局域?qū)嵲谡撆c貝爾不等式介紹

1. 局域?qū)嵲谡撆c貝爾不等式

愛(ài)因斯坦以及兩位年輕同事波多爾斯基（Boris Podolsky）和羅森（Nathan Rosen）發(fā)現(xiàn)量子糾纏與局域?qū)嵲谡摰臎_突，認(rèn)為量子力學(xué)不完備[1,2]。意思是，除了量子力學(xué)中的量子態(tài)之外，物理系統(tǒng)還存在額外的變量，可以刻畫系統(tǒng)的準(zhǔn)確狀態(tài)。這些額外的變量叫作隱變量，它們代表了所謂的實(shí)在論。如果一個(gè)代替量子力學(xué)的理論包含隱變量，它就叫作隱變量理論。如果這個(gè)理論還滿足局域性，就叫局域隱變量理論，或者局域?qū)嵲谡摗?/p>

在EPR論文之前，1931年，馮諾伊曼（von Neumann）就在數(shù)學(xué)上證明過(guò)隱變量不存在[3]。在EPR論文之后，1950到1960年代有一些關(guān)于隱變量理論的討論，特別是玻姆（David Bohm）的一系列工作。1964年貝爾（John Bell）指出（1966年發(fā)表），馮諾伊曼的證明并不成立[4]。

1964年，貝爾又提出，局域?qū)嵲谡撆c量子力學(xué)是矛盾的，他發(fā)表了一個(gè)不等式，是任何局域隱變量理論都應(yīng)該滿足的不等式[5]。后來(lái)所有這一類的不等式都叫貝爾不等式，是關(guān)于兩個(gè)子系統(tǒng)的測(cè)量結(jié)果的關(guān)聯(lián)，每個(gè)子系統(tǒng)由一個(gè)局域的觀察者對(duì)之進(jìn)行測(cè)量。用局域隱變量理論計(jì)算各種測(cè)量結(jié)果的關(guān)聯(lián)，其結(jié)果滿足貝爾不等式，而在量子力學(xué)中，如果這兩個(gè)子系統(tǒng)用某些量子糾纏態(tài)描述，那么根據(jù)量子力學(xué)計(jì)算的結(jié)果是違反貝爾不等式的。 在這篇題為“論愛(ài)因斯坦-波多爾斯基-羅森佯謬”的論文中，貝爾用了玻姆首創(chuàng)的形式，基于自旋語(yǔ)言，但是也適合其他類似的分立變量，如光子偏振。兩個(gè)粒子的觀測(cè)量A和B，是自旋值除以恰當(dāng)?shù)南禂?shù)，取值都是1或者-1，依賴于隱變量與各自測(cè)量方向a和b，因此A(a,λ)=±1, B(b,λ)=±1。根據(jù)局域?qū)嵲谡?，它們的關(guān)聯(lián)是 P(a,b)=∫dλρ(λ)A(a,λ)B(b,λ)。對(duì)于A和B嚴(yán)格關(guān)聯(lián)A(a,λ)=-B(a,λ)，貝爾證明了 1+P(b,c)≥|P(a,b)–P(a,c)|. 而對(duì)于自旋糾纏態(tài)

，

量子力學(xué)給出P(a,b)= –a?b，選擇適當(dāng)?shù)腶、b、c，得到對(duì)不等式的違反。對(duì)于光子偏振的量子糾纏態(tài)




，P(a,b)=-cos2θ，其中θ是a和b的夾角。 量子力學(xué)基本問(wèn)題曾被視為“只是哲學(xué)”，貝爾不等式表明，這是有理論、有實(shí)驗(yàn)的物理，將原來(lái)帶有形而上學(xué)味道的討論轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢杂脤?shí)驗(yàn)定量決定的判定，將哲學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定量的科學(xué)問(wèn)題。 檢驗(yàn)大自然是否滿足貝爾不等式的實(shí)驗(yàn)叫作貝爾測(cè)試。

作貝爾測(cè)試需要使用分居兩地又處于量子糾纏態(tài)的子系統(tǒng)，也需要迅速高效的探測(cè)，以及事先不可預(yù)測(cè)的對(duì)于每個(gè)測(cè)量裝置的獨(dú)立安排。所有有關(guān)貝爾不等式違反（或稱貝爾定理）的工作都是在貝爾的開(kāi)創(chuàng)性工作基礎(chǔ)之上發(fā)展而來(lái)的。

