如何在軟件中實(shí)現(xiàn)高精度NCO

在本系列的第1部分中，我們將了解如何設(shè)計(jì)基于直接數(shù)字頻率合成（DDFS）原理的非常精確的正弦波發(fā)生器，但在浮點(diǎn)DSP處理器上通過軟件實(shí)現(xiàn)。在第 2 部分中，我們將介紹如何在軟件中實(shí)現(xiàn)高精度 NCO。

構(gòu)建具有與最佳模擬振蕩器相似或更好的失真性能的高精度交流音發(fā)生器，如最著名的惠普分析儀或應(yīng)用筆記AN-1323中所述，即使專用于音頻頻譜（直流至20 kHz范圍），也不是一件小事。然而，如前所述，使用嵌入式處理器的足夠算術(shù)精度執(zhí)行相位計(jì)算（ωt）和正弦函數(shù)（sin（ωt））近似的完整軟件實(shí)現(xiàn)肯定有助于最大限度地減少量化副作用，噪聲和由此產(chǎn)生的雜散。這意味著圖2中的所有NCO功能塊都轉(zhuǎn)換為代碼行（無VHDL?。詫?shí)現(xiàn)滿足實(shí)時(shí)約束的軟件版本，以確保最小采樣率和所需的頻率帶寬。

對于相位到正弦幅度轉(zhuǎn)換引擎，完整的LUT方案或任何變化都需要太多的內(nèi)存或太多的插值操作才能實(shí)現(xiàn)完美的正弦一致性。相反，正弦近似的多項(xiàng)式方法允許使用成本非常低的通用DSP，從而提供了非常好的復(fù)雜度與精度權(quán)衡。多項(xiàng)式級數(shù)擴(kuò)展也非常有吸引力，因?yàn)樗鄬唵?，并且能夠在選擇冪級數(shù)類型時(shí)提供充分的靈活性，為給定精度定制算法。它不需要大的內(nèi)存空間，少于100行SHARC DSP裝配線，只需要幾個(gè)RAM位置來存儲多項(xiàng)式系數(shù)和變量，因?yàn)檎抑祪H在采樣時(shí)計(jì)算。

首先，正弦近似函數(shù)的明顯選擇是使用具有適當(dāng)順序的直泰勒/麥克勞林冪級數(shù)來滿足目標(biāo)精度。但是，由于冪級數(shù)往往會在端點(diǎn)上失去有效性，因此在執(zhí)行任何多項(xiàng)式計(jì)算之前，必須將參數(shù)輸入范圍減小到較小的間隔。如果不減少參數(shù)范圍，函數(shù)域（如 ［–π， +π］ ）上的高精度只能通過非常高階多項(xiàng)式來支持。因此，需要將一些變換應(yīng)用于初等函數(shù)以獲得簡化的參數(shù)，例如 sin（|x|） = sin（f + k × π/2） 和 sin（f） = sin（x – k × π/2） 為 0 ≤f《π/2。因此，三角函數(shù)應(yīng)格外小心，以避免減法抵消，這將導(dǎo)致精度嚴(yán)重?fù)p失并產(chǎn)生災(zāi)難性結(jié)果，尤其是在算術(shù)精度較差的情況下。在我們的例子中，當(dāng)相位輸入很大或接近π/2的整數(shù)倍時(shí)，可能會發(fā)生這種情況。

除了周期性和模-2π重復(fù)之外，sin（x）函數(shù)的對稱性質(zhì)還可以用于進(jìn)一步縮小近似范圍。鑒于正弦函數(shù)在區(qū)間 ［0， 2π］ 的點(diǎn) x = π 上是反對稱的，因此可以使用以下關(guān)系：

將范圍減小到 ［0， π］。以同樣的方式，sin（x） 顯示了區(qū)間 ［0， π］ 由 x = π/2 定義的直線的對稱性，使得：

對于區(qū)間 ［0， π/2］ 中的 x，這進(jìn)一步減小了角度輸入近似范圍。進(jìn)一步將參數(shù)簡化為較小的區(qū)間（如 ［0， π/4］ 以提高精度是沒有效率的，因?yàn)樗枰瑫r(shí)計(jì)算正弦和余弦函數(shù)，這是由共同三角關(guān)系決定的：sin（a+b） = sin（a） × cos（b） + cos（a） × sin（b），這對于生成正交音來說是值得的。

ADI公司的ADSP-21000系列應(yīng)用手冊第1卷介紹了一種幾乎理想的（用于嵌入式系統(tǒng)）正弦逼近函數(shù)，該函數(shù)基于為首款A(yù)DI DSP浮點(diǎn)處理器（即ADSP-21020）編寫的優(yōu)化功率級數(shù)，該處理器基本上是一個(gè)SHARC內(nèi)核。sin（x） 的這種實(shí)現(xiàn)依賴于由 Hart 等人發(fā)表的最小最大多項(xiàng)式近似4，并由 Cody 和 Waite5 改進(jìn)用于浮點(diǎn)運(yùn)算，以減輕舍入誤差并避免發(fā)生前面提到的取消。最小最大值方法依賴于切比雪夫多項(xiàng)式和雷梅茲交換算法來確定所需最大相對誤差的系數(shù)。如圖 3 中的 MATLAB 所示，與 Taylor 的七階泰勒多項(xiàng)式相比，設(shè)定系數(shù)的微小變化會導(dǎo)致最小最大值的精度顯著提高.6 為了獲得最佳精度與速度權(quán)衡，此正弦近似函數(shù)的角度輸入范圍縮小到 ［–π/2 到 +π/2］ 區(qū)間，并且軟件例程包括一個(gè)高效的范圍縮小濾波器， 約占總“正弦”子例程執(zhí)行時(shí)間的 30%。

