寫在前面

本文是本系列的第一篇，參考杜勇老師的數(shù)字濾波器MATLAB和Verilog實(shí)現(xiàn)以及一些網(wǎng)文博客，更新順序參考杜勇老師的書籍目錄。 本文主要介紹關(guān)于數(shù)字信號的一些基礎(chǔ)知識。

固定點(diǎn)數(shù)

數(shù)字既包括整數(shù)，又包括小數(shù)，而小數(shù)的精度范圍要比整數(shù)大得多，所以如果我們想在計(jì)算機(jī)中，既能表示整數(shù)，也能表示小數(shù)，關(guān)鍵就在于這個小數(shù)點(diǎn)如何表示。 于是人們想出一種方法，即 約定計(jì)算機(jī)中小數(shù)點(diǎn)的位置 ，且這個位置固定不變，小數(shù)點(diǎn)前、后的數(shù)字，分別用二進(jìn)制表示，然后組合起來就可以把這個數(shù)字在計(jì)算機(jī)中存儲起來，這種表示方式叫做「定點(diǎn)」表示法，用這種方法表示的數(shù)字叫做「定點(diǎn)數(shù)」。 也就是說「定」是指固定的意思，「點(diǎn)」是指小數(shù)點(diǎn)，小數(shù)點(diǎn)位置固定即定點(diǎn)數(shù)名字的由來。

在計(jì)算機(jī)中，通常將數(shù)據(jù)的小數(shù)點(diǎn)固定在數(shù)據(jù)的最高位之前或者最低位之后。 前者稱為定點(diǎn)小數(shù)，后者稱為定點(diǎn)整數(shù)。 定點(diǎn)小數(shù) 是純小數(shù)，約定的小數(shù)點(diǎn)位置在符號位之后、有效數(shù)值部分最高位之前。 若數(shù)據(jù) x 的形式為 x = x0.x1x2… xn ( 其中x0為符號位，x1～xn是數(shù)值的有效部分，也稱為尾數(shù)， x1為最高有效位 )，則在計(jì)算機(jī)中的表示形式為：

在數(shù)字處理中，定點(diǎn)數(shù)通常把數(shù)限制-1~ 1之間，把小數(shù)點(diǎn)規(guī)定在符號位和數(shù)據(jù)位之間，而把整數(shù)位作為符號位，用0 、1表示正負(fù)，數(shù)本身只有小數(shù)部分，即尾數(shù)。 這是由于經(jīng)過定點(diǎn)數(shù)的乘法后，所得的結(jié)果小數(shù)點(diǎn)位置不確定，除非兩個乘數(shù)都是小數(shù)或者整數(shù)。 對于加法來說，小數(shù)點(diǎn)的位置是固定的，如上圖x0位符號位，x1~xn為數(shù)據(jù)位。 在整個運(yùn)算過程中，要求所有的運(yùn)算結(jié)果的絕對值都不能超過1，否則會出現(xiàn)溢出。 在實(shí)際問題中，處理運(yùn)算的中間過程會可能會出現(xiàn)結(jié)果超過1的情況，為了使得運(yùn)算正確，通常會在運(yùn)算時乘一個比例因子（類似歸一化）避免發(fā)生溢出現(xiàn)象。

定點(diǎn)數(shù)的三種表示方法

定點(diǎn)帶符號數(shù)在計(jì)算機(jī)內(nèi)的四種表示方法是： 原碼，補(bǔ)碼，反碼。 在FPGA處理中，比較都常用。

原碼表示

最高位為符號位，0表示正數(shù)，1表示負(fù)數(shù)，其余位是數(shù)值位。 原碼的優(yōu)點(diǎn)是簡單直觀，特點(diǎn)是符號位與數(shù)值位在運(yùn)算時要區(qū)別對待。 0的原碼表示有兩種形式。

反碼表示

正數(shù)的反碼表示與原碼表示一樣； 負(fù)數(shù)的反碼表示為該負(fù)數(shù)對應(yīng)的原碼符號位不變，數(shù)值位按位取反。 因此，在反碼表示中，最高位還是符號位，0表示正，1表示負(fù)，與原碼相同。 0的反碼表示也有兩種形式。

補(bǔ)碼表示

正數(shù)的補(bǔ)碼表示與原碼表示相同； 負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼表示是原碼表示的符號位不變數(shù)值位取反，并在最低位加1。 補(bǔ)碼中0的表示是唯一的。

浮點(diǎn)數(shù)