實(shí)驗(yàn)判定量子力學(xué)勝利，局域?qū)嵲谡撌?。但是長(zhǎng)期以來(lái)，實(shí)驗(yàn)判定上存在邏輯漏洞或額外假設(shè)，直到近年來(lái)才基本消除。而貝爾不等式的提出和驗(yàn)證又與量子信息學(xué)的興起密切相關(guān)，包括概念和實(shí)驗(yàn)技術(shù)。2022年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)工作就是對(duì)這兩方面的重大貢獻(xiàn)。

2. Bell-CHSH不等式與實(shí)驗(yàn)

2.1 CHSH不等式

貝爾最初的不等式的具體形式所依賴的假設(shè)過(guò)于理想化，比如嚴(yán)格關(guān)聯(lián)，無(wú)法在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中核實(shí)，因此不適合真實(shí)的實(shí)驗(yàn)。1969年，克勞澤（John Clauser）、霍恩（Michael Horne）, 西蒙尼（Abner Shimony）和霍爾特（Richard Holt）推廣了貝爾的不等式，他們推廣后的不等式通常稱為CHSH或者Bell-CHSH不等式[6]。

Bell-CHSH不等式更適合實(shí)際情況，可以在現(xiàn)實(shí)的實(shí)驗(yàn)中檢驗(yàn)。

延續(xù)上面我們對(duì)貝爾不等式的討論?？紤]A(a,λ)[B(b,λ)+B(b’,λ)]+A(a’,λ)[B(b,λ)-B(b’,λ)]。它肯定等于±2，因?yàn)锽(b,λ)+B(b’,λ)與B(b,λ)-B(b’,λ)中必然有一個(gè)等于±2，一個(gè)等于0。由此得到S=P(a,b)+P(a,b’)+P(a’,b)-P(a’,b’) 滿足

–2≤S≤2. 這就是Bell-CHSH不等式。而對(duì)于貝爾態(tài)，比如，可以達(dá)到S=，違反Bell-CHSH不等式。? ?

因此只要有局域?qū)嵲谛裕珺ell-CHSH不等式即可成立，而且可以在實(shí)驗(yàn)上檢驗(yàn)。而量子力學(xué)違反它。所以，量子力學(xué)與局域?qū)嵲谡撃膫€(gè)正確，就看哪個(gè)與實(shí)驗(yàn)符合。

另外，1989年，塞林格（Anton Zeilinger）曾經(jīng)與格林伯格（Daniel Greenberg）和霍恩（Michael Horne）發(fā)現(xiàn)一種三粒子量子糾纏態(tài)具有特別的性質(zhì)，不需要統(tǒng)計(jì)平均，也不需要構(gòu)造不等式，就與局域?qū)嵲谡摯嬖跊_突[7]。

2.2 Freedman-Clauser實(shí)驗(yàn)

1969年提出Bell-CHSH不等式時(shí)，克勞澤是分子天體物理專業(yè)博士生。1970年獲博士學(xué)位后，他來(lái)到伯克利加州大學(xué)，成為湯斯（Charles Townes）的博士后，被允許自主研究貝爾不等式。在伯克利，1967年，康明斯（Eugene Commins）的學(xué)生科克（Carl Kocher）的博士論文工作是研究來(lái)自同一個(gè)原子源的光子對(duì)的時(shí)間關(guān)聯(lián)[8]。

在這個(gè)系統(tǒng)中，級(jí)聯(lián)躍遷產(chǎn)生糾纏光子對(duì)。鈣原子的一個(gè)外層電子從基態(tài)被激發(fā)到，又躍遷到，從這個(gè)能級(jí)躍遷到，發(fā)出一個(gè)光子；再躍遷回基態(tài)，又發(fā)出一個(gè)光子。為了保持宇稱守恒為偶宇稱，角動(dòng)量守恒為0，因此雙光子偏振態(tài)必然是

