自動控制系統(tǒng)的設(shè)計--PID校正

PID校正裝置（又稱PID控制器或PID調(diào)節(jié)器）是一種有源校正裝置，它是最早發(fā)展起來的控制策略之一，在工業(yè)過程控制中有著最廣泛的應(yīng)用，其實現(xiàn)方式有電氣式、氣動式和液力式。與無源校正裝置相比，它具有結(jié)構(gòu)簡單、參數(shù)易于整定、應(yīng)用面廣等特點，設(shè)計的控制對象可以有精確模型，并可以是黑箱或灰箱系統(tǒng)。總體而言，它主要有如下優(yōu)點：

（1）原理簡單，應(yīng)用方便，參數(shù)整定靈活。

（2）適用性強(qiáng)。可以廣泛應(yīng)用于電力、機(jī)械、化工、熱工、冶金、輕工、建材、石油等行業(yè)。

（3）魯棒性強(qiáng)。即其控制的質(zhì)量對受控對象的變化不太敏感，這是它獲廣泛應(yīng)用的最重要的一原因。因為在實際的受控對象，例如由于受外界的擾動時，尤其是外界負(fù)荷發(fā)生變化時，受控對象特性會發(fā)生很大變化，為得到良好的控制品質(zhì)，必須經(jīng)常改變控制器的參數(shù)，這在實際操作上是非常麻煩的；又如，由于環(huán)境的變化或設(shè)備的老化，受控對象模型的結(jié)構(gòu)或參數(shù)均會發(fā)生一些不可知的變化，為保證控制質(zhì)量，就應(yīng)對控制器進(jìn)行重新設(shè)計，這在有些過程中是不允許的。因此，如果控制器魯棒性強(qiáng)，則就無須經(jīng)常改變控制器的參數(shù)或結(jié)構(gòu)。

目前，基于PID控制而發(fā)展起來的各類控制策略不下幾十種，如經(jīng)典的Ziegler-Nichols算法和它的精調(diào)算法、預(yù)測PID算法、最優(yōu)PID算法、控制PID算法、增益裕量/相位裕量PID設(shè)計、極點配置PID算法、魯棒PID等。本節(jié)主要介紹PID控制器的基本工作原理及幾個典型設(shè)計方法。

6.5.1 PID控制器工作原理

典型PID電原理圖如圖6－11(b)中的有源遲后－超前校正裝置，圖6—26 則為它的控制結(jié)構(gòu)框圖。

由圖6—26可見，PID控制器是通加對誤差信號e(t)進(jìn)行比例、積分和微分運(yùn)算，其結(jié)果的加權(quán)，得到控制器的輸出u(t)，該值就是控制對象的控制值。PID控制器的數(shù)學(xué)描述為：

(6-36)

式中u(t)為控制輸入，e(t)=r(t)-c(t)為誤差信號，γ(t)為輸入量，c(t)為輸出量。

下面對PID中常用的比例P、比例－積分PI、比例－微分PD和比例－積分－微分PID四種調(diào)節(jié)器作一簡要分析，從而對比例、微分和積分作用有一個初步的認(rèn)識。

（一）比例調(diào)節(jié)器—比例的作用

比例調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)Gc(S)=Kp，u(t)=Kp·e(t)，即在PID控制器中使Ti→∞，
Td→0 。

根據(jù)前面所學(xué)，為了提高系統(tǒng)的靜態(tài)性能指標(biāo)，減少系統(tǒng)的靜態(tài)誤差，一個可行的辦法是提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)，即增加系統(tǒng)的開環(huán)增益。顯然，若使Kp增大，可滿足上述要求。然而，只有當(dāng)Kp→∞ ，系統(tǒng)的輸出才能跟蹤輸入，而這必將破壞系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)定性。

以一個三階系統(tǒng)為例。

一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，其根軌跡如圖6—27，當(dāng) 時，系統(tǒng)將產(chǎn)生振蕩。同時從圖6—28閉環(huán)響應(yīng)曲線也可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng) 增大時，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出增大，系統(tǒng)響應(yīng)速度和超調(diào)量也增大， 時，系統(tǒng)產(chǎn)生等幅振蕩，已不穩(wěn)定?？梢姡瑔渭儾捎? 來改善系統(tǒng)的性能指標(biāo)是不合適的。

