小信號(hào)響應(yīng)分析

最常見(jiàn)的半導(dǎo)體雷射調(diào)制是如圖4-1的直接電流調(diào)制，半導(dǎo)體雷射偏壓操作在固定的電流值I0上，欲輸入的信號(hào)從網(wǎng)絡(luò)分析儀中產(chǎn)生經(jīng)過(guò)Bias-T后加載到半導(dǎo)體雷射上，雷射的輸出信號(hào)就應(yīng)該會(huì)在P0的基準(zhǔn)上作信號(hào)的變化。以弦波信號(hào)為例，若弦波的振幅為Im，振蕩頻率為w，則輸入信號(hào)變?yōu)镮（t）=I0+ImSin（wt），既然輸入信號(hào)開(kāi)始隨時(shí)間變化，雷射光輸出也應(yīng)該會(huì)有對(duì)應(yīng)的變化如P（t）=P0+pmsin（wt）。

當(dāng)我們想要觀察半導(dǎo)體雷射受到外部電流調(diào)制時(shí)是如何響應(yīng)的，就必須要分析主動(dòng)層中的載子濃度與共振腔中的光子密度的速率方程式：

上兩式中的變數(shù)同前幾章里的介紹，然而我們?nèi)粢馍鲜龅膬傻?a href="http://wenjunhu.com/tags/耦合/" target="_blank">耦合方程式在時(shí)間上的變化是非常困難的，因此若要得到某種簡(jiǎn)化形式的解析解勢(shì)必要對(duì)方程式作近似，其中小信號(hào)近似（small signal approximation）是常被使用到的方法，所謂的小信號(hào)近似是指如圖4-1（b）中載入信號(hào)的上下振蕩的幅度遠(yuǎn)小于穩(wěn)態(tài)值（也就是I0與P0），若載入信號(hào)是弦波的形式，所謂的小信號(hào)分析就是要解得輸出信號(hào)的振幅是如何隨著載入信號(hào)振幅的變化。

在推導(dǎo)小信號(hào)分析前，我們先對(duì)半導(dǎo)體雷射作一些規(guī)范與近似假設(shè)，在這里我們先以邊射型雷射為模型，其中半導(dǎo)體雷射的主動(dòng)層體積的長(zhǎng)寬高為L(zhǎng)xWxd，而L即為雷射的共振腔長(zhǎng)度，在主動(dòng)層里，假設(shè)載子的復(fù)合時(shí)間遠(yuǎn)大于載子的熱平衡時(shí)間，這使得我們不用再去考慮載子從披覆層注入主動(dòng)層的熱平衡時(shí)間，換句話說(shuō)，載子一旦從雷射的兩端電極注入后就會(huì)立刻到達(dá)主動(dòng)層，此外，我們也假設(shè)到達(dá)主動(dòng)層中的載子會(huì)立刻均勻分布在主動(dòng)層中而沒(méi)有空間中的不均勻，而這些熱平衡、載子分布的效應(yīng)我們將在非線性增益飽和效應(yīng)中一并考慮；為簡(jiǎn)化分析起見(jiàn)，我們先分析單模操作的半導(dǎo)體雷射，因此光子密度的速率方程式就只會(huì)有一道，此外，因?yàn)樵谶吷湫屠咨渲凶园l(fā)放射因子βsp太小我們可先忽略不考慮。

因此在小信號(hào)分析的情況下，我們可以定義電流密度、載子濃度與光子密度隨時(shí)間的表示式：

我們假設(shè)Jo>Jm、n0>nm與np0>npm，其中下標(biāo)0表示固定的穩(wěn)態(tài)値，而下標(biāo)m則表示小信號(hào)值。將上三式代入（4-1）式中并使用線性增益近似，即，我們可得：

上式中我們使用了線性增益近似，也就是：

將（4-6）式展開(kāi)，因?yàn)閮蓚€(gè)小信號(hào)相乘的項(xiàng)nm?npm太小可以忽略不計(jì)，并將穩(wěn)態(tài)項(xiàng)以及小信號(hào)項(xiàng)分別放在一起，可得：

我們可以取出載子濃度小信號(hào)的變化為：?

同樣的，對(duì)于計(jì)算光子密度小信號(hào)的變化，我們可以將（4-3）式到（4-5）式代入（4-2）式中，展開(kāi)之后將兩個(gè)小信號(hào)相乘的項(xiàng)nm?npm=0，并將穩(wěn)態(tài)項(xiàng)以及小信號(hào)項(xiàng)分放在一起，可得光子密度小信號(hào)的變化：???

（4-9）式與（4-10）式即為載子濃度與光子密度的小信號(hào)速率方程式，我們可以發(fā)現(xiàn)，此二道方程式彼此之間又是互相耦合的。若小信號(hào)以弦波方式振蕩，則：

將（4-11）式到（4-13）式代入（4-9）式與（4-10）中，整理可得：

我們?cè)谇皫渍陆榻B過(guò)當(dāng)雷射操作在閾值條件以上時(shí)，盡管輸入電流改變，其載子濃度會(huì)被鉗制在nth，因此nth即為載子濃度的穩(wěn)態(tài)值n0，因此從閾值條件我們可以知道：

接下來(lái)為簡(jiǎn)化表示，我們引入兩個(gè)新的參數(shù)，分別表示為：

其中Ω被稱之為阻尼常數(shù)（damping constant）或衰減率，而Wr則被稱之為弛豫頻率（relaxation frequency），至于這兩個(gè)參數(shù)的意義我們之后會(huì)再解釋。使用（4-16）式到（4-18）式，我們可以解出（4-14）式與（4-15）式中的小信號(hào)載子濃度與光子密度對(duì)輸入電流密度的關(guān)系：

上式也可以整理成：

其中除了nm在復(fù)數(shù)平面w=0時(shí)會(huì)有0值之外，我們可以發(fā)現(xiàn)nm和npm主要都是隨著H（w）的頻率響應(yīng)作變化。而H（w）為具有兩個(gè)參數(shù)的調(diào)制轉(zhuǎn)移函數(shù)：

我們可以定義小信號(hào)輸出的調(diào)制響應(yīng)（modulation response）為小信號(hào)光子密度在頻率為w值時(shí)與頻率為零時(shí)（DC）的比率：

其中