。

在此糾纏態(tài)下，光子在兩邊都被探測(cè)到的符合率是，

其中φ是檢測(cè)兩個(gè)光子的偏振片的夾角。但是科克所選擇研究的兩個(gè)檢測(cè)光子的偏振片夾角是0度和90度，不能用來(lái)檢驗(yàn)貝爾不等式。

克勞澤和康明斯的博士生弗里德曼（Stuart Freedman，現(xiàn)已去世）改造了這個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置，改進(jìn)了偏振器的效率。這個(gè)系統(tǒng)中，CHSH不等式給出

其中是沒(méi)有偏振器時(shí)的符合率。 ? 克勞澤和弗里德曼實(shí)驗(yàn)上得到上式左邊是0.05±0.008，以6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的實(shí)驗(yàn)精度違反貝爾不等式[9]。

克勞澤和弗里德曼實(shí)驗(yàn)的漫畫示意圖（圖片來(lái)自nobelprize.org） 這個(gè)初步的實(shí)驗(yàn)嘗試有漏洞和局限——產(chǎn)生和探測(cè)粒子的效率低，測(cè)量也是事先設(shè)置好，因此邏輯上，有可能隱變量使得對(duì)粒子的探測(cè)有選擇性，或者測(cè)量裝置的設(shè)置（特別是偏振器的測(cè)量方向）影響了光子發(fā)出時(shí)的偏振，從而導(dǎo)致貝爾不等式的違反，而且不滿足局域性要求。

局域性是貝爾不等式的一個(gè)關(guān)鍵前提假設(shè)。相互分離的兩個(gè)子系統(tǒng)的測(cè)量必須相互獨(dú)立，包括選擇做哪種測(cè)量，比如位置還是動(dòng)量，或者是橫向的磁矩還是縱向的磁矩（磁矩正比于自旋），或者偏振片的透光方向。因此必須保證二者的測(cè)量時(shí)間差足夠小，以至于不可能有物理信號(hào)從一方傳到另一方。因?yàn)樗械男盘?hào)速度不超過(guò)光速，實(shí)驗(yàn)上必須保證雙方測(cè)量的時(shí)間差小于距離除以光速，用相對(duì)論的語(yǔ)言，這叫做類空間隔。弗里德曼-克勞澤實(shí)驗(yàn)的固定設(shè)置不滿足局域性要求。

2.3 阿斯佩實(shí)驗(yàn)

1981至1982年，阿斯佩（Alain Aspect）與合作者格朗吉耶（Phillipe Grangier），羅歇（Gerard Roger）和達(dá)利巴爾（Jean Dalibard）做了3個(gè)實(shí)驗(yàn)，以高精度觀察到了對(duì)Bell-CHSH不等式的違反，在很大程度上滿足局域性要求。

在第一個(gè)實(shí)驗(yàn)中[10]，在發(fā)生級(jí)聯(lián)過(guò)程前，通過(guò)兩套激光，用雙光子吸收直接將電子激發(fā)到，這比以前通過(guò)有效得多。

在第二個(gè)實(shí)驗(yàn)中[11]，用雙通道偏振器進(jìn)行測(cè)量，得到很好的統(tǒng)計(jì)和很大的對(duì)貝爾不等式的違反，精度是幾十個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差。

貝爾當(dāng)初就指出，實(shí)驗(yàn)設(shè)置要在粒子飛行過(guò)程中改變[5]。如果兩邊偏振測(cè)量方向做隨機(jī)的改變，而且所費(fèi)的時(shí)間小于兩個(gè)粒子從源分別到達(dá)偏振器的時(shí)間，就能保證糾纏粒子被測(cè)量時(shí)，時(shí)空間隔是類空的，兩邊的測(cè)量沒(méi)有因果關(guān)聯(lián)。

這在阿斯佩的第三個(gè)實(shí)驗(yàn)中部分得到實(shí)現(xiàn)。這是三個(gè)實(shí)驗(yàn)中最重要的[12]。從鈣原子到偏振片距離6米，光子飛行只有20納秒，在光子飛行過(guò)程中是來(lái)不及旋轉(zhuǎn)偏振器的。但是他們用了阿斯佩早些年設(shè)計(jì)的巧妙方法[13]。一對(duì)光子在到達(dá)一對(duì)偏振片之前，經(jīng)過(guò)一個(gè)聲光開(kāi)關(guān)，被導(dǎo)向兩對(duì)偏振器中的一對(duì)。聲光開(kāi)關(guān)每10ns切換一次。所使用的CHSH不等式給出，量子力學(xué)給出0.112。

