回溯算法技巧分析

解決一個回溯問題，實際上就是一個決策樹的遍歷過程 。你只需要思考 3 個問題：

1、 路徑 ：也就是已經(jīng)做出的選擇。

2、選擇列表 ：也就是你當(dāng)前可以做的選擇。

3、結(jié)束條件 ：也就是到達(dá)決策樹底層，無法再做選擇的條件。

如果你不理解這三個詞語的解釋，沒關(guān)系，我們后面會用「全排列」和「N 皇后問題」這兩個經(jīng)典的回溯算法問題來幫你理解這些詞語是什么意思，現(xiàn)在你先留著印象。

代碼方面，回溯算法的框架：

result = []
def backtrack(路徑, 選擇列表):
    if 滿足結(jié)束條件:
        result.add(路徑)
        return

    for 選擇 in 選擇列表:
        做選擇
        backtrack(路徑, 選擇列表)
        撤銷選擇

其核心就是 for 循環(huán)里面的遞歸，在遞歸調(diào)用之前「做選擇」，在遞歸調(diào)用之后「撤銷選擇」 ，特別簡單。

什么叫做選擇和撤銷選擇呢，這個框架的底層原理是什么呢？下面我們就通過「全排列」這個問題來解開之前的疑惑，詳細(xì)探究一下其中的奧妙！

一、全排列問題

我們在高中的時候就做過排列組合的數(shù)學(xué)題，我們也知道n個不重復(fù)的數(shù)，全排列共有 n! 個。

PS： 為了簡單清晰起見，我們這次討論的全排列問題不包含重復(fù)的數(shù)字 。

那么我們當(dāng)時是怎么窮舉全排列的呢？比方說給三個數(shù)[1,2,3]，你肯定不會無規(guī)律地亂窮舉，一般是這樣：

先固定第一位為 1，然后第二位可以是 2，那么第三位只能是 3；然后可以把第二位變成 3，第三位就只能是 2 了；然后就只能變化第一位，變成 2，然后再窮舉后兩位……

其實這就是回溯算法，我們高中無師自通就會用，或者有的同學(xué)直接畫出如下這棵回溯樹：

只要從根遍歷這棵樹，記錄路徑上的數(shù)字，其實就是所有的全排列。 我們不妨把這棵樹稱為回溯算法的「決策樹」 。

為啥說這是決策樹呢，因為你在每個節(jié)點上其實都在做決策 。比如說你站在下圖的紅色節(jié)點上：

你現(xiàn)在就在做決策，可以選擇 1 那條樹枝，也可以選擇 3 那條樹枝。為啥只能在 1 和 3 之中選擇呢？因為 2 這個樹枝在你身后，這個選擇你之前做過了，而全排列是不允許重復(fù)使用數(shù)字的。

現(xiàn)在可以解答開頭的幾個名詞：[2]就是「路徑」，記錄你已經(jīng)做過的選擇；[1,3]就是「選擇列表」，表示你當(dāng)前可以做出的選擇；「結(jié)束條件」就是遍歷到樹的底層，在這里就是選擇列表為空的時候 。

如果明白了這幾個名詞，可以把「路徑」和「選擇 列表 」作為決策樹上每個節(jié)點的屬性 ，比如下圖列出了幾個節(jié)點的屬性：

我們定義的backtrack函數(shù)其實就像一個指針，在這棵樹上游走，同時要正確維護每個節(jié)點的屬性，每當(dāng)走到樹的底層，其「路徑」就是一個全排列 。

再進(jìn)一步，如何遍歷一棵樹？這個應(yīng)該不難吧。回憶一下之前 [學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的框架思維]寫過，各種搜索問題其實都是樹的遍歷問題，而多叉樹的遍歷框架就是這樣：

void traverse(TreeNode root) {
    for (TreeNode child : root.childern)
        // 前序遍歷需要的操作
        traverse(child);
        // 后序遍歷需要的操作
}

而所謂的前序遍歷和后序遍歷，他們只是兩個很有用的時間點，我給你畫張圖你就明白了：

前序遍歷的代碼在進(jìn)入某一個節(jié)點之前的那個時間點執(zhí)行，后序遍歷代碼在離開某個節(jié)點之后的那個時間點執(zhí)行 。

回想我們剛才說的，「路徑」和「選擇」是每個節(jié)點的屬性，函數(shù)在樹上游走要正確維護節(jié)點的屬性，那么就要在這兩個特殊時間點搞點動作：

現(xiàn)在，你是否理解了回溯算法的這段核心框架？

for 選擇 in 選擇列表:
    # 做選擇
    將該選擇從選擇列表移除
    路徑.add(選擇)
    backtrack(路徑, 選擇列表)
    # 撤銷選擇
    路徑.remove(選擇)
    將該選擇再加入選擇列表

我們只要在遞歸之前做出選擇，在遞歸之后撤銷剛才的選擇 ，就能正確得到每個節(jié)點的選擇列表和路徑。

下面，直接看全排列代碼：

List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();

/* 主函數(shù)，輸入一組不重復(fù)的數(shù)字，返回它們的全排列 */
List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
    // 記錄「路徑」
    LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();
    backtrack(nums, track);
    return res;
}

// 路徑：記錄在 track 中
// 選擇列表：nums 中不存在于 track 的那些元素
// 結(jié)束條件：nums 中的元素全都在 track 中出現(xiàn)
void backtrack(int[] nums, LinkedList<Integer> track) {
    // 觸發(fā)結(jié)束條件
    if (track.size() == nums.length) {
        res.add(new LinkedList(track));
        return;
    }

    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        // 排除不合法的選擇
        if (track.contains(nums[i]))
            continue;
        // 做選擇
        track.add(nums[i]);
        // 進(jìn)入下一層決策樹
        backtrack(nums, track);
        // 取消選擇
        track.removeLast();
    }
}