浮點(diǎn)數(shù)是一種公式化的表達(dá)方式，用來近似表示實(shí)數(shù)，并且可以在表達(dá)范圍和表示精度之間進(jìn)行權(quán)衡（因此被稱為浮點(diǎn)數(shù)）。 在計(jì)算機(jī)中可以近似表達(dá)任意實(shí)數(shù)。 浮點(diǎn)數(shù)通常被表示為：A=M×B^E,B被稱為階碼的基數(shù)，精度為N（使用多少位來進(jìn)行存儲），E在浮點(diǎn)數(shù)中表示為基的指數(shù)。 M被稱為浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)。

浮點(diǎn)顯示方法

要表示浮點(diǎn)數(shù)，一是要給出尾數(shù)M的值，通常用定點(diǎn)小數(shù)形式表示，它決定了浮點(diǎn)數(shù)的表示精度，即可以給出的有效數(shù)字的位數(shù)。 二是要給出階碼，通常用定點(diǎn)整數(shù)形式表示，它指出的是小數(shù)點(diǎn)在數(shù)據(jù)中的位置，決定了浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍。 因此，在計(jì)算機(jī)中,浮點(diǎn)數(shù)通常被表示成如下格式:（假定為32位浮點(diǎn)數(shù)，基為2，其中最高位為符號位）

一種FPGA處理浮點(diǎn)數(shù)格式

雖然浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍更大，但實(shí)現(xiàn)時消耗的資源更多，實(shí)現(xiàn)的步驟也更加繁瑣。 如浮點(diǎn)數(shù)的加法需要以下步驟：

1. 對階操作：比較指數(shù)的大小，對指數(shù)小的操作數(shù)進(jìn)行移位，完成尾數(shù)的對階操作。
2. 尾數(shù)相加：對階后的尾數(shù)進(jìn)行加減操作。
3. 規(guī)格化：規(guī)格化有效位并根據(jù)移位方向和位數(shù)修改最終的階數(shù)。

浮點(diǎn)數(shù)乘法操作，一般需要以下操作：

1. 指數(shù)相加：完成兩個操作數(shù)的指數(shù)相加運(yùn)算。
2. 尾數(shù)調(diào)整：將尾數(shù)M調(diào)整為1.M的補(bǔ)碼格式。
3. 尾數(shù)相乘：完成講個操作數(shù)的尾數(shù)相乘運(yùn)算。
4. 規(guī)格化：根據(jù)尾數(shù)運(yùn)算結(jié)果調(diào)整指數(shù)位，并對尾數(shù)進(jìn)行舍入截位操作，規(guī)格化輸出結(jié)果。

浮點(diǎn)數(shù)乘法器的運(yùn)算速度主要由FPGA內(nèi)部集成的硬件乘法器決定。 大部分FPGA芯片內(nèi)部的乘法器為18bitX18bit。 這里以7系列的xilinx為例。 DSP48內(nèi)部的乘法器為25X18的，如下圖：

如果進(jìn)行24位的乘法運(yùn)算，則需要使用4個18bitX18bit乘法器，兩個18位的數(shù)乘法操作只占用一個18bitX18bit乘法器。 由于FPGA的寄存器資源的設(shè)計(jì)，可以直接將尾數(shù)表示為補(bǔ)碼的格式。 可以去除尾數(shù)調(diào)整的運(yùn)算，減少一級流水操作。

杜勇老師在他的《多輸入浮點(diǎn)加法器算法研究》中提出了一種新的浮點(diǎn)數(shù)結(jié)格式，也即一個26位寬的數(shù)，25--18位表示為8位有符號數(shù)，17--0表示為18位有符號的小數(shù)。 浮點(diǎn)數(shù)的表示式為M = f X 2^e;

規(guī)定，數(shù)值1的表示方法為指數(shù)為0，尾數(shù)為01_1111_1111_1111_1111；數(shù)值0表示為指數(shù)為-128，尾數(shù)為0。 這種自定義浮點(diǎn)數(shù)格式，相比24位的普通浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算雖然精度有所下降但是可以大大節(jié)省乘法器的資源由是個乘法器變?yōu)?個，并有效地減少了運(yùn)算步驟，提高了運(yùn)算速率（由二級18X18乘法運(yùn)算減少到一級運(yùn)算）。