實(shí)驗(yàn)得到0.101±0.020, 與量子力學(xué)一致，違反不等式。精度是5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差。

阿斯佩的第三個(gè)實(shí)驗(yàn)的漫畫示意圖（圖片來(lái)自nobelprize.org） 這些實(shí)驗(yàn)以及后來(lái)的很多貝爾測(cè)試實(shí)驗(yàn)都判定量子力學(xué)勝利，局域?qū)嵲谡撌?。但是這些工作中仍然存在技術(shù)性的邏輯漏洞，如在探測(cè)器效率或局域性上。

在阿斯佩的第三個(gè)實(shí)驗(yàn)中，因?yàn)樵诩m纏光子對(duì)離開(kāi)源之后，偏振器的測(cè)量方向做了改變，所以邏輯上來(lái)說(shuō)，在很大可能性上，光子產(chǎn)生時(shí)的偏振沒(méi)有受到偏振器測(cè)量方向的影響。

但是，這兩個(gè)偏振器之間距離很短，由于技術(shù)的局限性，做不到在光子飛行時(shí)，隨機(jī)改變測(cè)量裝置。因此在阿斯佩的第三個(gè)實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量裝置的改變并不是隨機(jī)的，而是周期性的。具體來(lái)說(shuō)，我覺(jué)得邏輯上，不能排除比較復(fù)雜的“陰謀論”：既然測(cè)量裝置的改變是周期的，那么測(cè)量時(shí)的偏振器方向與過(guò)去的偏振器方向的關(guān)系是確定，所以后者也可能影響了光子產(chǎn)生時(shí)的偏振。因此阿斯佩的第三個(gè)實(shí)驗(yàn)并沒(méi)有關(guān)閉局域性漏洞，但是仍然具有里程碑的歷史地位。

2.4 塞林格組補(bǔ)上局域性漏洞

1997年，塞林格研究組的實(shí)驗(yàn)終于補(bǔ)上了局域性漏洞[14]。在他們的實(shí)驗(yàn)中，分析糾纏光子對(duì)的實(shí)驗(yàn)裝置相距400米，以光速飛行則需要1300納秒。糾纏光子對(duì)通過(guò)光纖傳到偏振片。每個(gè)光子的偏振分析裝置的方向有足夠的時(shí)間進(jìn)行快速的隨機(jī)改變——用隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器控制，用原子鐘計(jì)時(shí)。一系列光子對(duì)的測(cè)量結(jié)束后，實(shí)驗(yàn)人員將兩邊的數(shù)據(jù)搜集起來(lái)，分析關(guān)聯(lián)。

塞林格研究組的貝爾測(cè)試實(shí)驗(yàn)的漫畫示意圖（圖片來(lái)自nobelprize.org）。 在補(bǔ)上局域性漏洞后，塞林格組又做過(guò)很多貝爾測(cè)試，其中一個(gè)實(shí)驗(yàn)用來(lái)自不同類星體的光子的波長(zhǎng)信息來(lái)決定偏振測(cè)量方向[15]，這反映在漫畫中。與此同時(shí)，潘建偉組的實(shí)驗(yàn)用來(lái)自不同恒星的光子的波長(zhǎng)信息來(lái)決定偏振測(cè)量方向[16]。

