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重點介紹幾種工作中常見且重要的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法

OSC開源社區(qū) ? 來源:京東技術(shù) ? 作者:鄭冰 潘坤 ? 2022-11-07 11:32 ? 次閱讀

導(dǎo)讀

本文介紹了算法和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)概念和復(fù)雜度函數(shù),并提供了一些評價算法和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)優(yōu)劣的方法論,之后又重點介紹了幾種工作中常見且重要的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法。作為系列文章的開篇,希望讀者能夠在理解復(fù)雜度函數(shù)的基礎(chǔ)上,重點關(guān)注每一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的優(yōu)劣勢分析。

01 前言

ES現(xiàn)在已經(jīng)被廣泛的使用在日常的搜索中,Lucene作為它的內(nèi)核值得深入研究,比如FST,下面就用兩篇分享來介紹一些本文的主題:

第一篇主要介紹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法基礎(chǔ)和分析方法,以及一些常用的典型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu);

第二篇主要介紹圖論,以及自動機(jī),KMP,F(xiàn)ST等算法;

下面開始第一篇:

02 提出問題

“算法是計算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域最重要的基石之一“

編程語言雖然該學(xué),但是學(xué)習(xí)計算機(jī)算法和理論更重要,因為計算機(jī)算法和理論更重要,因為計算機(jī)語言和開發(fā)平臺日新月異,但萬變不離其宗的是那些算法和理論,例如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、算法、編譯原理、計算機(jī)體系結(jié)構(gòu)、關(guān)系型數(shù)據(jù)庫原理等等?!?/p>

——《算法的力量》

2.1.1 案例一

設(shè)有一組N個數(shù)而要確定其中第k個最大者,稱之為選擇問題。常規(guī)的解法如下:

該問題的一種解法就是將這N個數(shù)讀進(jìn)一個數(shù)組中,在通過某種簡單的算法,比如冒泡排序法,以遞減順序?qū)?shù)組排序,然后返回位置k上的元素。

稍微好一點的算法可以先把前k個元素讀入數(shù)組并對其排序。接著,將剩下的元素再逐個讀入。當(dāng)新元素被讀到時,如果它小于數(shù)組中的第k個元素則忽略之,否則就將其放到數(shù)組中正確的位置上,同時將數(shù)組中的一個元素擠出數(shù)組。當(dāng)算法終止時,位于第k個位置上的元素作為答案返回。

這兩種算法編碼都很簡單,但是自然要問:哪個算法更好?哪個算法更重要?還是兩個算法都足夠好?使用N=30000000和k=15000000進(jìn)行模擬將發(fā)現(xiàn),兩個算法在合理的時間量內(nèi)均不能結(jié)束;每一種算法都需要計算機(jī)處理若干時間才能完成。

其實還有很多可以解決這個問題,比如二叉堆,歸并算法等等。

2.2.2案例二

輸入是由一些字母構(gòu)成的一個二維數(shù)組以及一組單詞組成。目標(biāo)是要找出字謎中的單詞,這些單詞可能是水平、垂直、或沿對角線上任何方向放置。下圖所示的字謎由單詞this、two、fat和that組成。

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圖1 字謎單詞字符排列示意圖

現(xiàn)在至少也有兩種直觀的算法來求解這個問題:

對單詞表中的每個單詞,檢查每一個有序三元組(行,列,方向)驗證是否有單詞存在。這需要大量嵌套的for循環(huán),但它基本上是直觀的算法。

對于每一個尚未越出迷板邊緣的有序四元組(行,列,方向,字符數(shù))可以測試是否所指的單詞在單詞表中。這也導(dǎo)致使用大量嵌套的for循環(huán)。

上述兩種方法相對來說都不難編碼,但如果增加行和列的數(shù)量,則上面提出的兩種解法均需要相當(dāng)長的時間。

以上兩個案例中,可以看到要寫一個工作程序并不夠。如果這個程序在巨大的數(shù)據(jù)集上運行,那么運行時間就變成了重要問題。

那么,使用自動機(jī)理論可以快速的解決這個問題,下一篇中給大家詳細(xì)的分析。

03 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法基礎(chǔ)

3.1 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)

3.1.1 什么是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

在計算機(jī)領(lǐng)域中,數(shù)據(jù)是信息的載體,是能夠輸入到計算機(jī)中并且能被計算機(jī)識別、存儲和處理的符號的總稱。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是指數(shù)據(jù)元素和數(shù)據(jù)元素之間的相互關(guān)系或數(shù)據(jù)的組織形式。數(shù)據(jù)元素是數(shù)據(jù)的的基本單位,數(shù)據(jù)元素有若干基本項組成。

