Amro通過一個簡單的二元分類決策樹解釋信息熵和信息增益這兩個概念

StackOverflow人氣答主（top 0.12%）Amro通過一個簡單的二元分類決策樹例子，簡明扼要地解釋了信息熵和信息增益這兩個概念。

為了解釋熵這個概念，讓我們想象一個分類男女名字的監(jiān)督學(xué)習(xí)任務(wù)。給定一個名字列表，每個名字標(biāo)記為m（男）或f（女），我們想要學(xué)習(xí)一個擬合數(shù)據(jù)的模型，該模型可以用來預(yù)測未見的新名字的性別。

現(xiàn)在我們想要預(yù)測“Amro”的性別（Amro是我的名字）。

第一步，我們需要判定哪些數(shù)據(jù)特征和我們想要預(yù)測的目標(biāo)分類相關(guān)。一些特征的例子包括：首/末字母、長度、元音數(shù)量、是否以元音結(jié)尾，等等。所以，提取特征之后，我們的數(shù)據(jù)是這樣的：

我們可以構(gòu)建一棵決策樹，一棵樹的例子：

長度<7

| 元音數(shù)量<3: 男

| 元音數(shù)量>=3

| | 元音結(jié)尾=1: 女

| | 元音結(jié)尾=0: 男

長度>=7

| 長度=5: 男

基本上，每個節(jié)點代表在單一屬性上進行的測試，我們根據(jù)測試的結(jié)果決定向左還是向右。我們持續(xù)沿著樹走，直到我們到達包含分類預(yù)測的葉節(jié)點（m或f）。

因此，如果我們運行這棵決策樹判定Amro，我們首次測試“長度<7？”答案為是，因此我們沿著分支往下，下一個測試是“元音數(shù)量<3？”答案同樣為真。這將我們導(dǎo)向標(biāo)簽為m的葉節(jié)點，因此預(yù)測是男性（我碰巧是男性，因此這棵決策樹的預(yù)測正確）。

決策樹以自頂向下的方式創(chuàng)建，但問題在于如何選擇分割每個節(jié)點的屬性？答案是找到能將目標(biāo)分類分割為盡可能純粹的子節(jié)點的特征（即：只包含單一分類的純粹節(jié)點優(yōu)于同時包含男名和女名的混合節(jié)點）。

這一純粹性的量度稱為信息。它表示，給定到達節(jié)點的樣本，指定一個新實例（名字）應(yīng)該被分類為男性或女性的期望的信息量。我們根據(jù)節(jié)點處的男名分類和女名分類的數(shù)量計算它。

另一方面，熵是不純粹性的量度（與信息相反）。對二元分類而言，熵的定義為：

Entropy = - p(a)*log(p(a)) - p(b)*log(p(b))

這一二元熵函數(shù)的圖像如下圖所示。當(dāng)概率為p=1/2時，該函數(shù)達到其最大值，這意味著p(X=a)=0.5或類似的p(X=b)=0.5，即50%對50%的概率為a或b（不確定性最大）。當(dāng)概率為p=1或p=0時（完全確定），熵函數(shù)達到其最小值零（p(X=a)=1或p(X=a)=0，后者意味著p(X=b)=1）。

當(dāng)然，熵的定義可以推廣到有N個離散值（超過2）的隨機變量X：

（公式中的log通常為以2為底的對數(shù)）

回到我們的名字分類任務(wù)中，讓我們看一個例子。想象一下，在構(gòu)建決策樹的過程中的某一點，我們考慮如下分割：

以元音結(jié)尾

[9m,5f]

/ \

=1 =0

------- -------

[3m,4f] [6m,1f]

如你所見，在分割前，我們有9個男名、5個女名，即P(m)=9/14，P(f)=5/14。根據(jù)熵的定義，分割前的熵為：

Entropy_before = - (5/14)*log2(5/14) - (9/14)*log2(9/14) = 0.9403

接下來我們將其與分割后的熵比較。在以元音結(jié)尾為真=1的左分支中，我們有：

Entropy_left = - (3/7)*log2(3/7) - (4/7)*log2(4/7) = 0.9852

而在以元音結(jié)尾為假=0的右分支中，我們有：

Entropy_right = - (6/7)*log2(6/7) - (1/7)*log2(1/7) = 0.5917

我們以每個分支上的實例數(shù)量作為權(quán)重因子（7個實例向左，7個實例向右），得出分割后的最終權(quán)重：

Entropy_after = 7/14*Entropy_left + 7/14*Entropy_right = 0.7885

現(xiàn)在比較分割前后的權(quán)重，我們得到信息增益的這一量度，也就是說，基于特定特征進行分割后，我們獲得了多少信息：

Information_Gain = Entropy_before - Entropy_after = 0.1518

你可以如此解釋以上運算：通過以“元音結(jié)尾”特征進行分割，我們得以降低子樹預(yù)測輸出的不確定性，降幅為一個較小的數(shù)值0.1518（單位為比特，比特為信息單位）。

在樹的每一個節(jié)點，為每個特征進行這一運算，以貪婪的方式選擇可以取得最大信息增益的特征進行分割（從而偏好產(chǎn)生較低不確定性/熵的純分割）。從根節(jié)點向下遞歸應(yīng)用此過程，停止于包含的節(jié)點均屬同一分類的葉節(jié)點（不用再進一步分割了）。

注意，我省略了超出本文范圍的一些細節(jié)，包含如何處理數(shù)值特征、缺失特征、過擬合、剪枝樹，等等。