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一文讀懂FFT

jf_78858299 ? 來源:欣飛鴿 ? 作者:飛鴿 ? 2023-05-05 09:51 ? 次閱讀

FFT--快速傅里葉變換

如果說改變世界必須了解的算法,那么FFT絕對占一席之位。

理論介紹 & 工程應用

理論介紹

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傅里葉變換與離散傅里葉變換

傅里葉變換公式是基于連續(xù)定義的,但是在我們的計算機對數(shù)據(jù)的處理都是離散的,所以必須對傅里葉變換進行離散化,進而有了離散傅里葉變換。

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快速傅里葉變換

快速傅立葉變換(FFT)是離散傅立葉(DFT)的快速算法,它是根據(jù)離散傅立葉變換的奇、偶、虛、實等特性,對離散傅立葉變換的算法進行改進獲得的。它對傅立葉變換的理論并沒有新的發(fā)現(xiàn),但是對于在計算機系統(tǒng)或者說數(shù)字系統(tǒng)中應用離散傅立葉變換,可以說是進了一大步。

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FFT是基于DFT的一種算法,目的是為了加快DFT的計算速度。當采樣點N=65536=2^16,DFT的計算量約是FFT的4096倍。

FFT典型的時域2分裂算法圖示如下:

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物理意義

任何連續(xù)測量的時序或信號,都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。有些信號在時域上是很難看出什么特征的,但是如果變換到頻域之后,就很容易看出特征了。這就是很多信號分析采用FFT變換的原因。

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因此對于一個時域信號進行采樣,經(jīng)FFT運算處理后可以得到該信號的頻譜圖(頻率及對應的幅值),基于頻譜圖我們可以設計特定的濾波器來濾除特定頻率的噪聲,從而讓原信號更加真實的顯示出來。如飛控設計過程中,對陀螺儀/加速度信號進行頻譜分析,濾除機架振動的噪聲頻率,從而可以降低機架振動對姿態(tài)解算、飛機控制的影響。

工程應用

編程原理

FFT計算的快速性簡單來講就是數(shù)學家利用上面提到的旋轉(zhuǎn)因子W的周期性,對稱性等性質(zhì)進行公式化簡。在算法編程中則是不斷利用已經(jīng)計算過的點來算新的點,即:舊點算新點。

FFT中的采樣序列經(jīng)拆分抽取成很多的蝶形圖,對于N=8的時間抽取如下:

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以上的拆分提取,可以稱之為碼位倒序,倒序獲得的序列便為我們蝶形計算的初始序列,如下圖的左邊一列:

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將上圖大的蝴蝶組,拆分想象成一個個的蝴蝶并聯(lián)及串聯(lián)組成,單個蝴蝶計算如下:

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后面的蝴蝶使用前面蝴蝶的計算后的節(jié)點,從而舊點算新點,循環(huán)計算多層,便可得到最后的頻譜數(shù)列。

碼位倒序及蝴蝶圖的編程實現(xiàn)可知乎查找《C語言系列之FFT算法實現(xiàn)》,推導與編程實現(xiàn)講的非常詳細。

結(jié)果分析

雖然很多人都知道FFT是什么,可以用來做什么,怎么去做,但是卻不知道FFT之后的結(jié)果是什意思、如何決定要使用多少點來做FFT。

由DFT公式可知,使用的輸入值是經(jīng)過ADC后的采樣值(采樣定理告訴我們,采樣頻率要大于信號頻率的兩倍),輸入采樣點的數(shù)量N決定了轉(zhuǎn)換的計算規(guī)模。

N個采樣點,經(jīng)過FFT之后,就可以得到N個點的FFT結(jié)果。為了方便進行FFT運算,通常N取2的整數(shù)次方(參見FFT原理)。FFT運算量:Nlog2N(2為對數(shù)的底)。

變換后的頻譜輸出包含同樣數(shù)量的采樣點N,但是其中有一半的值是冗余的,通常不會顯示在頻譜中,所以真正有用的信息是N/2+1個點(依據(jù)采樣定理)。

工程應用分析

假設采樣頻率為Fs,信號頻率F,采樣點數(shù)為N。那么FFT之后結(jié)果就是一個為N點的復數(shù)。每一個點就對應著一個頻率點。這個點的模值,就是該頻率值下的幅度特性。

縱坐標--幅值

假設原始信號的峰值為A,那么FFT的結(jié)果的每個點(除了第一個點直流分量之外)的模值就是A的N/2倍。而第一個點就是直流分量,它的模值就是直流分量的N倍。而每個點的相位呢,就是在該頻率下的信號的相位。

橫坐標--頻率

第一個點表示直流分量(即0Hz),而最后一個點N的再下一個點則表示采樣頻率Fs,這中間被N-1個點平均分成N等份,每個點的頻率依次增加。例如某點n所表示的頻率為:Fn=(n-1)*Fs/N。

由上面的公式可以看出,F(xiàn)n所能分辨到頻率為Fs/N,如果采樣頻率Fs為1024Hz,采樣點數(shù)N為1024點,則可以分辨到1Hz。

如果采樣N為2048點,則結(jié)果可以分辨到0.5Hz。

如果要提高頻率分辨力,則必須增加 采樣點數(shù) ,也即 采樣時間(總采樣計算周期) 。但這在一些實際的應用中是不現(xiàn)實的,有些需要在較短的時間內(nèi)完成分析。

舉個栗子

假設我們有一個信號,它含有2V的直流分量,頻率為0.5371Hz、幅度為73V的交流分量,以及一個頻率為1.025Hz、幅度為50V的交流分量。

用數(shù)學表達式就是如下:

S=2+73sin(2pi0.5371t)+50sin(2pi1.025t)

我們以50Hz的采樣率對這個信號進行采樣,采樣點N(1024)進行FFT運算。

按照我們上面的分析,F(xiàn)n=(n-1)*Fs/N,我們可以知道,每兩個

點之間的間距就是50/1024Hz。我們的信號有3個頻率,在頻率點上出現(xiàn)峰值,其它各點應該 接近0(離散點的FT頻譜是連續(xù)的,而DFT只是做了連續(xù)頻譜的采樣) 。

運算結(jié)果如下:

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