3.1.2 數(shù)據(jù)之間的關(guān)系

數(shù)據(jù)之間的關(guān)系分為兩類:

邏輯關(guān)系

表示數(shù)據(jù)之間的抽象關(guān)系,按每個元素可能具有的前趨數(shù)和直接后繼數(shù)將邏輯結(jié)構(gòu)分為線性結(jié)構(gòu)和非線性結(jié)構(gòu)。

邏輯關(guān)系或邏輯結(jié)構(gòu)有如下特點:

只是描述數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中數(shù)據(jù)元素之間的聯(lián)系規(guī)律;

是從具體問題中抽象出來的數(shù)學(xué)模型,是獨立于計算機(jī)存儲器的(與硬件無關(guān))

邏輯結(jié)構(gòu)的分類如下:

線性結(jié)構(gòu)

樹形結(jié)構(gòu)

圖狀結(jié)構(gòu)

其他結(jié)構(gòu)

·物理關(guān)系

邏輯關(guān)系在計算中的具體實現(xiàn)方法,分為順序存儲方法、鏈?zhǔn)酱鎯Ψ椒ā?a target="_blank">索引存儲方法、散列存儲方法。

物理關(guān)系或物理結(jié)構(gòu)有如下特點:

是數(shù)據(jù)的邏輯結(jié)構(gòu)在計算機(jī)存儲其中的映像;

存儲結(jié)構(gòu)是通過計算機(jī)程序來實現(xiàn),因而是依賴于具體的計算機(jī)語言的;

物理結(jié)構(gòu)分類如下:

順序結(jié)構(gòu)

鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)

索引結(jié)構(gòu)

3.2 算法基礎(chǔ)

3.2.1 基礎(chǔ)概念

算法是為求解一個問題需要遵循的、被清楚指定的簡單指令的集合。對于一個問題,一旦某種算法給定并且被確定是正確的,那么重要的一步就是確定該算法將需要多少諸如時間或空間等資源量的問題。如果一個問題的求解算法竟然需要長達(dá)一年時間,那么這種算法就很難能有什么用處。同樣,一個需要若干個GB的內(nèi)存的算法在當(dāng)前的大多數(shù)機(jī)器上也是無法使用的。

3.2.2 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

一般來說,估算算法資源消耗所需的分析是一個理論問題,因此需要一套數(shù)學(xué)分析法,先從數(shù)學(xué)定義開始。

定理1:如果存在正常數(shù)c和n0,使得當(dāng)N>= n0時,T(N) <= cf(N),則記為T(N) = O(f(N))。

定理2:如果存在正常數(shù)c和n0,使得當(dāng)N>=n0時,T(N) <= cg(N),則記為T(N) = Ω(g(N))。

定理3:T(N) = θ(h(N))當(dāng)且僅當(dāng)T(N) = O(h(N)) 和 T(N) = Ω(h(N))。

定理4:如果對每一個正常數(shù)c都存在常數(shù)n0使得當(dāng)N>n0時,T(N) < cp(N),則T(N) = o(p(N))。

這些定義的目的是要在函數(shù)間建立一種相對的級別。給定兩個函數(shù),通常存在一些點,在這些點上一個函數(shù)的值小于另一個函數(shù)的值,因此,一般宣稱f(N)相對增長率。當(dāng)將相對增長率應(yīng)用到算法分析時,會明白它是重要的度量。

如果用傳統(tǒng)的不等式來計算增長率,那么第一個定義T(N) = O(f(N))是說T(N)的增長率小于或者等于f(N)的增長率。第二個定義T(N) = Ω(g(N))是說T(N)增長率大于或者等于g(N)的增長率。第三個定義T(N) = θ(h(N))是說T(N)的增長率等于h(N)的增長率。最后一個定義T(N) = o(p(N))說的則是T(N)的增長率小于p(N)的增長率。他不同于大O,因為大O包含增長率相同的可能性。

要證明某個函數(shù)T(N) =O(f(N)),通常不是形式的使用這些定義,而是使用一些已知的結(jié)果(比如說T(N) = O(log(N)))。一般來說,這就意味著證明是非常簡單的計算而不應(yīng)涉及微積分,除非遇到特殊情況。如下是常見的已知函數(shù)結(jié)果

c(常數(shù)函數(shù))

logN(對數(shù)函數(shù))

logN^2(對數(shù)平方函數(shù))

N(線性函數(shù))

NlogN

N^2(二次函數(shù))

