人工智能進軍數(shù)學領域，數(shù)學家們準備好迎接了嗎？

在洛杉磯蓋蒂博物館的藏品中，有一幅17世紀古希臘數(shù)學家歐幾里得的肖像：衣衫襤褸、蓬頭垢面，雙手沾滿污垢，舉著他的幾何學著作《幾何原本》。

兩千多年來，歐幾里得的著作一直是數(shù)學論證和推理的典范。

卡內基梅隆大學邏輯學家Jeremy Avigad說：「眾所周知，歐幾里得以近乎詩意的 [定義] 開始。然后，他在此基礎上建立了當時的數(shù)學，使用基本概念、定義和先驗定理，以這樣一種方式證明事物，即每一步都 [清晰地遵循] 前一步。」

Avigad博士說，有人抱怨歐幾里得的一些「明顯」步驟并不明顯，但該系統(tǒng)仍然有效。

但到了20世紀，數(shù)學家不再愿意將數(shù)學建立在這種直觀的幾何基礎上。相反，他們開發(fā)了正式的系統(tǒng)——精確的符號表示、機械規(guī)則。最終，這種形式化使得數(shù)學能夠轉化為計算機代碼。

1976年，四色定理（該定理指出四種顏色足以填充地圖，因此沒有兩個相鄰區(qū)域具有相同的顏色）成為第一個借助計算強力證明的主要定理。

現(xiàn)在，數(shù)學家們正在努力應對最新的變革力量：人工智能。

2019年，曾在谷歌工作、現(xiàn)就職于舊金山灣區(qū)一家初創(chuàng)企業(yè)的計算機科學家Christian Szegedy預測，計算機系統(tǒng)將在十年內趕上或超過人類最優(yōu)秀數(shù)學家解決問題的能力。去年他將目標日期修改為2026年。

普林斯頓高等研究院數(shù)學家、2018年菲爾茲獎獲得者Akshay Venkatesh目前對使用人工智能不感興趣，但他熱衷于談論它。「我希望我的學生意識到他們所處的領域將會發(fā)生很大的變化，」他在去年的一次采訪中說道。他最近補充道：「我并不反對深思熟慮和刻意地使用技術來支持我們人類的理解。但我堅信，注意我們使用它的方式是至關重要的?！?/p>

二月，Avigad博士參加了在加州大學洛杉磯分校純粹與應用數(shù)學研究所舉辦的「機器輔助證明」研討會。這次聚會吸引了數(shù)學家和計算機科學家的非典型組合?！高@感覺很重要，」該大學數(shù)學家、2006年菲爾茲獎獲得者、研討會的主要組織者Terence Tao說。

Tao博士指出，直到最近幾年，數(shù)學家們才開始擔心人工智能的潛在威脅，無論是對數(shù)學美學還是對他們自己。他說，著名的社區(qū)成員現(xiàn)在正在提出這些問題并探索潛在的「打破禁忌」。一位引人注目的研討會參與者坐在前排：一個名為「舉手機器人」的梯形盒子，每當在線參與者提出問題時，它就會發(fā)出機械的低語并舉起手?！溉绻?a href="http://wenjunhu.com/soft/data/42-101/" target="_blank">機器人可愛且不具有威脅性，那就很有幫助，」Tao博士說。

帶來「證明抱怨者」

如今，優(yōu)化我們生活的小工具并不缺乏——飲食、睡眠、鍛煉。威斯康星大學麥迪遜分校數(shù)學家Jordan Ellenberg在研討會休息期間說：「我們喜歡給自己附加一些東西，以便更容易把事情做好?！?他補充說，人工智能設備可能也會對數(shù)學產生同樣的影響?！负苊黠@，問題是，機器能為我們做什么，而不是機器會對我們做什么。」

一種數(shù)學小工具稱為證明助手，或交互式定理證明器。（「自動化」是20世紀60年代的早期化身。）數(shù)學家一步步將證明轉化為代碼；然后軟件程序檢查推理是否正確。驗證積累在一個庫中，這是其他人可以查閱的動態(tài)規(guī)范參考?；羲菇鹕问綌?shù)學中心（由加密貨幣企業(yè)家Charles Hoskinson資助）主任 Avigad 博士說，這種形式化為當今的數(shù)學奠定了基礎，「就像歐幾里得試圖編纂和整理數(shù)學一樣。為他那個時代的數(shù)學奠定了基礎。」

最近，開源證明輔助系統(tǒng)Lean備受關注。Lean由現(xiàn)任職于亞馬遜的計算機科學家Leonardo de Moura在微軟開發(fā)，Lean使用自動推理，由所謂的老式人工智能 (GOFAI) 提供支持，即受邏輯啟發(fā)的符號人工智能。到目前為止，Lean社區(qū)已經驗證了一個關于將球體翻轉的有趣定理，以及統(tǒng)一數(shù)學領域方案中的一個關鍵定理以及其他策略。

但證明助手也有缺點：它經常抱怨自己不理解數(shù)學家輸入的定義、公理或推理步驟，因此它被稱為「證明抱怨者」。所有這些抱怨會使研究變得麻煩。但是福特漢姆大學的數(shù)學家Heather Macbeth說，同樣的功能（提供逐行反饋）也使該系統(tǒng)對教學很有用。

今年春天，Macbeth博士設計了一門「雙語」課程：她把黑板上的每個問題都翻譯成課堂講稿上的Lean代碼，學生們用Lean和散文兩種語言提交作業(yè)問題的解決方案?！高@給了他們信心，」Macbeth博士說，因為他們得到了即時的反饋，知道證明何時完成，以及過程中的每一步是對還是錯。

參加研討會后，約翰霍普金斯大學的數(shù)學家Emily Riehl使用了一個實驗性的證明助理程序，將她之前與一位合著者發(fā)表的證明正式化。在一次驗證結束時，她說，「我真的非常非常深入地理解了這個證明，比我以前理解的要深入得多。我想得很清楚，我可以向一臺非常愚蠢的計算機解釋。」

蠻力推理——但它是數(shù)學嗎？

卡內基梅隆大學計算機科學家、亞馬遜學者Marijn Heule使用的另一種自動推理工具是他俗稱的「暴力推理」（brute reasoning）。他說，只要用精心設計的編碼來說明你想要找到哪個「奇異物體」，超級計算機網絡就會在搜索空間中進行攪動，并確定該實體是否存在。

就在研討會之前，Heule博士和他的一位博士。學生Bernardo Subercaseaux最終解決了一個長期存在的50 TB文件問題的解決方案。然而，該文件與 Heule 博士及其合作者在2016年得出的結果幾乎沒有可比性：「200 TB的數(shù)學證明是有史以來最大的」，《Nature》雜志的一個標題宣布。文章接著問，用這些工具解決問題是否真的算作數(shù)學。在Heule博士看來，這種方法是「解決人類無法解決的問題」所必需的。

另一組工具使用機器學習，它可以合成大量數(shù)據并檢測模式，但不擅長邏輯、逐步推理。谷歌的DeepMind設計了機器學習算法來解決蛋白質折疊 (AlphaFold) 和國際象棋獲勝 (AlphaZero) 等問題。在2021年《Nature》雜志的一篇論文中，一個團隊將他們的成果描述為「通過人工智能指導人類直覺來推進數(shù)學發(fā)展」。

前谷歌計算機科學家、現(xiàn)在在灣區(qū)創(chuàng)業(yè)的Yuhuai 「Tony」 Wu概述了一個更宏偉的機器學習目標：「解決數(shù)學問題」。在谷歌，Wu博士探索了支持聊天機器人的大型語言模型如何幫助數(shù)學。該團隊使用的模型經過互聯(lián)網數(shù)據訓練，然后使用數(shù)學和科學論文的在線存檔等富含數(shù)學的大型數(shù)據集進行微調。Wu博士在研討會上說，當用日常英語要求解決數(shù)學問題時，這個名為Minerva的專門聊天機器人「非常擅長模仿人類」。該模型在高中數(shù)學考試中獲得的成績優(yōu)于16歲學生的平均成績。

Wu博士說，最終，他設想了一位「自動化數(shù)學家」，具有「自行解決數(shù)學定理的能力」。

數(shù)學作為試金石

數(shù)學家們對這些干擾做出了不同程度的關注。

哥倫比亞大學的Michael Harris在他的「Silicon Reckoner」子堆棧中表達了疑慮。他對研究數(shù)學與科技和國防工業(yè)之間潛在的沖突目標和價值觀感到困擾。

Harris博士對缺乏對人工智能更大影響的討論表示遺憾。數(shù)學研究，特別是「與正在進行的非?；钴S的對話相比」，「除了數(shù)學之外，幾乎無處不在」。

DeepMind合作者、悉尼大學的Geordie Williamson在N.A.S. 發(fā)表了講話。聚集并鼓勵數(shù)學家和計算機科學家更多地參與此類對話。在洛杉磯的研討會上，他以改編自喬治·奧威爾1945年文章「You and the Atom Bomb」的一句話開始了自己的演講。Williamson博士說：「考慮到我們所有人在未來五年內都可能受到深刻影響，深度學習并沒有引起像預期的那樣多的討論?！?/p>

Williamson博士認為數(shù)學是機器學習能做什么或不能做什么的試金石。推理是數(shù)學過程的精髓，也是機器學習中尚未解決的關鍵問題。

Williamson博士在接受采訪時表示，在與DeepMind合作的早期，該團隊發(fā)現(xiàn)了一個簡單的神經網絡，它可以預測「我非常關心的數(shù)學量」，而且它的預測「準確得可笑」。Williamson博士努力想要理解其中的原因——這將成為一個定理的基礎——但是卻無法理解。DeepMind的任何人都做不到。就像古代幾何學家歐幾里得一樣，神經網絡以某種方式直觀地辨別出了數(shù)學真理，但其邏輯「原因」卻遠非顯而易見。

在洛杉磯研討會上，一個突出的主題是如何將直覺和邏輯結合起來。如果人工智能能同時做到這兩件事，一切都將迎刃而解。

但是，Williamson博士觀察到，人們很少有動力去理解機器學習所呈現(xiàn)的黑匣子。他說：「這是科技界的黑客文化，如果它在大部分時間都有效，那就太好了?！沟@種情況讓數(shù)學家們感到不滿。

他補充說，試圖理解神經網絡內部發(fā)生的事情會引發(fā)「令人著迷的數(shù)學問題」，而尋找答案為數(shù)學家「為世界做出有意義的貢獻」提供了機會。