如何使用了一個(gè)簡(jiǎn)單的反證法，就證明了159年來無人能攻克的黎曼猜想

40分鐘后，89歲的阿蒂亞爵士（Sir Michael Francis Atiyah）完成了他全球矚目的黎曼猜想證明演講，現(xiàn)場(chǎng)聽眾報(bào)以10多秒的掌聲。

接下來是提問環(huán)節(jié)。

沒想到，高智商聽眾云集的會(huì)場(chǎng)里，隨即陷入一片沉默?！癈ome on！”等待20秒仍不見人提問的阿蒂亞呼吁大家勇敢一點(diǎn)。

直到一分鐘后，站在臺(tái)上的阿蒂亞才聽到第一個(gè)問題：

“黎曼猜想這算是被成功證明了嗎？”

提問者應(yīng)該是一位印度小哥，他來自數(shù)學(xué)家鄙視鏈的下下游，人工智能領(lǐng)域，一上來就拋出這個(gè)尖銳的問題。

阿蒂亞說，他自己覺得算是已經(jīng)證明了黎曼猜想，不過如果你堅(jiān)決不接受反證法的話……

當(dāng)然，阿蒂亞也表示這個(gè)證明現(xiàn)在還不完整，接下來還有很多后續(xù)問題要解，今天只是萬里長(zhǎng)征的第一步，不過，第一步也應(yīng)該算是問題的一個(gè)解。

他說：“我可以退休了?！?/p>

第二位提問觀眾關(guān)心論文什么時(shí)候發(fā)表，好檢驗(yàn)一下這個(gè)證明。這樣一個(gè)問題勾起了阿蒂亞的傷心事。

順著這個(gè)提問，阿蒂亞開始吐槽了學(xué)術(shù)界的“老齡歧視”。他說：“等你到了我這個(gè)年紀(jì)，人們就不發(fā)表你的論文了，他們會(huì)說你太老了，肯定哪兒證明錯(cuò)了。”

他說他甚至被arXiv拒了稿，簡(jiǎn)直是歧視啊。

第三位提問的終于是個(gè)小姐姐，關(guān)心了一下阿蒂亞自己對(duì)證明黎曼猜想這件事的感受：你認(rèn)為大家會(huì)相信你的證明嗎？還是說你根本不在乎大家信不信？

大家信不信，阿蒂亞是很在乎的。他說，得不得獎(jiǎng)不重要，有人聽才重要。

不過，大家不信也正常，因?yàn)樗l(fā)現(xiàn)，如果有人給舊方法找了種更聰明的用法，人們還比較容易相信，但大家不愿意相信全新的證明。

而他這次所講的，就是一個(gè)全新的方法。

核心三分鐘

作為菲爾茲獎(jiǎng)與阿貝爾獎(jiǎng)雙料得主、英國(guó)皇家學(xué)會(huì)院士，阿蒂亞爵士于德國(guó)柏林時(shí)間9月24日上午9點(diǎn)45分登上講臺(tái)。

在他40分鐘的演講中，大部分在回顧歷史，嚴(yán)格來講，只有三分多鐘在講解他如何使用了一個(gè)簡(jiǎn)單的反證法，就證明了159年來無人能攻克的黎曼猜想。

三分多鐘講解，只有一張PPT。

阿蒂亞爵士對(duì)黎曼猜想的證明，只是推演物理學(xué)中精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)α的副產(chǎn)品，建立在馮·諾依曼（John von Neumann）和弗里德里希·希策布魯赫（Friedrich Hirzebruch）工作的基礎(chǔ)之上。

也就是說，他最初也不是想根據(jù)這兩位的工作來證明黎曼猜想，而是要推演精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)。

精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)通常被認(rèn)為約等于1/137.03599913，但它究竟是怎么來的，到底是不是一個(gè)常數(shù)，困擾著無數(shù)物理學(xué)家，就像黎曼猜想困擾著數(shù)學(xué)家一樣。