N^3(三次函數(shù))

2^N(指數(shù)函數(shù))

在使用已知函數(shù)結(jié)果時,有幾點需要注意:

首先,將常數(shù)或低階項放進(jìn)大O是非常壞的習(xí)慣。不要寫成T(N) = O(2*N^2)或T(N) = O(N^2 + N)。這兩種情形下,正確的形式是T(N) = O(N^2)。也就是說低階項一般可以被忽略,而常數(shù)也可以棄掉。

其次,總能夠通過計算極限limN→∞f(N)/g(N)(極限公式)來確定兩個函數(shù)f(N)和g(N)的相對增長率。該極限可以有四種可能的值:

極限是0:這意味著f(N) = o(g(N))。

極限是c != 0:這意味著f(N) = θ(g(N))。

極限是∞:這意味著g(N) = o(f(N))。

極限擺動:二者無關(guān)。

3.2.3 復(fù)雜度函數(shù)

正常情況下的復(fù)雜度函數(shù)包含如下兩種:

時間復(fù)雜度

空間復(fù)雜度

時間和空間的度量并沒有一個固定的標(biāo)準(zhǔn),但是在正常情況下,時間復(fù)雜度的單位基本上是以一次內(nèi)存訪問或者一次IO來決定??臻g復(fù)雜度是指在算法執(zhí)行過程中需要占用的存儲空間。對于一個算法來說,時間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度往往是相互影響,當(dāng)追求一個好的時間復(fù)雜度時,可能會使空間復(fù)雜度變差,即可能占用更多的存儲空間;反之,當(dāng)追求一個較好的空間復(fù)雜度時,可能會使時間復(fù)雜度變差,即可能占用較長的運算時間。

3.3 知識儲備

3.3.1 質(zhì)數(shù)分辨定理(HashTree的理論基礎(chǔ))

簡單的說就是,n個不同的質(zhì)數(shù)可以分辨的連續(xù)數(shù)的個數(shù)和他們的乘機(jī)相同。分辨是指這些連續(xù)的整數(shù)不可能有相同的余數(shù)序列。

3.3.2Hash算法

1)Hash

Hash一般翻譯成散列,也可以直接音譯成哈希,就是把任意長度的輸入,通過散列算法變換成固定長度的輸出,該輸入就是散列值。不同的輸入可能散列成相同的值,確定的散列值不可能確定一個輸入。

2)常見的Hash算法

MD4:消息摘要算法;

MD5:消息摘要算法,MD4的升級版本;

SHA-1:SHA-1的設(shè)計和MD4相同原理,并模仿該算法;

自定義HASH算法:程序設(shè)計者可以自定義HASH算法,比如java中重寫的hashCode()方法。

3)Hash碰撞

解決Hash碰撞常見的方法有一下幾種:

分離鏈接法(鏈表法):做法是將散列到同一個值的所有元素保留在一個表中,例如JDK中的HashMap;

探測散列表:當(dāng)發(fā)生Hash碰撞時,嘗試尋找另外一個單元格,直到知道到空的單元為止。包括:線性探測法,平方探測法,雙散列。

3.3.2樹結(jié)構(gòu)的基本概念

樹的遞歸定義:一棵樹是一些節(jié)點的集合。這個集合可以是空集;若不是空集,則樹由根節(jié)點root以及0個或多個非空的子樹組成,這些子樹中每一棵的根都被來自根root的一條有向的邊所連接;

樹葉節(jié)點:沒有兒子節(jié)點稱為樹葉;

深度:對于任意節(jié)點ni,ni的深度為從根到ni的唯一路徑的長;

高度:對于任意節(jié)點ni,ni的高度為從ni到一片樹葉的最長路徑的長;

樹的遍歷:樹的遍歷分為兩種,先序遍歷和后續(xù)遍歷。

3.3.4二叉搜索樹

二叉搜索樹是一棵二叉樹,其中每個節(jié)點都不能有多于兩個子節(jié)點。

對于二叉查找樹的每一個節(jié)點X,它的左子樹中所有項的值都小于X節(jié)點中的項,而它的右子樹中所有項的值大于X中的項。

04 常見數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法分析

4.1 線性數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

4.1.1 HashMap

·總述

HashMap是開發(fā)中最常用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之一,數(shù)據(jù)常駐于內(nèi)存中,對于小的數(shù)據(jù)量來說,HashMap的增刪改查的效率都非常高,復(fù)雜度接近于O(1)。

·數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法

o HashMap由一個hash函數(shù)和一個數(shù)組組成;

o 數(shù)據(jù)插入,當(dāng)進(jìn)入到map的時候,根據(jù)hash(key)找到對應(yīng)點位置,如果位置為空,直接保存,如果位置不為空,則使用鏈表的方式處理;為了解決遍歷鏈表所增加的時間,JDK中的鏈表在大小增大到8時,將會演變成紅黑樹以降低時間復(fù)雜度。為什么開始使用鏈表,后面使用紅黑樹:

§ 數(shù)據(jù)量較小的時候,鏈表的查詢效率相對來說也比較高,使用紅黑樹占用空間比鏈表要大;

§ 為什么選擇8,請參考泊松分布;

o 查找和刪除的過程,同插入的過程類似;

oHashMap可以支持自動擴(kuò)容,擴(kuò)容機(jī)制需要看具體的實現(xiàn);

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圖2HashMap的構(gòu)建過程示意圖

優(yōu)缺點

優(yōu)點:動態(tài)可變長存儲數(shù)據(jù),快速的查詢速度,查詢復(fù)雜度接近O(1);

缺點:只支持小數(shù)據(jù)量的內(nèi)存查詢;

使用場景

在內(nèi)存中小數(shù)據(jù)量的數(shù)據(jù)保存和快速查找。

4.1.2 BloomFilter(布隆過濾器)

·總述

布隆過濾器算法為大數(shù)據(jù)量的查找提供了快速的方法,時間復(fù)雜度為O(k),布隆過濾器的語義為:

布隆過濾器的輸出為否定的結(jié)果一定為真;

布隆過濾器的輸出為肯定的結(jié)果不一定為真;

·數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法

布隆過濾器的具體結(jié)構(gòu)和算法為:

布隆過濾器包含k個hash函數(shù),每個函數(shù)可以把key散列成一個整數(shù)(下標(biāo));

布隆過濾器包含了一個長度為n的bit數(shù)組(向量數(shù)組),每個bit的初始值為0;

當(dāng)某個key加入的時候,用k個hash函數(shù)計算出k個散列值,并把數(shù)組中對應(yīng)的比特置為1;

判斷某個key是否在集合時,用k個hash函數(shù)算出k個值,并查詢數(shù)組中對應(yīng)的比特位,如果所有的bit位都為1,認(rèn)為在集合中;

布隆過濾器的大小需要提前評估,并且不能擴(kuò)容;

布隆過濾器的插入過程如下:

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圖3布隆過濾器的構(gòu)建過程示意圖

判斷某個key是否在集合時,用k個hash函數(shù)算出k個值,并查詢數(shù)組中對應(yīng)的比特位,如果所有的bit位都為1,認(rèn)為在集合中

布隆過濾器無法刪除數(shù)據(jù);

布隆過濾器查詢的時間復(fù)雜度為O(k);

布隆過濾器空間的占用在初始化的時候已經(jīng)固定不能擴(kuò)容。

·優(yōu)缺點

優(yōu)點:布隆過濾器在時間和空間上都有巨大的優(yōu)勢。布隆過濾器存儲空間和插入/查找時間都是常數(shù)。布隆過濾器不需要存儲數(shù)據(jù)本身,節(jié)省空間。

缺點:布隆過濾器的缺點是有誤差。元素越多誤差越高。可以通過提高h(yuǎn)ash函數(shù)的個數(shù)和擴(kuò)大bit數(shù)組的長度來降低誤差率;

·場景

使用場景:緩存擊穿,判斷有無。

4.1.3 SkipList(跳表)

·總述

跳表是一種特殊的鏈表,相比一般的鏈表有更高的查找效率,可比擬二差查找樹,平均期望的插入,查找,刪除的時間復(fù)雜度都是O(logN);

·數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法

跳表可視為水平排列(Level)、垂直排列(Row)的位置(Position)的二維集合。每個Level是一個列表Si,每個Row包含存儲連續(xù)列表中相同Entry的位置,跳表的各個位置可以通過以下方式進(jìn)行遍歷。

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After(P):返回和P在同一Level的后面的一個位置,若不存在則返回NULL;

Before(P):返回和P在同一Level的前面的一個位置,若不存在則返回NULL;

Below(P):返回和P在同一Row的下面的一個位置,若不存在則返回NULL;

Above(P):返回和P在同一Row的上面的一個位置,若不存在則返回NULL。

圖4跳躍列表結(jié)構(gòu)示意圖

有順序關(guān)系的多個Entry(K,V)集合M可以由跳表實現(xiàn),跳表S由一系列列表{S0,S1,S2,......,Sh}組成,其中h代表的跳表的高度。每個列表Si按照Key順序存儲M項的子集,此外S中的列表滿足如下要求:

列表S0中包含了集合M的每個一個Entry;

對于i = 1 ,...... ,h-1列表Si包含列表Si-1中Entry的隨機(jī)子集;

Si中的Entry是從Si-1中的Entry集合中隨機(jī)選擇的,對于Si-1中的每一個Entry,以1/2的概率來決定是否需要拷貝到Si中,我們期望S1有大約n/2個Entry,S2中有大約n/4個Entry,Si中有n/2^i。跳表的高度h大約是logn。從一個列表到下一個列表的Entry數(shù)減半并不是跳表的強(qiáng)制要求;

插入的過程描述,以上圖為例,插入Entry58:

找到底層列表S0中55的位置,在其后插入Entry58;

假設(shè)隨機(jī)函數(shù)取值為1,緊著回到20的位置,在其后插入58,并和底層列表S0的Entry58鏈接起來形成Entry58的Row;

假設(shè)隨機(jī)函數(shù)取值為0,則插入過程終止;

下圖為隨機(jī)數(shù)為1的結(jié)果圖:

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圖5插入一個元素的過程示意圖

刪除過程:同查找過程。

時間復(fù)雜度

o 查找包括兩個循環(huán),外層循環(huán)是從上層Level到底層Level,內(nèi)層循環(huán)是在同一個Level,從左到右;

o 跳表的高度大概率為O(logn),所以外層循環(huán)的次數(shù)大概率為O(logn);

o 在上層查找比對過的key,不會再下層再次查找比對,任意一個key被查找比對的概率為1/2,因此內(nèi)存循環(huán)比對的期望次數(shù)是2也就是O(1);

o 因此最終的時間復(fù)雜度函數(shù)O(n) = O(1)*O(logn)也就是O(logn);

空間復(fù)雜度

o Level i期望的元素個數(shù)為 n/2^i;

o 跳表中所有的Entry(包含同一個Entry的Row中的元素) Σn/2^i = nΣ1/2^i,其中有級數(shù)公式得到Σ1/2^i < 2;

o 期望的列表空間為O(n);

·優(yōu)缺點

優(yōu)點:快速查找,算法實現(xiàn)簡單;

缺點:跳表在鏈表的基礎(chǔ)上增加了多級索引以提升查詢效率,使用空間來換取時間,必然會增加存儲的負(fù)擔(dān)。

·使用場景

許多開源的軟件都在使用跳表:

Redis中的有序集合zset;

LevelDB Hbase中的memtable;

Lucene中的Posting List。

4.2 簡單非線性數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

4.2.1 AVL

·總述

AVL樹是帶有平衡條件的二叉查找樹,這個平衡條件必須要容易保持,而且它保證樹的深度必須是O(logN)。在AVL樹中任何節(jié)點的兩個子樹的高度最大差別為1。

·數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法

AVL樹本質(zhì)上還是一棵二叉查找樹,有以下特點:

AVL首先是一棵二叉搜索樹;

帶有平衡條件:每個節(jié)點的左右子樹的高度之差的絕對值最多為1;

當(dāng)插入節(jié)點或者刪除節(jié)點時,樹的結(jié)構(gòu)發(fā)生變化導(dǎo)致破壞特點二時,就要進(jìn)行旋轉(zhuǎn)保證樹的平衡。

針對旋轉(zhuǎn)做詳細(xì)分析如下:

把必須重新平衡的節(jié)點叫做a,由于任意節(jié)點最多有兩個兒子,因此出現(xiàn)高度不平衡就需要a點的兩棵子樹的高度差2。可以看出,這種不平衡可能出現(xiàn)一下四種情況:

對a的左兒子的左子樹進(jìn)行一次插入;

對a的左兒子的右子樹進(jìn)行一次插入;

對a的右兒子的左子樹進(jìn)行一次插入;

對a的右兒子的柚子樹進(jìn)行一次插入。

情形1和4是關(guān)于a的對稱,而2和3是關(guān)于a點的對稱。因此理論上解決兩種情況。

第一種情況是插入發(fā)生在外側(cè)的情況,該情況通過對樹的一次單旋轉(zhuǎn)而完成調(diào)整。第二種情況是插入發(fā)生在內(nèi)側(cè)的情況,這種情況通過稍微復(fù)雜些的雙旋轉(zhuǎn)來處理。

單旋轉(zhuǎn)的簡單示意圖如下:

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圖6單旋轉(zhuǎn)示意圖


雙旋轉(zhuