自動(dòng)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)--控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基本思路--串連校正裝置

如前所述，一個(gè)單輸入單輸出的控制系統(tǒng)一般可化為圖6－1的形式，G0(s)是控制系統(tǒng)的不可變部分，即被控對(duì)象，H(s)為反饋環(huán)節(jié)。未校正前，系統(tǒng)不一定能達(dá)到理想的控制要求，因此有必要根據(jù)希望的性能要求進(jìn)行重新設(shè)計(jì)。在進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)考慮如下幾個(gè)方面的問(wèn)題：

（1） 綜合考慮控制系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)和技術(shù)指標(biāo)，這是在系統(tǒng)設(shè)計(jì)中必須要考慮的。

（2） 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的選擇。對(duì)單輸入、單輸出系統(tǒng)，一般有四種結(jié)構(gòu)可供選擇：前饋校正、串聯(lián)校正、反饋校正和復(fù)合校正，其框圖如圖6－2?？紤]到串聯(lián)校正比較經(jīng)濟(jì)，易于實(shí)現(xiàn)，且設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，在實(shí)際應(yīng)用中大多采用此校正方法，因此本章只討論串聯(lián)校正，典型的校正裝置有超前校正、滯后校正、滯后－超前校正和PID校正等裝置。

（3） 控制器或校正裝置的選擇。校正裝置的物理器件可以有電氣的、機(jī)械的、液壓的和氣動(dòng)的等形式，選擇的一般原則是根據(jù)系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)、信號(hào)的性質(zhì)和設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)，并綜合經(jīng)濟(jì)指標(biāo)和技術(shù)指標(biāo)進(jìn)行選擇。本書(shū)我們以電氣校正裝置作為控制器，詳述有源和無(wú)源裝置的工作原理和設(shè)計(jì)方法。其思想方法同樣適用于其它類(lèi)型的校正裝置設(shè)計(jì)。

（4） 校正手段或校正方法的選擇。究竟采用時(shí)域還是頻域方法，須根據(jù)控制系統(tǒng)性能指標(biāo)的表達(dá)方式選擇?？刂葡到y(tǒng)的性能指標(biāo)通常包括動(dòng)態(tài)和靜態(tài)兩個(gè)方面。動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)用于反應(yīng)控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)情況，它一般可用時(shí)域性能指標(biāo)和頻域指標(biāo)兩個(gè)方面：1）時(shí)域性能指標(biāo)：調(diào)整時(shí)間ts 、上升時(shí)間tr 、峰值時(shí)間tp 和最大超調(diào)量
Mp等；2）頻域性能指標(biāo)：開(kāi)環(huán)指標(biāo)包括相位裕量γ 、增益裕量Ag ；閉環(huán)指標(biāo)包括諧振峰值Mr 、諧振頻率ωr 和頻帶寬度ωb等。

在進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，若所使用的指標(biāo)是時(shí)域指標(biāo)，則一般宜用根軌跡法進(jìn)行設(shè)計(jì)，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)重新配置；若所使用的指標(biāo)是頻域指標(biāo)，宜用頻率法（如伯德圖或極坐標(biāo)）進(jìn)行設(shè)計(jì)。

最后需要指出，由于電子技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，目前實(shí)際系統(tǒng)中大量采用的控制器是有源校正裝置，如典型的PID調(diào)節(jié)器，但正如下文大家將看到的，無(wú)源校正與有源校正盡管組成形式有差別，但它們的工作原理是相同的。

（一）超前校正裝置

圖6－3分別為無(wú)源和有源超前校正網(wǎng)絡(luò)。對(duì)于無(wú)源校正裝置(a)，忽略該網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗和輸出阻抗效應(yīng)，則其傳遞函數(shù)為：

式中，

,

上式另一常見(jiàn)形式可寫(xiě)作：

對(duì)于有源校正裝置(b)，其對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為：

(6-3)

式中，

。

負(fù)號(hào)是因?yàn)椴捎昧素?fù)反饋的運(yùn)算放大器，再串聯(lián)一只反相運(yùn)算放大器即可消除負(fù)號(hào)。

在式（6－3）中，令R1C=T1,R2C=T2 ，則（6－3）可寫(xiě)成如下形式：

(6-4)

上式即為實(shí)際的比例微分控制器（PD）的傳遞函數(shù)的表達(dá)式。

超前校正裝置的零、極點(diǎn)分布如圖6－4所示，由于β>1 ，故 Gc(s)的零點(diǎn)總在其極點(diǎn)的右側(cè)。由式（6－1）和式（6－2）可知，在采用超前校正網(wǎng)絡(luò)時(shí)，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益會(huì)有1/β （或k ）倍的衰減。對(duì)此，用放大倍數(shù)β 或（1/k）的附加放大器予以補(bǔ)償。經(jīng)補(bǔ)償后，令α=1/β ，其傳遞函數(shù) ，

頻率特性為:

(6-5)

與式（6－5）對(duì)應(yīng)的幅頻特性的表達(dá)式分別為：

(6-6)

(6-7)

其相應(yīng)的極坐標(biāo)如圖6－5。由圖可見(jiàn)，超前校正裝置的極坐標(biāo)是一個(gè)位于第一象限的半圓，圓心坐標(biāo) [(1+1/α)/2,j0],半徑為 (1/α-1)/2,從坐標(biāo)原點(diǎn)到半圓作切線，它與正實(shí)軸的夾角即為該校正裝置的最大超前角φm ，且有：

(6-8)