這個(gè)推演過程，就用上了Todd函數(shù)，這個(gè)函數(shù)是希策布魯赫用阿蒂亞老師的名字命名的。

阿蒂亞在推演精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)的過程中，發(fā)現(xiàn)Todd函數(shù)還能用來證明黎曼猜想，于是就有了今天這場(chǎng)演講。

用Todd函數(shù)，靠反證法證明黎曼猜想的過程，全在下面這一頁(yè)P(yáng)PT里了：

為了避免曲解（實(shí)際也聽不懂）阿蒂亞的原意，我們把現(xiàn)場(chǎng)這段三分多鐘的講解，剪出來放在這里，我們一起聆聽大師現(xiàn)場(chǎng)教學(xué)：

想要進(jìn)一步研究，可以參考阿蒂亞證明黎曼猜想的論文預(yù)印本。

論文獲取鏈接:https://pan.baidu.com/s/1m6de_9f2503yZeyQPqlwvA提取碼: cs2u

全文很短，只有5頁(yè)。

同行不予置評(píng)

不知道這個(gè)證明，你能看懂幾分。

但根據(jù)我們的觀察，這個(gè)演講發(fā)表之后，阿蒂亞爵士并沒有收到太多的贊美。科技媒體New Scientist曾經(jīng)聯(lián)系了多位數(shù)學(xué)家，問他們?cè)趺纯窗⒌賮喿C明黎曼猜想的方法，但數(shù)學(xué)家們大多表示不予置評(píng)。

就像爵士演講之后的提問環(huán)節(jié)，全場(chǎng)無人舉手，空氣像凍住了一樣。

△“證明部分，就留作課后練習(xí)吧?！?/p>

從20日發(fā)布演講預(yù)告，到昨天下午演講結(jié)束，外界對(duì)阿蒂亞的這份證明，一直不太看好。畢竟十年來，他幾乎沒有做出過讓學(xué)界認(rèn)可的成果了。

甚至，演講開始前傳出的預(yù)印本，許多人都懷疑是假的，不相信阿蒂亞會(huì)給出那樣的證明。聽了演講之后，才驚呼“啊，是真的啊。”

另外，阿蒂亞爵士在演講中提到，證明過程中用到的最重要的工具，是Todd函數(shù)。

針對(duì)這一點(diǎn)，有不止一個(gè)網(wǎng)友表示，“這跟Todd函數(shù)沒啥關(guān)系啊，就是多項(xiàng)式而已?！?/p>

另外據(jù)《文匯報(bào)》報(bào)道，對(duì)于阿蒂亞這次的工作，有同行在網(wǎng)上表示，為了尊重這位曾經(jīng)做出過非常杰出而漂亮工作的偉大數(shù)學(xué)家，就不要再討論了，因?yàn)樗淖C明是“not even wrong”。

在科學(xué)界，這個(gè)英語(yǔ)短語(yǔ)描述了一個(gè)聲稱是科學(xué)的論點(diǎn)或解釋，但是基于無效的推理或推測(cè)前提。因此，它指的是不能嚴(yán)格地、科學(xué)地討論的論述。

再看看學(xué)術(shù)討論之外的世界，推特用戶的娛樂精神就比較充足：

“我跟導(dǎo)師聊起阿蒂亞證明黎曼假說的事。他說每個(gè)人，不管 (前一秒) 是在帶孩子，還是在呼吸，還是在干嘛，都紛紛放下手上的事，開始證明黎曼假說了?！?/p>

妄自解讀了一下這條評(píng)論，大概是說，這樣就能證明的話，是人都能證明了。

當(dāng)然，負(fù)面評(píng)價(jià)也不是全部。

有人指出，這份證明，只是阿蒂亞其他研究的一個(gè)推論(Corollary) ，而那些研究外界都沒有看過，無從評(píng)價(jià)對(duì)錯(cuò)。真正的問題在于，Todd函數(shù)到底是怎么用的。

阿蒂亞本人也說，這個(gè)證明只是“萬里長(zhǎng)征第一步 (the First Step on a Long Road) ”，還有很多需要補(bǔ)充的東西。

不過，他依然相信，自己有理由把 (證明黎曼猜想的) 100萬美元收入囊中。

全程視頻+PPT

阿蒂亞此次演講+問答的全程，視頻在此：

如果你想下載觀摩阿蒂亞此次演講使用的PPT，這里是下載地址：https://pan.baidu.com/s/1akir2ySSlHbU4lxyYfI9CA（提取碼: qeb7）

黎曼猜想簡(jiǎn)史

所以講了這么多，黎曼到底猜想了啥？

一個(gè)找質(zhì)數(shù)的方法。

質(zhì)數(shù)，就是自然數(shù)中那些只能被1和它自己整除的整數(shù)。比如2、3、5、7、11、13、17、19、23……這些數(shù)。

質(zhì)數(shù)看起來似乎沒什么規(guī)律，在數(shù)軸上突然地出現(xiàn)，又突然地消失，從古希臘開始，人們就被這個(gè)“玄學(xué)”所困擾：

質(zhì)數(shù)啊，你們到底有沒有什么規(guī)律？

然而當(dāng)時(shí)，古希臘人對(duì)質(zhì)數(shù)除了定義之外的唯一知識(shí)就是：

自然界有無數(shù)個(gè)質(zhì)數(shù)。

這個(gè)證明來自于歐幾里得，他用反證法證明了這一點(diǎn)。

之后的1600年，人們對(duì)于素?cái)?shù)的認(rèn)知毫無進(jìn)展。

研究調(diào)和級(jí)數(shù)的奧里斯姆大佬

時(shí)間一躍來到了中古晚期，法國(guó)瓦盧瓦王朝國(guó)王查理五世的顧問，title包括經(jīng)濟(jì)學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、哲學(xué)家、音樂學(xué)家、神學(xué)家等一長(zhǎng)串的一位大佬尼克爾·奧里斯姆（Nicole Oresme）研究出了一個(gè)新的函數(shù)：調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散

是不是覺得看起來很玄學(xué)？

他的證明過程就很簡(jiǎn)單了，非常的奧數(shù)style。

△調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散的證明，小學(xué)數(shù)學(xué)就能看懂

調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散看起來跟質(zhì)數(shù)似乎沒啥關(guān)系，但是就是這個(gè)式子，一不小心給后來的黎曼猜想奠定了基礎(chǔ)。

歐拉老師的乘積公式

奧里斯姆大佬告別歷史舞臺(tái)353年之后，輪到歐拉老師秀了。

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Eule），就是那個(gè)從陪伴大家從中學(xué)到高數(shù)到復(fù)變函數(shù)的歐拉老師，他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)名叫歐拉乘積公式的函數(shù)：

這個(gè)公式仿佛冥冥中和質(zhì)數(shù)的分布有某種聯(lián)系，數(shù)學(xué)王子高斯（Gauss）和另一位數(shù)學(xué)大師勒讓德（Legendre）就感覺到了這一點(diǎn)，倆人不約而同的提出了質(zhì)數(shù)定理：

從不大于n的自然數(shù)中隨機(jī)選一個(gè)，它是質(zhì)數(shù)的概率大約是1/ln n。

黎曼大神登場(chǎng)

前面四位數(shù)學(xué)家做了一些鋪墊之后，主角黎曼大神終于登上了歷史舞臺(tái)。

黎曼33歲那一年，當(dāng)上了柏林科學(xué)院的通信院士，這可是非常高的榮譽(yù)，黎曼一開心，想想來這么好一家單位不能白來，我來的時(shí)候以單位為榮，我走的時(shí)候就要單位以我為榮。

怎么以我為榮呢？黎曼就寫了一篇牛逼哄哄的論文，題目叫《論小于已知數(shù)的質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)》，翻譯成人話就是：質(zhì)數(shù)是怎么分布的。

這篇論文里，黎曼提出了一個(gè)函數(shù)，被后世稱為黎曼ζ函數(shù)（ζ，讀音Zeta）。

如果把它展開，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，黎曼ζ函數(shù)長(zhǎng)得跟前面奧里斯姆調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)的式子差不多。

之后，黎曼還定義了兩類零點(diǎn)：

平凡零點(diǎn)：某個(gè)三角sin函數(shù)的周期零點(diǎn)；

非平凡零點(diǎn)：ζ函數(shù)自身的零點(diǎn)。

針對(duì)非平凡零點(diǎn)，黎曼提出了三個(gè)命題：

第一個(gè)命題，黎曼指出了非平凡零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，且十分肯定其分布在實(shí)部大于0但是小于1的帶狀區(qū)域上。

黎曼大神形容“這是不言而喻的普適性的結(jié)果”，意思就是“這特么簡(jiǎn)直是廢話，還用說嗎？”

可是地球上的其他人類不這么覺得。46年后，在芬蘭數(shù)學(xué)家梅林和德國(guó)數(shù)學(xué)家蒙戈?duì)柼氐呐ο?，第一個(gè)命題終于被證明了。

第二個(gè)命題，黎曼提出所有非平凡零點(diǎn)都幾乎全部位于實(shí)部等于1/2的直線上。

這個(gè)命題，黎曼大神自己證出來了，可是他不說，因?yàn)樗X得命題的證明還沒有簡(jiǎn)化到可以發(fā)表的程度。

這些地球上的其他數(shù)學(xué)家懵逼了：大神你不說就撒手西去了，這得讓我們活著的數(shù)學(xué)家急死??！

所以這個(gè)黎曼覺得很簡(jiǎn)單的命題，地球上的其他數(shù)學(xué)家至今還處在一臉懵逼的狀態(tài)中。

第三個(gè)命題，黎曼不像前兩個(gè)那么確定了，他用十分謹(jǐn)慎的語(yǔ)氣寫到：很可能所有非平凡零點(diǎn)都全部位于實(shí)部等于1/2的直線上。這條線，從此被稱為臨界線。

注意，黎曼猜想終于出現(xiàn)了！就是這第三個(gè)命題。

從此，黎曼猜想就開始折磨數(shù)學(xué)家們：到底能不能證明？能證明還是證偽？什么時(shí)候才能證明？

數(shù)學(xué)家們糾結(jié)到什么程度呢？

如果能穿越到500年后，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特醒來的第一句話就是：黎曼猜想被證明還是證偽了？

美國(guó)數(shù)學(xué)家蒙哥馬利也說，如果有魔鬼答應(yīng)讓數(shù)學(xué)家們用自己的靈魂來?yè)Q取一個(gè)數(shù)學(xué)命題的證明，多數(shù)數(shù)學(xué)家想要換取的將會(huì)是黎曼猜想的證明。