圖3.與在 0 左右定義的 Taylor-MacLaurin 方法不同，最小最大值正弦近似方法最小化并均衡了 ［–π/2 至 +π/2］ 區(qū)間內(nèi)的最大相對誤差。

雖然所有的計(jì)算都可以用32位定點(diǎn)算法執(zhí)行，但數(shù)學(xué)計(jì)算最常見和最方便的格式，特別是在處理長數(shù)時(shí)，多年來一直是IEEE 754浮點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)時(shí)，根本沒有單芯片浮點(diǎn)DSP處理器，只有簡單的浮點(diǎn)乘法器和ALU計(jì)算IC，例如ADSP-3212和ADSP-3222。這種格式取代了計(jì)算機(jī)行業(yè)的大多數(shù)專有格式，并成為所有SHARC DSP處理器的原生格式，包括單精度32位、擴(kuò)展精度40位，以及最近ADSP-SC589和ADSP-SC573的雙精度64位。

SHARC 40 位擴(kuò)展單精度浮點(diǎn)格式及其 32 位尾數(shù)為這種正弦波生成應(yīng)用提供了足夠的精度 （u 2–32），為了保持相等，Cody 和 Waite 表明，15 階多項(xiàng)式適用于 32 位的整體精度，在 ［0 到 +π/2］ 輸入域上均勻分布誤差。最小化操作次數(shù)并保持準(zhǔn)確性的最后一個(gè)調(diào)整是實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式計(jì)算的霍納規(guī)則，這是一種快速冪法，用于評估一個(gè)點(diǎn)的多項(xiàng)式，例如：

R1 到 R7 是多項(xiàng)式級數(shù)的 Cody 和 Waite 系數(shù)，只需要 8 次乘法和 7 次加法即可計(jì)算任何輸入?yún)?shù) ε［0， π/2］ 的正弦函數(shù)。以匯編子例程形式編寫的完整 sin（x） 近似代碼在 SHARC 處理器上以大約 22 個(gè)內(nèi)核周期執(zhí)行。原始程序集子例程經(jīng)過修改，以便在獲取 40 位多項(xiàng)式浮點(diǎn)系數(shù)時(shí)同時(shí)執(zhí)行雙內(nèi)存訪問，以節(jié)省六個(gè)周期。

圖4.DDS軟件簡化框圖給出了數(shù)據(jù)算術(shù)格式和處理元件之間各種量化步驟的位置。

NCO 64 位相位累加器本身正在利用雙精度 2 補(bǔ)碼分?jǐn)?shù)格式的 SHARC 32 位 ALU 來執(zhí)行。一個(gè)完整的相位累加器執(zhí)行和內(nèi)存更新需要 11 個(gè)內(nèi)核周期，因此，每個(gè) NCO 輸出樣本在大約 33 個(gè)內(nèi)核周期內(nèi)生成。

圖4中的圖表顯示了基于DSP的軟件NCO的功能塊實(shí)現(xiàn)，并參考了每個(gè)階段的算術(shù)格式精度。此外，信號模擬重建需要一個(gè)或兩個(gè)DAC及其模擬抗混疊濾波器電路，并實(shí)現(xiàn)完整的DDFS。處理鏈的關(guān)鍵要素是：

64位相位累加器（帶溢流的SHARC ALU雙精度加法）;

64位小數(shù)定點(diǎn)到40位FP轉(zhuǎn)換模塊;

范圍縮小塊 ［0 到 + π/2］ 和象限選擇（科迪和韋特）;

用于相位到幅度轉(zhuǎn)換的正弦近似算法（Hart）;

–1.0 至 +1.0 范圍內(nèi)的 sin（x） 重建和歸一化階段;

LP FIR 濾波器和 sin（x）/x 補(bǔ)償（如有必要）;

以及 40 位 FP 到 D 位定點(diǎn)轉(zhuǎn)換和縮放功能，以適應(yīng) DAC 數(shù)字輸入。

可以在NCO的輸出端放置一個(gè)可選的數(shù)字低通濾波器，以消除可能在目標(biāo)頻帶中折疊的任何雜散和噪聲?；蛘?，該濾波器可以提供插值和/或反sin（x）/x頻率響應(yīng)補(bǔ)償，具體取決于為模擬重建選擇的DAC。這種低通FIR濾波器可以使用MATLAB濾波器設(shè)計(jì)器工具進(jìn)行設(shè)計(jì)。例如，假設(shè)采樣頻率為48 kSPS，直流至20 kHz帶寬，帶內(nèi)紋波為0.0001 dB，帶外衰減為–150 dB，則可以使用40位浮點(diǎn)系數(shù)實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量的等紋波濾波器。由于只有 99 個(gè)濾波器系數(shù)，其總執(zhí)行時(shí)間將在單指令、單數(shù)據(jù) （SISD） 單計(jì)算單元模式下消耗約 120 個(gè) SHARC 內(nèi)核周期。數(shù)字濾波后，DMA使用其中一個(gè)DSP同步串行端口將計(jì)算出的樣本對發(fā)送到DAC。為了獲得更好的速度性能，還可以使用大型乒乓內(nèi)存緩沖區(qū)鏈接 DMA 操作，以支持按塊操作進(jìn)行處理。例如，塊數(shù)據(jù)大小可以等于 FIR 數(shù)據(jù)延遲線的長度。

NCO 的最終調(diào)整以實(shí)現(xiàn)最佳 SFDR

如前所述，NCO受到雜散的影響主要是由于相位累加器輸出的截?cái)?，以及在較小程度上，由于通過計(jì)算或制表獲得的正弦值進(jìn)行的幅度量化。相位截?cái)嘁鸬恼`差通過相位調(diào)制（鋸齒波）在載波頻率附近產(chǎn)生雜散，而正弦幅度量化會導(dǎo)致諧波相關(guān)的雜散，盡管長期以來被認(rèn)為是隨機(jī)誤差和噪聲。今天，相位累加器的操作在數(shù)學(xué)上是完美的，正如Henry T. Nicholas和H. Samueli的技術(shù)論文7中所描述的那樣。經(jīng)過徹底分析后，提出了一個(gè)模型，使得相位累加器被認(rèn)為是離散相位采樣置換發(fā)生器，從中可以預(yù)測頻率雜散。無論相位累加器參數(shù)（M、N、W）如何，相序的長度都等于

（其中GCD是最大公約數(shù)）由頻率調(diào)諧字M的最右邊位位置L決定，如圖4所示。因此，L 的值定義了序列類，每個(gè)序列類共享自己的一組相位分量，但根據(jù)

率。這些在時(shí)域中生成的截?cái)嘞辔粯颖拘蛄杏糜谕ㄟ^DFT確定頻域中每條雜散線的相應(yīng)位置和幅度。這些序列還表明，M（FTW）的奇數(shù)值表現(xiàn)出最低頻率雜散的幅度，并建議對相位累加器進(jìn)行簡單的修改，只需在FTW中添加1 LSB即可滿足這些最小條件。這樣，無論相位累加器的M值和初始內(nèi)容如何，相位累加器輸出序列都被迫始終具有相同的2N相位元件。然后，最差雜散音幅度的電平降低3.922 dB，等于SFDR_min（dBc）= 6.02 × W。Nicholas改進(jìn)的相位累加器為NCO帶來了幾個(gè)好處，因?yàn)槭紫人薋TW最右邊太接近其MSB（FMCW應(yīng)用中的頻率掃描）的情況，其次，它使雜散的幅度與頻率調(diào)諧字M無關(guān)。通過在采樣速率fS下切換ALU LSB，可以在軟件中輕松實(shí)現(xiàn)這種修改，可以模擬相位累加器的相同行為，就像FTW LSB設(shè)置為邏輯1一樣。當(dāng)相位累加器大小N = 64位時(shí)，1/2 LSB偏移可以被認(rèn)為是關(guān)于所需頻率FOUT精度的可忽略不計(jì)的誤差。

圖5.FTW 最右邊的非零位的位置設(shè)置了理論上的 SFDR 最壞情況水平。尼古拉斯修改的相位累加器解決了N的任何值的問題，并使NCO的SFDR最大化。

輸出相位字W為32位時(shí)，相位截?cái)鄬?dǎo)致的最大雜散幅度被限制在–192 dBc！正弦采樣值的有限量化也會導(dǎo)致另一組頻率雜散，它通常被認(rèn)為是噪聲，并通過眾所周知的關(guān)系SNRq（dB）= 6.02 × D + 1.76進(jìn)行估計(jì)。由于相位-正弦幅度轉(zhuǎn)換算法級的近似誤差，必須將其添加到寄生元件中，但是，考慮到在選擇相位-正弦近似算法和計(jì)算精度時(shí)非常謹(jǐn)慎，該誤差被認(rèn)為是可以忽略不計(jì)的。

這些結(jié)果表明，我們的軟件正弦NCO的線性度和噪聲都處于理論水平，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了測試市場上大多數(shù)高精度ADC所需的閾值。信號鏈中最后一個(gè)但最關(guān)鍵的元件還有待找到：重建DAC及其互補(bǔ)模擬抗混疊濾波器以及相關(guān)的驅(qū)動(dòng)器電路，這些電路很容易滿足預(yù)期的性能水平。

在本系列的第3部分中，我們將介紹如何選擇重建DAC并完成DDFS系統(tǒng)。

審核編輯：郭婷