // 還未回溯到頭

　　5： {

　　6： if（i 》 n） // 搜索到葉結(jié)點(diǎn)

　　7： {

　　8： 搜索到一個(gè)解，輸出；

　　9： }

　　10： else // 處理第i個(gè)元素

　　11： {

　　12： a［i］第一個(gè)可能的值；

　　13： while（a［i］在不滿足約束條件且在搜索空間內(nèi)）

　　14： {

　　15： a［i］下一個(gè)可能的值；

　　16： }

　　17： if（a［i］在搜索空間內(nèi)）

　　18： {

　　19： 標(biāo)識占用的資源；

　　20： i = i+1; // 擴(kuò)展下一個(gè)結(jié)點(diǎn)

　　21： }

　　22： else

　　23： {

　　24： 清理所占的狀態(tài)空間； // 回溯

　　25： i = i –1;

　　26： }

　　27： }

　?。?）遞歸的算法框架

　　回溯法是對解空間的深度優(yōu)先搜索，在一般情況下使用遞歸函數(shù)來實(shí)現(xiàn)回溯法比較簡單，其中i為搜索的深度，框架如下：

　　1： int a［n］;

　　2： try（int i）

　　3： {

　　4： if（i》n）

　　5： 輸出結(jié)果;

　　6： else

　　7： {

　　8： for（j = 下界; j 《= 上界; j=j+1） // 枚舉i所有可能的路徑

　　9： {

　　10： if（fun（j）） // 滿足限界函數(shù)和約束條件

　　11： {

　　12： a［i］ = j;

　　13： 。。。 // 其他操作

　　14： try（i+1）;

　　15： 回溯前的清理工作（如a［i］置空值等）;

　　16： }

　　17： }

　　18： }

　　19： }

　　5、分支界定算法

　　1）基本描述

　　類似于回溯法，也是一種在問題的解空間樹T上搜索問題解的算法。但在一般情況下，分支限界法與回溯法的求解目標(biāo)不同?；厮莘ǖ那蠼饽繕?biāo)是找出T中滿足約束條件的所有解，而分支限界法的求解目標(biāo)則是找出滿足約束條件的一個(gè)解，或是在滿足約束條件的解中找出使某一目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到極大或極小的解，即在某種意義下的最優(yōu)解。

　?。?）分支搜索算法

　　所謂“分支”就是采用廣度優(yōu)先的策略，依次搜索E-結(jié)點(diǎn)的所有分支，也就是所有相鄰結(jié)點(diǎn)，拋棄不滿足約束條件的結(jié)點(diǎn)，其余結(jié)點(diǎn)加入活結(jié)點(diǎn)表。然后從表中選擇一個(gè)結(jié)點(diǎn)作為下一個(gè)E-結(jié)點(diǎn)，繼續(xù)搜索。

　　選擇下一個(gè)E-結(jié)點(diǎn)的方式不同，則會有幾種不同的分支搜索方式。

　　1）FIFO搜索

　　2）LIFO搜索

　　3）優(yōu)先隊(duì)列式搜索

　　（2）分支限界搜索算法

　　2）分支限界法的一般過程

　　由于求解目標(biāo)不同，導(dǎo)致分支限界法與回溯法在解空間樹T上的搜索方式也不相同?；厮莘ㄒ陨疃葍?yōu)先的方式搜索解空間樹T，而分支限界法則以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)優(yōu)先的方式搜索解空間樹T。

　　分支限界法的搜索策略是：在擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)處，先生成其所有的兒子結(jié)點(diǎn)（分支），然后再從當(dāng)前的活結(jié)點(diǎn)表中選擇下一個(gè)擴(kuò)展對點(diǎn)。為了有效地選擇下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，以加速搜索的進(jìn)程，在每一活結(jié)點(diǎn)處，計(jì)算一個(gè)函數(shù)值（限界），并根據(jù)這些已計(jì)算出的函數(shù)值，從當(dāng)前活結(jié)點(diǎn)表中選擇一個(gè)最有利的結(jié)點(diǎn)作為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，使搜索朝著解空間樹上有最優(yōu)解的分支推進(jìn)，以便盡快地找出一個(gè)最優(yōu)解。

　　分支限界法常以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)（最大效益）優(yōu)先的方式搜索問題的解空間樹。問題的解空間樹是表示問題解空間的一棵有序樹，常見的有子集樹和排列樹。在搜索問題的解空間樹時(shí)，分支限界法與回溯法對當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所使用的擴(kuò)展方式不同。在分支限界法中，每一個(gè)活結(jié)點(diǎn)只有一次機(jī)會成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。活結(jié)點(diǎn)一旦成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點(diǎn)。在這些兒子結(jié)點(diǎn)中，那些導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點(diǎn)被舍棄，其余兒子結(jié)點(diǎn)被子加入活結(jié)點(diǎn)表中。此后，從活結(jié)點(diǎn)表中取下一結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并重復(fù)上述結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展過程。這個(gè)過程一直持續(xù)到找到所求的解或活結(jié)點(diǎn)表為空時(shí)為止。