黎曼猜想，簡(jiǎn)直是數(shù)學(xué)界の終極奧義。

后世數(shù)學(xué)家的燒腦歷史

雖然黎曼猜想很難證明，不過別忘了前面的第二個(gè)命題，他自己證明了，還不說，黎曼大神可是一個(gè)喜歡藏著掖著的人?。?/p>

于是后世數(shù)學(xué)家們就開始扒拉黎曼遺留的手稿。

萬萬沒想到，黎曼大神自己謹(jǐn)慎到證明沒簡(jiǎn)化就不發(fā)，可是黎曼大神的管家是個(gè)粗心漢。他想都沒想，就把主子遺留的手稿給燒了。

不過，好歹黎曼的遺孀是個(gè)聰明人，她看管家犯傻，就趕緊去搶救了一部分手稿出來，送給了黎曼生前好友、另一位數(shù)學(xué)家戴德金。

可是送過去之后，黎曼夫人后悔了：萬一那些手稿里有黎曼給我寫的情書呢？

她就找戴德金把大部分手稿要回來了，剩下的被戴德金獻(xiàn)給了哥根廷大學(xué)圖書館。

因?yàn)樘觳诺乃悸菲胀ㄈ送簧?，這些手稿看起來很難懂。不過，關(guān)于手稿的故事我們告一段落，后面它會(huì)發(fā)揮巨大的價(jià)值。

下面，則是歷代數(shù)學(xué)家們一步步靠近黎曼猜想真理的過程。

阿達(dá)馬與普森

黎曼去世30年后，法國(guó)數(shù)學(xué)家雅克·阿達(dá)馬和英國(guó)天文學(xué)家諾曼·普森兩位也不約而同了一下，他們幾乎同時(shí)證明了ζ(s)的所有非平凡零點(diǎn)的實(shí)部均小于1，即Re(s)=1上無非平凡零點(diǎn)。

所以這也就是素?cái)?shù)定理。

玻爾與蘭道

時(shí)間走到了一戰(zhàn)爆發(fā)那年。

丹麥數(shù)學(xué)家哈拉爾德·玻爾和德國(guó)數(shù)論家愛德蒙·蘭道開始了一場(chǎng)合作，證明了玻爾-蘭道定理：

含有臨界線的任意帶狀區(qū)域都幾乎包含了ζ的所有非平凡零點(diǎn)，表明了臨界線為零點(diǎn)匯聚的“中心位置”。

零點(diǎn)現(xiàn)世

黎曼一直在講“零點(diǎn)”。

可是，他要的零點(diǎn)在哪兒？沒人知道。

1903年，丹麥數(shù)學(xué)家第一次算出了前15個(gè)非平凡零點(diǎn)的具體數(shù)值。在黎曼猜想公布44年后，人們終于看到了零點(diǎn)的模樣。

毫無意外的是，這些零點(diǎn)的實(shí)部全部都是0.5。

哈代與利特爾伍德

1921年，英國(guó)數(shù)學(xué)家戈弗雷·哈代和約翰·李特爾伍德證明了存在常數(shù)T，使臨界線上虛部位于0與T之間的非平凡零點(diǎn)的數(shù)量至少為KT。

四年后，兩人還算出前138個(gè)零點(diǎn)，這基本達(dá)到了人類計(jì)算能力的極限。

沉迷手稿的西格爾

還記得前面的手稿么？終于有人看明白啦！

1932年，德國(guó)數(shù)學(xué)家西格爾（Siegel）在手稿中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)被塵封了73年的公式：

△來自維基百科截圖

這個(gè)公式表明，黎曼當(dāng)年發(fā)表第三命題不是拍腦門瞎說的，而是經(jīng)過了深刻的思考和計(jì)算。為了紀(jì)念西格爾對(duì)手稿的辛苦挖掘，這個(gè)公司后來被叫做黎曼-西格爾公式。

利用黎曼-西格爾公式，后來的數(shù)學(xué)家們就可以開心的找零點(diǎn)了。

挪威數(shù)學(xué)家塞爾伯格（Selberg）證明了臨界線上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)占全部非平凡零點(diǎn)個(gè)數(shù)的比例大于零，這意味著臨界線上的零點(diǎn)在全部零點(diǎn)的分布中舉足輕重。

之后，美國(guó)數(shù)學(xué)家萊文森（Levinson）引入了獨(dú)特的方法，證明臨界線的零點(diǎn)占全部零點(diǎn)的比例達(dá)到了34.74%。

基于萊文森的技巧，美國(guó)數(shù)學(xué)家康瑞（Conrey）在1989年把比例推進(jìn)到了40%，這也是迄今為止得到的最好結(jié)果。