在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，各種技術(shù)改進(jìn)很多。值得指出，這里用第2類參量下轉(zhuǎn)換（type-II parametric down conversion）方法產(chǎn)生糾纏光子對(duì)。這是一個(gè)非線性光學(xué)過(guò)程，用β-BBO（偏硼酸鋇）晶體實(shí)現(xiàn)。β-BBO晶體是由中國(guó)科學(xué)院福建物質(zhì)結(jié)構(gòu)研究所首次發(fā)現(xiàn)和研制的紫外倍頻晶體。這種方法產(chǎn)生的糾纏光子對(duì)，可以通過(guò)光纖傳送，從而分開(kāi)很大的距離。這個(gè)方法最早由歐澤宇和L. Mandel, 以及史硯華和C. O. Alley于1980年代實(shí)現(xiàn)，并以此做了貝爾測(cè)試[17,18]，后來(lái)歐澤宇， Pereira, Kimble和彭堃墀用這個(gè)方法實(shí)現(xiàn)了連續(xù)變量（所謂的光振幅）的糾纏以及貝爾測(cè)試[19]。后來(lái)人們用這個(gè)方法實(shí)現(xiàn)了相距幾公里[20]和幾十公里[21]的糾纏光子的貝爾測(cè)試。塞林格組對(duì)此方法的使用始于與史硯華的一個(gè)合作工作，在4分鐘內(nèi)實(shí)現(xiàn)了100標(biāo)準(zhǔn)偏差以上的貝爾不等式違反[22]。

我們前面說(shuō)過(guò)，愛(ài)因斯坦等人揭示了量子糾纏與定域?qū)嵲谡摚炊ㄓ蛐院蛯?shí)在論共同成立）的沖突，愛(ài)因斯坦是量子糾纏研究的最大功臣。但是正如阿斯佩曾經(jīng)說(shuō)過(guò)的，在相對(duì)論性分離（即類空間隔）下所選擇的測(cè)量下，對(duì)貝爾不等式的違反，意味著“用粒子共同源決定的、由光子對(duì)攜帶的共同性質(zhì)來(lái)解釋關(guān)聯(lián)”這樣的愛(ài)因斯坦圖像不能保持了，我們必須做出結(jié)論：糾纏粒子對(duì)確實(shí)是不可分離的整體，無(wú)法賦予其中每個(gè)粒子單獨(dú)的局域性質(zhì)[23]。

3.后續(xù)工作

在關(guān)于貝爾不等式的實(shí)驗(yàn)中，還長(zhǎng)期存在“探測(cè)漏洞”。因?yàn)楸惶綔y(cè)到的糾纏粒子只是最初產(chǎn)生的糾纏對(duì)中的一部分，有多少被探測(cè)到與實(shí)驗(yàn)裝置有關(guān)。

在公平取樣的前提下，實(shí)驗(yàn)上得到的統(tǒng)計(jì)分析才可以用來(lái)檢驗(yàn)貝爾不等式。但是探測(cè)器的效率是有限的，如果探測(cè)效率不夠高，就可能做不到公平取樣，這就是探測(cè)漏洞。

要補(bǔ)上探測(cè)漏洞，保證公平取樣，必須滿足這樣的條件：當(dāng)一邊測(cè)量到光子時(shí)，另一邊也探測(cè)到光子的概率大于2/3[24]。2001年和2008年的離子實(shí)驗(yàn)[25,26]補(bǔ)上了探測(cè)漏洞。2013年，塞林格組[27]和Kwiat組[28]在光子實(shí)驗(yàn)中也補(bǔ)上探測(cè)漏洞。

2015年，有幾個(gè)實(shí)驗(yàn)都同時(shí)補(bǔ)上局域性漏洞和探測(cè)漏洞，塞林格組[29]和NIST的Shalm組[30]都用了可以快速改變的偏振片和高效率的光子探測(cè)器，Delft的Hensen組用兩對(duì)電子-光子對(duì)[31]，測(cè)量?jī)蓚€(gè)光子，使得兩個(gè)電子糾纏。后來(lái)，在2017年Weinfurter用相距398米的糾纏原子也同時(shí)補(bǔ)上這兩個(gè)漏洞[32]。

下面再介紹一下“自由選擇漏洞”。貝爾不等式是關(guān)于兩個(gè)子系統(tǒng)的各種測(cè)量結(jié)果之間的關(guān)聯(lián)，涉及測(cè)量裝置的幾種不同設(shè)置，比如測(cè)量的方向。這在貝爾不等式的推導(dǎo)中是完全自由的，與隱變量無(wú)關(guān)。

而在貝爾測(cè)試中，需要自由隨機(jī)選擇這幾個(gè)不同設(shè)置。長(zhǎng)期以來(lái)，在實(shí)驗(yàn)中，即使局域性漏洞和探測(cè)漏洞都補(bǔ)上了，也還是由儀器來(lái)隨機(jī)選擇實(shí)驗(yàn)裝置的安排。這并不理想，因?yàn)槿f(wàn)一這些儀器所作的選擇本身就是由隱變量決定的呢？這叫做“自由選擇漏洞”。貝爾曾提出可以用人的自由選擇來(lái)保證實(shí)驗(yàn)裝置的安排的不可預(yù)測(cè)性。但是當(dāng)時(shí)的技術(shù)做不到。

2016年11月30日，一個(gè)叫做“大貝爾測(cè)試”（The Big Bell Test）的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目就是這樣的實(shí)驗(yàn)，補(bǔ)上了這個(gè)“自由選擇漏洞”。實(shí)驗(yàn)中所作的選擇都是來(lái)自全球各地的約10萬(wàn)個(gè)志愿者。12小時(shí)內(nèi)，這些志愿者通過(guò)一個(gè)網(wǎng)絡(luò)游戲“The BIG Bell Quest”，每秒產(chǎn)生1000比特?cái)?shù)據(jù)，總共產(chǎn)生了97347490比特?cái)?shù)據(jù)。參加游戲的志愿者被要求在一定時(shí)間內(nèi)輸入一定的隨機(jī)比特0或1，被用于對(duì)實(shí)驗(yàn)中所作選擇的指令。有個(gè)機(jī)器學(xué)習(xí)算法會(huì)根據(jù)已輸入的比特，提醒志愿者避免可預(yù)測(cè)性，但是對(duì)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)不作選擇。

全球五個(gè)洲的12個(gè)實(shí)驗(yàn)室在12個(gè)小時(shí)內(nèi)做了13個(gè)貝爾實(shí)驗(yàn)。這些實(shí)驗(yàn)用10萬(wàn)名志愿者無(wú)規(guī)提供的這些數(shù)據(jù)來(lái)安排測(cè)量裝置，不同的實(shí)驗(yàn)采用不同的數(shù)據(jù)。在不同系統(tǒng)的貝爾測(cè)試的結(jié)果表明了局域?qū)嵲谡撛谶@些系統(tǒng)中被違反。其中幾個(gè)是潘建偉組、塞林格組等分別完成的光子偏振實(shí)驗(yàn)。

2018年5月9日，Nature雜志以“用人的選擇挑戰(zhàn)局域?qū)嵲谡摗睘轭}， 發(fā)表了這13個(gè)貝爾實(shí)驗(yàn)的結(jié)果[33,34]，顯示局域?qū)嵲谡撛诠庾?、單原子、原子系綜與超導(dǎo)器件等系統(tǒng)中被違反。這一工作代表了對(duì)量子力學(xué)基本理論的檢驗(yàn)又前進(jìn)了一步。

最后提一下，既然局域?qū)嵲谡撆c量子力學(xué)沖突，那么矛盾的源泉來(lái)自哪里，局域論還是實(shí)在論？為研究這個(gè)問(wèn)題，萊格特（Anthony J. Leggett）考慮一種“加密非局域?qū)嵲谡摗保鹤鳛榉蔷钟蛐?，?duì)于確定的偏振方向，被測(cè)量量既依賴測(cè)量偏振片方向，也依賴于另一邊的偏振片方向。但是物理態(tài)是各種偏振方向的統(tǒng)計(jì)平均，服從局域規(guī)律，如馬呂斯定律。對(duì)此，萊格特導(dǎo)出萊格特不等式，被量子力學(xué)違反[35]。最近我們提出一個(gè)推廣的萊格特不等式，特別適用于粒子物理中的糾纏介子，被量子力學(xué)和粒子物理違反[36]。

2022年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予克勞澤、阿斯佩和賽林格，獎(jiǎng)勵(lì)他們關(guān)于糾纏光子的實(shí)驗(yàn)，奠定了貝爾不等式的違反，也開(kāi)創(chuàng)了量子信息科學(xué)。他們的開(kāi)創(chuàng)性實(shí)驗(yàn)使量子糾纏成為“有力的工具”，為量子科技的新紀(jì)元打下基礎(chǔ)。

審核編輯：劉清