我們這里稍微做了些變通，沒有顯式記錄「選擇列表」，而是通過nums和track推導(dǎo)出當(dāng)前的選擇列表

至此，我們就通過全排列問題詳解了回溯算法的底層原理。當(dāng)然，這個算法解決全排列不是很高效，因為對鏈表使用contains方法需要 O(N) 的時間復(fù)雜度。有更好的方法通過交換元素達(dá)到目的，但是難理解一些，這里就不寫了，有興趣可以自行搜索一下。

但是必須說明的是，不管怎么優(yōu)化，都符合回溯框架，而且時間復(fù)雜度都不可能低于 O(N!)，因為窮舉整棵決策樹是無法避免的。 這也是回溯算法的一個特點，不像動態(tài)規(guī)劃存在重疊子問題可以優(yōu)化，回溯算法就是純暴力窮舉，復(fù)雜度一般都很高 。

明白了全排列問題，就可以直接套回溯算法框架了，下面簡單看看 N 皇后問題。

二、N 皇后問題

這個問題很經(jīng)典了，簡單解釋一下：給你一個 N×N 的棋盤，讓你放置 N 個皇后，使得它們不能互相攻擊。

PS：皇后可以攻擊同一行、同一列、左上左下右上右下四個方向的任意單位。

這是 N = 8 的一種放置方法：

圖片來自 LeetCode

這個問題本質(zhì)上跟全排列問題差不多，決策樹的每一層表示棋盤上的每一行；每個節(jié)點可以做出的選擇是，在該行的任意一列放置一個皇后。

直接套用框架:

vector

這部分主要代碼，跟全排列問題差不多。isValid函數(shù)的實現(xiàn)也很簡單：

/* 是否可以在 board[row][col] 放置皇后？ */
bool isValid(vector {
    int n = board.size();
    // 檢查列是否有皇后互相沖突
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (board[i][col] == 'Q')
            return false;
    }
    // 檢查右上方是否有皇后互相沖突
    for (int i = row - 1, j = col + 1; 
            i >= 0 && j < n; i--, j++) {
        if (board[i][j] == 'Q')
            return false;
    }
    // 檢查左上方是否有皇后互相沖突
    for (int i = row - 1, j = col - 1;
            i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {
        if (board[i][j] == 'Q')
            return false;
    }
    return true;
}

函數(shù)backtrack依然像個在決策樹上游走的指針，每個節(jié)點就表示在board[row][col]上放置皇后，通過isValid函數(shù)可以將不符合條件的情況剪枝

如果直接給你這么一大段解法代碼，可能是懵逼的。但是現(xiàn)在明白了回溯算法的框架套路，還有啥難理解的呢？無非是改改做選擇的方式，排除不合法選擇的方式而已，只要框架存于心，你面對的只剩下小問題了。

當(dāng)N = 8時，就是八皇后問題，數(shù)學(xué)大佬高斯窮盡一生都沒有數(shù)清楚八皇后問題到底有幾種可能的放置方法，但是我們的算法只需要一秒就可以算出來所有可能的結(jié)果。

不過真的不怪高斯。這個問題的復(fù)雜度確實非常高，看看我們的決策樹，雖然有isValid函數(shù)剪枝，但是最壞時間復(fù)雜度仍然是 O(N^(N+1))，而且無法優(yōu)化。如果N = 10的時候，計算就已經(jīng)很耗時了。

有的時候，我們并不想得到所有合法的答案，只想要一個答案，怎么辦呢 ？比如解數(shù)獨的算法，找所有解法復(fù)雜度太高，只要找到一種解法就可以。

其實特別簡單，只要稍微修改一下回溯算法的代碼即可：

// 函數(shù)找到一個答案后就返回 true
bool backtrack(vector {
    // 觸發(fā)結(jié)束條件
    if (row == board.size()) {
        res.push_back(board);
        return true;
    }
    ...
    for (int col = 0; col < n; col++) {
        ...
        board[row][col] = 'Q';

        if (backtrack(board, row + 1))
            return true;

        board[row][col] = '.';
    }

    return false;
}

這樣修改后，只要找到一個答案，for 循環(huán)的后續(xù)遞歸窮舉都會被阻斷。也許你可以在 N 皇后問題的代碼框架上，稍加修改，寫一個解數(shù)獨的算法？

三、最后總結(jié)

回溯算法就是個多叉樹的遍歷問題，關(guān)鍵就是在前序遍歷和后序遍歷的位置做一些操作，算法框架如下：

def backtrack(...):
    for 選擇 in 選擇列表:
        做選擇
        backtrack(...)
        撤銷選擇

寫backtrack函數(shù)時，需要維護走過的「路徑」和當(dāng)前可以做的「選擇列表」，當(dāng)觸發(fā)「結(jié)束條件」時，將「路徑」記入結(jié)果集 。

其實想想看，回溯算法和動態(tài)規(guī)劃是不是有點像呢？我們在動態(tài)規(guī)劃系列文章中多次強調(diào)，動態(tài)規(guī)劃的三個需要明確的點就是「狀態(tài)」「選擇」和「base case」，是不是就對應(yīng)著走過的「路徑」，當(dāng)前的「選擇列表」和「結(jié)束條件」？

某種程度上說，動態(tài)規(guī)劃的暴力求解階段就是回溯算法。只是有的問題具有重疊子問題性質(zhì)，可以用 dp table 或者備忘錄優(yōu)化，將遞歸樹大幅剪枝，這就變成了動態(tài)規(guī)劃。而今天的兩個問題，都沒有重疊子問題，也就是回溯算法問題了，復(fù)雜度非常高是不可避免的。