自定義浮點(diǎn)數(shù)和實(shí)數(shù)之間的關(guān)系：

FPGA中的運(yùn)算

加減法運(yùn)算

小數(shù)加減法運(yùn)算

在Verilog中比較常用的數(shù)據(jù)類型是wire和reg以及他們的向量形式，在Verilog中，默認(rèn)將所有的二進(jìn)制數(shù)當(dāng)做小數(shù)處理，也就是說小數(shù)點(diǎn)均在最低位的右邊。 帶小數(shù)的運(yùn)算，設(shè)計(jì)者可以通過隱形規(guī)定進(jìn)行，如，假設(shè)規(guī)定一個小數(shù)運(yùn)算的小數(shù)點(diǎn)在最高位和次高位之間，然后進(jìn)行小數(shù)的加減法運(yùn)算。 和十進(jìn)制的運(yùn)算規(guī)則相同，在做加減法運(yùn)算時，參與運(yùn)算的兩個數(shù)的小數(shù)點(diǎn)必須對齊，并且結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)位置相同。

還有一種比較常用的處理辦法是，將小數(shù)轉(zhuǎn)換為整數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，處理過程為同時把要運(yùn)算的數(shù)進(jìn)行乘一個很大的數(shù)如1024，即乘一個很大的整數(shù)處理掉小數(shù)部分，轉(zhuǎn)化為整數(shù)，并約定該整數(shù)為之前的小數(shù)。 但是這樣處理的弊端也比較明顯，相比于直接進(jìn)行隱形規(guī)定小數(shù)運(yùn)算，會消耗更多的資源。

負(fù)數(shù)加減法

Verilog默認(rèn)狀態(tài)都表示的是無符號數(shù)，如果要指定某個數(shù)為有符號數(shù)，要在聲明前加入關(guān)鍵字signed，如：wire signed [2:0] data; 這里表示data為3bit的有符號數(shù)，在運(yùn)算時自動采用有符號運(yùn)算。 下面引用杜勇老師書上的一個示例，并做略微改動。

有無符號數(shù)對比示例：

源文件：

`timescale 1ns / 1ps
module adder_test(
    data1,
    data2,
	sum_signed_out,
    sum_unsigned_out,
	compare_signed,
	compare_unsigned);

	input		[3:0]data1;              //輸入加數(shù)1
	input		[3:0]data2;              //輸入加數(shù)2
	output 	[3:0]	sum_unsigned_out;   //無符號加法輸出
	outputsigned [3:0] sum_signed_out; //有符號加法輸出

	output 	[3:0]	compare_signed;   //有符號數(shù)比較輸出
	output 	[3:0]	compare_unsigned;   //無符號數(shù)比較輸出
	//無符號加法運(yùn)算
	assign sum_unsigned_out = data1 + data2;
	
	//有符號加法運(yùn)算
	wiresigned [3:0] s_data1;
	wiresigned [3:0] s_data2;
	assign s_data1 = data1;
	assign s_data2 = data2;
	assign sum_signed_out = s_data1 + s_data2;

	//比較操作
    wiresigned [3:0] cons_1 = 4'b1001;
	assign compare_signed = (sum_signed_out < cons_1)? 1 : 0;
	assign compare_unsigned = (sum_unsigned_out < cons_1)? 1 : 0;

endmodule

測試文件：

`timescale 1ns / 1ps
module tb_adder();
    //輸入
    reg  [3:0] data1;
    reg  [3:0] data2;
    //輸出
    wire [3:0] sum_unsigned_out;    
    wire [3:0] sum_signed_out  ;
    wire compare_signed  ;
    wire compare_unsigned;
    //例化
    adder_test u_adder_test(
		.data1            (data1            ),
		.data2            (data2            ),
		.sum_unsigned_out (sum_unsigned_out ),
		.sum_signed_out   (sum_signed_out   ),
		.compare_signed   (compare_signed   ),
		.compare_unsigned (compare_unsigned )
	);
    //測試
    initialbegin
        data1 = 0;
        data2 = 0;
        repeat(16)begin
            data1 = data1 + 1;
            data2 = data2 + 1;
            #20;
        end
    end
endmodule

綜合的RTL圖：

此時的仿真結(jié)果為下圖：

通過對比可以知道，在進(jìn)行運(yùn)算時，有無符號數(shù)的運(yùn)算結(jié)果在二進(jìn)制中查看是相同的，但是表達(dá)的數(shù)值大小有區(qū)別，除此之外，有無符號數(shù)的區(qū)別也體現(xiàn)在比較運(yùn)算上。

從下圖中，可以看出，對于有無符號數(shù)來說，4‘b1001有符號數(shù)對應(yīng)的是-7，無符號數(shù)對應(yīng)的是9，所以兩者的結(jié)果是不一樣的。

比較操作中為何不直接使用(sum_signed_out < 4'b1001)？

這里作為對比，將比較操作語句的cons_1直接改為4'b1001；

//比較操作
    //wire signed [3:0] cons_1 = 4'b1001;
	assign compare_signed = (sum_signed_out < 4'b1001)? 1 : 0;
	assign compare_unsigned = (sum_unsigned_out < 4'b1001)? 1 : 0;

在vivado的編譯仿真器環(huán)境下輸出結(jié)果如下:

從波形可以看出，兩個比較操作都是按照無符號數(shù)進(jìn)行比較，這是因?yàn)樵谶M(jìn)行比較操作時，直接把比較數(shù)寫入4'b1001，編譯器會默認(rèn)該數(shù)為無符號數(shù)，比較會按照無符號進(jìn)行比較輸出。 所以**有符號數(shù)進(jìn)行比較時加上signed，即可考慮數(shù)值正負(fù)，完成正確比較,必須兩個都要加signed，否則當(dāng)作無符號進(jìn)行比較。 否則只會將有符號數(shù)看作無符號數(shù)進(jìn)行比較。 **

乘法運(yùn)算

對于乘法運(yùn)算，可以選擇使用工具中自帶的IP核，也可以使用基本的組件進(jìn)行設(shè)計(jì)乘法電路。 相比加減法，乘法電路更消耗資源，一般情況下，對于信號和信號（數(shù)據(jù)）之間的運(yùn)算，通常調(diào)用IP進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，而常數(shù)和信號直接的乘法運(yùn)算，可以通過進(jìn)行移位和加減法實(shí)現(xiàn)。 例如一個數(shù)乘2，等效為這個數(shù)左移一位； 一個數(shù)乘3等效為這個數(shù)左移一位+該數(shù)本身。

因?yàn)槌朔ㄟ\(yùn)算的結(jié)果數(shù)據(jù)位數(shù)比乘數(shù)位數(shù)多，所以在實(shí)現(xiàn)乘法時，要先進(jìn)行數(shù)據(jù)位數(shù)是擴(kuò)展，以免出現(xiàn)數(shù)據(jù)溢出的現(xiàn)象。

除法運(yùn)算

和乘法類似，可以選擇使用工具中自帶的IP核實(shí)現(xiàn)除法電路。 但是除法不可以在Verilog程序中進(jìn)行直接實(shí)現(xiàn)，類比乘法電路的實(shí)現(xiàn)方法，可以將除法進(jìn)行分解成若干右移的小項(xiàng)，然后進(jìn)行加減運(yùn)算操作。 例如一個數(shù)除以2，則可以將該數(shù)進(jìn)行右移一位； 一個數(shù)除以3，可以將該數(shù)（記該數(shù)為A）近似分解 為，A右移2位+A右移4位+A右移6位。 （相當(dāng)于該數(shù)乘了0.3281），因?yàn)樵摂?shù)是無限小數(shù)，所以對于分解法只能得到近似的結(jié)果，分解的項(xiàng)數(shù)越多，精度越高。 因?yàn)镕PGA這些數(shù)字信號處理平臺不可避免有限字長效應(yīng)引起的。

有效數(shù)據(jù)位的計(jì)算

在FPGA中，所有的數(shù)據(jù)都是通過寄存器來存儲，使用的寄存器越多，消耗的資源也就越多。 所以為了保證硬件資源的有效利用，需要精準(zhǔn)掌握運(yùn)算中的有效數(shù)據(jù)位的長度，盡可能的減少無效數(shù)據(jù)位參與運(yùn)算，浪費(fèi)資源。 有效數(shù)據(jù)位表示有用的數(shù)據(jù)位，例如數(shù)據(jù)范圍為0-9，從寄存器的角度來說，只需要4個寄存器進(jìn)行存儲即可枚舉所有0-9的狀態(tài)，如果此時定義了5位的寄存器向量，那么多出來的那一位是無效的，任何時候都不代表任何信息。

加法運(yùn)算的有效數(shù)據(jù)位

對于整數(shù)加法來說，假設(shè)加法中的兩個加數(shù)最大的位數(shù)為N，則加法運(yùn)算結(jié)果需要N+1位 才能保證結(jié)果不溢出。

對于小數(shù)加法來說，如果采用N+1位的數(shù)據(jù)表示運(yùn)算結(jié)果，則小數(shù)點(diǎn)的位置在數(shù)據(jù)次高位的右邊，如果采用N位數(shù)據(jù)表示運(yùn)算結(jié)果，則小數(shù)點(diǎn)的位置在數(shù)據(jù)最高位的右邊。 簡而言之就是，小數(shù)部分的數(shù)據(jù)位數(shù)是不變的 。 為了確保得到N+1位的準(zhǔn)確結(jié)果，要對參加運(yùn)算的兩個數(shù)進(jìn)行一位符號位的拓展 。

乘法運(yùn)算的有效數(shù)據(jù)位

對于數(shù)據(jù)長為M和N的數(shù)據(jù)進(jìn)行乘法運(yùn)算時，需要M+N位的數(shù)據(jù)才能得到準(zhǔn)確的結(jié)果。 對于乘法運(yùn)算當(dāng)乘數(shù)為小數(shù)時，，不需要通過拓展位數(shù)類對齊乘數(shù)的小數(shù)點(diǎn)位置，乘法的結(jié)果的小數(shù)位數(shù)等于兩個乘數(shù)的小數(shù)位數(shù)之和。 對乘法進(jìn)行截取時，為了保證結(jié)果正確，只能取高位，舍棄低位。 只有在兩個乘數(shù)均能表示最小負(fù)數(shù)時，才能拿出現(xiàn)最高位和次高位不同情況。 （最高位為1，其余為0），只有在這種情況下需要M+N位的數(shù)來存放結(jié)果，其他情況下，只需要M+N-1位來存放結(jié)果。

乘加法運(yùn)算的有效數(shù)據(jù)位

在數(shù)字信號處理中，通常會遇到乘加運(yùn)算的情況，一個典型的例子就是有限脈沖響應(yīng)（Finite Impulse Response，F(xiàn)IR）濾波器的設(shè)計(jì)。 當(dāng)乘法系數(shù)是常量時，最終運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)位根據(jù)常量的大小來重新計(jì)算。 假設(shè)乘加運(yùn)算的變量輸入是N位的數(shù)據(jù)，乘加運(yùn)算的輸出有效數(shù)據(jù)位計(jì)算如下：計(jì)算所有常數(shù)乘數(shù)絕對值之和SUM，算出SUM所占用的二進(jìn)制數(shù)據(jù)位n，則乘加運(yùn)算的輸出的有效數(shù)據(jù)位數(shù)為N+n。

有限字長效應(yīng)

數(shù)字信號處理的實(shí)質(zhì)是一組數(shù)值運(yùn)算，這些運(yùn)算可以在計(jì)算機(jī)上用軟件實(shí)現(xiàn)，也可以用專門的硬件實(shí)現(xiàn)。 無論哪種實(shí)現(xiàn)方式，數(shù)字信號處理系統(tǒng)的一些系數(shù)、信號序列的各個數(shù)值及運(yùn)算結(jié)果都要以二進(jìn)制形式存儲在有限字長的存儲單元中。 如果存儲的是模擬信號，例如常用的采樣信號處理系統(tǒng)，輸入的模擬量經(jīng)過采樣和模數(shù)轉(zhuǎn)換后，變成有限長的數(shù)字信號。 有限長的數(shù)就是有限精度的數(shù)。 因此，具體實(shí)現(xiàn)中往往難以保證原設(shè)計(jì)精度而產(chǎn)生誤差，甚至導(dǎo)致錯誤的結(jié)果。 在數(shù)字系統(tǒng)中主要有三種因有限字長而引起誤差的因素：

1. 模數(shù)轉(zhuǎn)換器把模擬輸入信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號時產(chǎn)生的量化效應(yīng)
2. 把系數(shù)用有限位二進(jìn)制表示時產(chǎn)生的量化效應(yīng)
3. 數(shù)字運(yùn)算過程中，為限制位數(shù)進(jìn)行的位數(shù)處理和為防止溢出而壓縮信號電平的有限字長效應(yīng)

引起這些誤差的根本原因在于寄存器（存儲單元）的字長有限。 誤差的特性與系統(tǒng)的類型、結(jié)構(gòu)形式、數(shù)字的表示法、運(yùn)算方式及字的長短有關(guān)。 在通用計(jì)算機(jī)上，字長較長，量化步很小，量化誤差不大。 但在專用硬件，如FPGA，實(shí)現(xiàn)數(shù)字系統(tǒng)時，其字長較短，就必須考慮有限字長效應(yīng)了。