Prog6-5-1:

g=tf(1,[1,3,3,1]);p=[1:1:8];

for i=1:length(p)

g_c=feedback(p(i)*g,1);

step(g_c); hold on;

end

?figure; rlocus(g); axis('square');

?K=rlocfind(g)

Select a point in the graphics window

selected_point =

0 + 1.7427i

K = 8.1112

（二）比例積分調(diào)節(jié)器—積分的作用

在PID調(diào)節(jié)器中，當(dāng)Td→0 時，控制輸出u(t)與e(t)具有如下關(guān)系：

(6-37)

首先，通過比較比例調(diào)節(jié)器和比例積分調(diào)節(jié)器可以發(fā)現(xiàn)，為使e(t)→0，在比例調(diào)節(jié)器中Kp→∞，這樣若|e(t)| 存在較大的擾動，則輸出u(t)也很大，這不僅會影響系統(tǒng)的動態(tài)性能，也使執(zhí)行器頻繁處于大幅振動中；而若采用PI調(diào)節(jié)器，如果要求e(t)→0，則控制器輸出u(t)由∫e(t)dt/Ti 得到一個常值，從而使輸出c(t)穩(wěn)定于期望的值。其次，從參數(shù)調(diào)節(jié)個數(shù)來看，比例調(diào)節(jié)器僅可調(diào)節(jié)一個參數(shù)Kp，而PI調(diào)節(jié)器則允許調(diào)節(jié)參數(shù)Kp 和Ti ，這樣調(diào)節(jié)靈活，也較容易得到理想的動、靜態(tài)性能指標(biāo)。

但是，因Gc(Sd)=Kp(Tis+1/Tis) ，PI調(diào)節(jié)器歸根到底是一個遲后環(huán)節(jié)。根據(jù)前面介紹的遲后校正原理，在根軌跡法設(shè)計中，為避免相位遲后對系統(tǒng)造成的負(fù)面影響，零點-1/Ti靠近原點，即Ti足夠大；在頻域法設(shè)計中，也要求轉(zhuǎn)折頻率(1/Ti)<ωc且遠(yuǎn)離 ωc。這表明在考慮系統(tǒng)穩(wěn)定性時，Ti應(yīng)足夠大。然而，若Ti太大，則PI調(diào)節(jié)器中的積分作用變小，會影響系統(tǒng)的靜態(tài)性能，同時，也會導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)速度的變慢。此時可通過合理調(diào)節(jié)Kp和Ti 的參數(shù)使系統(tǒng)的動態(tài)性能和靜態(tài)性能均滿足要求。

對于比例調(diào)節(jié)器中的示例，利用如下的Matlab程序，可得到圖6－29的結(jié)果，顯然，采用PI控制，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零；且當(dāng)Ti的減少時，系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差；當(dāng)Ti增加時，系統(tǒng)的響應(yīng)速度變慢。

Function PI

G=tf(1,[1,3,3,1]);

Kp=1;Ti=[0.7:0.1:1.5];

for i=1:length(Ti)

Gc=tf(Kp*[1,1/Ti(i)],[1,0]); G_c=feedback(G*Gc,1);

step(G_c),hold on

end

axis([0,20,0,2])

(三）PD和PID調(diào)節(jié)器—微分的作用

當(dāng)PID調(diào)節(jié)器的 時，校正裝置成為一個PD調(diào)節(jié)器，這相當(dāng)于一個超前校正裝置，對系統(tǒng)的響應(yīng)速度的改善是有幫助的。但在實際的控制系統(tǒng)中，單純采用PD控制的系統(tǒng)較少，其原因有兩方面，一是純微分環(huán)節(jié)在實際中無法實現(xiàn)，同時，若采用PD控制器，則系統(tǒng)各環(huán)節(jié)中的任何擾動均將對系統(tǒng)的輸出產(chǎn)生較大的波動，尤其對階躍信號。因此也不利于系統(tǒng)動態(tài)性能的真正改善。實際的PID控制器的傳遞函數(shù)如下式：

(6-38)

式中N一般大于10。顯然，當(dāng)N→∞時，上式即為理想的PID控制器。

為考察PID控制器中微分環(huán)節(jié)的作用，可通過下面的Matlab程序?qū)ι侠M(jìn)行說明。令Kp、Td和Ti固定，N變化，研究近似微分對系統(tǒng)性能的影響。從圖6－30可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)N＞10時，近似精度相當(dāng)滿意。

綜合前面所述，PID控制器是一種有源的遲后－超前校正裝置，且在實際控制系統(tǒng)中有著最廣泛的應(yīng)用。當(dāng)系統(tǒng)模型已知時，可采用遲后－超前校正的設(shè)計方法。若系統(tǒng)模塊未知或不準(zhǔn)確，則可后述方法進(jìn)行設(shè)計。

Function PID

N=[100,1000,10000,1:10];

G=tf(1,[1,3,3,1]);

Kp=1;Ti=1;Td=1;

Gc=tf(Kp*[Ti*Td,Ti,1]/Ti,[1,0]);

G_c=feedback(G*Gc,1);step(G_c), hold on

for i=1:length(N)

mn=Kp*([Ti*Td,0,0]+conv([Ti,1],[Td/N(i),1]))/Ti;

cd=[Td/N(i),1,0]; Gc=tf(mn,cd);

G_c=feedback(G*Gc,1);

step(G_c)

end

axis([0,20,0,2])

6.5.2 Zieloger-Niclosls整定公式
Zieloger-Niclosls整定公式是一種針對帶有時延環(huán)節(jié)的一階系統(tǒng)而提出的實用經(jīng)驗公式。此時，可將系統(tǒng)設(shè)定為如下形式：

(6-39)

在實際的控制系統(tǒng)中，大量的系統(tǒng)可用此模型近似，尤其對于一些無法用機(jī)理方法進(jìn)行建模的系統(tǒng)，可用時域法和頻域法對模型參數(shù)進(jìn)行整定。

（一）基于時域響應(yīng)曲線的整定
基于時域響應(yīng)的PID參數(shù)整定方法有兩種。

第一法：設(shè)想對被控對象(開環(huán)系統(tǒng))施加一個階躍信號，通過實驗方法，測出其響應(yīng)信號，如圖6－31，則輸出信號可由圖中的形狀近似確定參數(shù)k,L和T（或α），其中
α=kL/T。如果獲得了參數(shù)k,L和T（或α）后，則可根據(jù)表6－1確定PID控制器的有關(guān)參數(shù)。

第二法：設(shè)系統(tǒng)為只有比例控制的閉環(huán)系統(tǒng)，則當(dāng)Kp增大時，閉環(huán)系統(tǒng)若能產(chǎn)生等幅振蕩，如圖6－32，測出其振幅Kp'和振蕩周期P' ,然后由表6－1整定PID參數(shù)。

當(dāng)然上述二法亦適用于系統(tǒng)模型已知的系統(tǒng)。但是此二法在應(yīng)用中也有約束，因為許多系統(tǒng)并不與上述系統(tǒng)匹配，例如第一法無法應(yīng)于開環(huán)傳遞中含積分項的系統(tǒng)，第二法就無法直接應(yīng)用于二階系統(tǒng)。如G0(S)=200/s(s+4)就無法利用Zieloger-Niclosls法進(jìn)行整定。

下面舉例說明上述整定方法。

例6－10 一伺服系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，要求設(shè)計一個控制器使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位置誤差為零。

解：采用Zieloger-Niclosls整定公式第一法。

（１） 根據(jù)原開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，利用Matlab繪制其階躍響應(yīng)曲線如圖6－33。

g=tf(10,conv([1,1],conv([1,2],conv([1,3],[1,4]))));

step(g); k=dcgain(g)

k=

0.4167

（２） 由圖可近似得到一階延遲系統(tǒng)的參數(shù)，

若由高階近似一階的方法，亦可得到

。由此可得到PI和PID控制器的參數(shù)：

（A） PI控制器：

，其控制器：

（B） PID控制器：

，其控制器：

（３） 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)及其階躍響應(yīng)如下：

1.8947

G_c1(s)= ----------------------------------------------

(s^2 + 0.7215s + 3.457) (s^2 + 9.279s + 24.85)

55.7053 (s+0.4386)

G_c2(s)= --------------------------------------------------------

(s+0.3735) (s^2 + 0.5561s + 2.773) (s^2 + 9.07s + 23.59)

68.4 (s+1.316)^2

G_c3(s)=------------------------------------------------------

(s+6.827) (s^2 + 2.6s + 1.711) (s^2 + 0.5727s + 10.14)

從上圖可以發(fā)現(xiàn)，單純采用比例校正，系統(tǒng)存在靜態(tài)誤差；采用PID比采用PI校正響應(yīng)速度快，但存在較大的超調(diào)量，為此可改用修正的PID控制器。本例程序清單如下：

function zn4 %demonstrate with time PID method 1

g=tf(10,conv([1,1],conv([1,2],conv([1,3],[1,4]))));

step(g); k=dcgain(g);

L=0.76;T=1.96;

alpha=k*L/T;

Kp=1/alpha;

gc1=tf(Kp,1)

g_c1=feedback(gc1*g,1);

zpk(g_c1)

step(g_c1); hold on

Kp=0.9/alpha;Ti=3*L;

gc2=tf(Kp*[1,1/Ti],[1,0])

g_c2=feedback(gc2*g,1);

zpk(g_c2)

step(g_c2)

Kp=1.2/alpha;Ti=2*L;Td=L/2;

gc3=tf(Kp*[Ti*Td,Ti,1]/Ti,[1,0])

g_c3=feedback(gc3*g,1);

zpk(g_c3)

step(g_c3)

例6－11 有一系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，要求設(shè)計一個控制器使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差為零。

解：由于系統(tǒng)開環(huán)中存在積分環(huán)節(jié)，無法采用第一法。因而采用Zieloger-Niclosls整定公式第二法。

（１） 首先，令，則閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

通過Ruth判據(jù)容易得到當(dāng) 時，閉環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)等幅振蕩。使用Matlab中rltool命令，并增加極點： 在根軌跡與虛軸交界處點擊可得到同樣結(jié)果。如圖6－35。

（２） 根據(jù)Z－N第二整定法，即可分別得到PI和PID控制器的參數(shù)：

（A）PI控制器： 。

（B） PID控制器：

。

（３） 根據(jù)上面設(shè)計的控制器，分別得到其相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)：

13.5 (s+0.4292)

G_c1(s)=-----------------------------------------------------------

(s+5.502) (s+0.4683) (s^2 + 0.02925s + 2.248)

6.3 (s+1.429)^2

G_c2(s)=------------------------------------------

(s+4.139) (s+1.122) (s^2 + 0.739s + 2.769)

（A）

function zn1

g=tf(1,conv([1,0],conv([1,1],[1,5])));

kp=13.5;Ti=2.33

gc1=tf(kp*[Ti,1]/Ti,[1,0])

g_c1=feedback(gc1*g,1)

zpk(g_c1)

step(g_c1)

（B）

function zn2

g=tf(1,conv([1,0],conv([1,1],[1,5])));

kp=18;Ti=1.4;Td=0.35;

gc2=tf(kp*[Ti*Td,Ti,1]/Ti,[1,0]);

g_c2=feedback(gc2*g,1);

zpk(g_c2)

step(g_c2)

（４） 根據(jù)校正后的階躍響應(yīng)曲線圖6－36可以發(fā)現(xiàn)，對本題采用PID效果比PI要好。若要得到更好的效果，可在此基礎(chǔ)上調(diào)整PID參數(shù)。

（二）基于頻域法的整定
如果實驗數(shù)據(jù)是由頻率響應(yīng)得到的，則可先畫出其對應(yīng)的Nyquist圖，如圖6－37，從圖中可以容易得到系統(tǒng)的剪切頻率ωc與系統(tǒng)的極限增益Kc ，若令Tc=2π/ωc ，同樣我們從表6－2給出的經(jīng)驗公式可以得到PID控制器對應(yīng)的參數(shù)。事實上，此法即時域法的第二法。

在使用Matlab進(jìn)行設(shè)計時，由開環(huán)傳遞函數(shù)獲取系統(tǒng)的極限增益Kc和剪切頻率ωc ，即[Kc,pp,wc,wp]=margin(g),然后由上節(jié)步驟進(jìn)行設(shè)計。

表6－2　Z－N頻域整定法1/Kc