圖像插值理論研究之雙三次插值

雙三次插值，英文是Bicubic interpolation。雙三次插值是一種更加復(fù)雜的插值方式，它能創(chuàng)造出比雙線性插值更平滑的圖像邊緣。雙三次插值方法通常運(yùn)用在一部分圖像處理軟件、打印機(jī)驅(qū)動(dòng)程序和數(shù)碼相機(jī)中，對(duì)原圖像或原圖像的某些區(qū)域進(jìn)行放大。Adobe Photoshop CS 更為用戶提供了兩種不同的雙三次插值方法：雙三次插值平滑化和雙三次插值銳化。

在數(shù)值分析這個(gè)數(shù)學(xué)分支中，雙三次插值（英語(yǔ)：Bicubic interpolation）是二維空間中最常用的插值方法。在這種方法中，函數(shù)f在點(diǎn) (x,y) 的值可以通過(guò)矩形網(wǎng)格中最近的十六個(gè)采樣點(diǎn)的加權(quán)平均得到，在這里需要使用兩個(gè)多項(xiàng)式插值三次函數(shù)，每個(gè)方向使用一個(gè)。

雙三次插值又叫雙立方插值，用于在圖像中“插值”（Interpolating）或增加“像素”（Pixel）數(shù)量/密度的一種方法。通常利用插值技術(shù)增加圖形數(shù)據(jù)，以便在它打印或其他形式輸出的時(shí)候，能夠增大打印面積以及（或者）分辨率。

目前有不同的插值技術(shù)可供選用。雙立方插值通常能產(chǎn)生效果最好，最精確的插補(bǔ)圖形，但它速度也幾乎是最慢的。“雙線性插值”（Bilinear interpolation）的速度則要快一些，但沒(méi)有前者精確。在商業(yè)性圖像編輯軟件中，經(jīng)常采用的是速度最快，但也是最不準(zhǔn)確的“最近相鄰”（Nearest Neighbor）插值。其他一些插值技術(shù)通常只在高檔或單獨(dú)應(yīng)用的程序中出現(xiàn)。

通過(guò)雙三次插值可以得到一個(gè)連續(xù)的插值函數(shù)，它的一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且交叉導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)。

如上圖所示，我們?cè)谛律傻膱D像中，像素點(diǎn)是f(x,y)，先映射到源圖像中的坐標(biāo)為f(i+u,j+v)需要找到對(duì)應(yīng)的原圖像中離最近的16個(gè)點(diǎn)。

和前面介紹的雙線性插值的分析方法類似（http://blog.chinaaet.com/justlxy/p/5100052604），我們可以分別對(duì)行和列進(jìn)行依次處理。則有，

則有，

而s(*)表示的則是權(quán)值，有多種計(jì)算方法（模型），常用的有Bicubic、Mitchell和Lanczos等，這里簡(jiǎn)單介紹一下Bicubic函數(shù)：

該函數(shù)，波形如下圖所示：

Lanczos函數(shù)為：

波形也是類似的：

審核編輯：黃飛