此最大超前角對(duì)應(yīng)的頻率可由式（6－7）得到。令dφ(ω)/dω=0,則有：

(6-9)

對(duì)式（6－6）的幅頻特性取對(duì)數(shù)坐標(biāo)，有：

根據(jù)式（6—7）、（6—10），可令 ，利用如下Matkab語(yǔ)句作出它的伯德圖，如圖6—6所示。

alpha=0.1; T=1;

Gc=tf([T,1],[alpha*T,1]);

[x0,y0,w]=Bode(Gc);[x,y]=bode_asymp(Gc,w);

subplot(211),semilogx(w,20*log10(x0(:)),x,y)

subplot(212),semilogx(w,y0(:))

由式（6—7）可知，由于α<1，因而當(dāng) 0<ω<∞時(shí)，校正網(wǎng)絡(luò)的相位總是正值。這明輸出信號(hào)在相位上總超前于輸入信號(hào)一個(gè)角度，因而稱(chēng)該校正網(wǎng)絡(luò)為超前校正。同時(shí)，由于當(dāng)ω→0，L(ω)→0 ；當(dāng)ω→+∞時(shí)，L(ω)→最大值20lg(1/α) ，所以超前校正裝置又是一個(gè)高通濾波器。

比較圖6－4和圖6－5可見(jiàn)，ωm是Gc(s)零點(diǎn)和極點(diǎn)的幾何平均值。理論上，最大相位超前角φm不大于90°，但實(shí)際上，一般超前校正網(wǎng)絡(luò)的最大相位超前角φm不大于65° 。如果要得到大于65°的相位超前角，可用兩個(gè)超前校正網(wǎng)絡(luò)相串聯(lián)來(lái)實(shí)現(xiàn)，并在串聯(lián)的兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)之間加一隔離放大器，以消除它們之間的負(fù)載效應(yīng)。

6.2.2 遲后校正
與超前校正相反，如果一個(gè)控制系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)性能，但其靜態(tài)性能指標(biāo)較差（如靜態(tài)誤差較大）時(shí)，則一般可采用遲后校正裝置，使系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益有較大幅度的增加，而同時(shí)又可使校正后的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)指標(biāo)保持原系統(tǒng)的良好狀態(tài)。

(一) 遲后校正裝置

無(wú)源的遲后校正裝置可由圖6—7（a）構(gòu)成。由圖可得到該校正裝置的傳遞函數(shù)

(6-11)

式中，

,

(6-12)

(6-13)

（二）遲后校正裝置的極點(diǎn)及頻率特性
由式（6－11）可分別得到該遲后校正裝置的零、極點(diǎn)分布圖（6—8）、極坐標(biāo)圖（6—9）、伯德圖（6—10）

圖中，

,

比較超前校正裝置和遲后校正裝置可以發(fā)現(xiàn)，遲后校正裝置具有如下特點(diǎn)：

1）輸出相位總滯后于輸入相位，這是校正中必須要避免的；

2）它是一個(gè)低通濾波器，具有高頻率衰減的作用；

3）利用它的高頻衰減作用（當(dāng) ），使校正后系統(tǒng)剪切頻率 前移，從而達(dá)到增大相位裕量的目的。

6.2.3 遲后－超前校正
(一) 遲后－超前校正裝置

上圖構(gòu)成了遲后－超前的無(wú)源和有源裝置，無(wú)源校正裝置的傳遞函數(shù)為：

上式中，令：T1=R1C1,T2=R2C2,T1/β+βT2=R1C1+R2C2+R1C2,β>1,且令 T2>T1。同時(shí)，上式也可改寫(xiě)成如下形式：

(6-15)

其中前半部分起超前作用，后半部分起遲后作用。

同理，有源校正裝置的傳遞函數(shù)為：

(6-16)

顯然，有源遲后－超前校正裝置的傳遞函數(shù)同時(shí)是一個(gè)典型的PID控制器，式中：KP為比例系數(shù)，Ti 積分時(shí)間常數(shù)，Td為微分時(shí)間常數(shù)。

（二）遲后－超前校正裝置的極點(diǎn)及頻率特性
根據(jù)遲后－超前裝置的傳遞函數(shù)，可得到其頻率特性：

(6-17)

其對(duì)應(yīng)的幅頻特性和相頻特性分別為：

(6-18)

根據(jù)上面二式可分別畫(huà)出其零、極點(diǎn)分布圖、極坐標(biāo)圖、伯德圖。從圖中看出，因 T2>T1，遲后部分的零極點(diǎn)更靠近原點(diǎn)，使系統(tǒng)的靜態(tài)性能得到改善。

從圖6－13和6－14可以看出當(dāng)ω從0→ω1 變化時(shí)，遲后－超前校正裝置起超前作用，而當(dāng)ω從ω1→∞ 變化時(shí)，校正裝置起遲后作用。由下列Matlab語(yǔ)句可得到其伯德圖：

alpha=[0.1:0.1:0.5]; T1=1;T2=5;

Gc=tf([T1,1],[alpha*T1,1])*tf([alpha*T2,i],[T2,1]);

[x0,y0,w]=bode(Gc);[x,y]=bode_asymp(Gc,w);

subplot(211),semilogx(w,20*log10(x0(:)),x,y)

subplot(212),semilogx(w,y0(:))

同時(shí)，容易計(jì)算相角為零的頻率ω1 為：

可見(jiàn)，遲后－超前校正裝置是超前裝置和遲后裝置的組合。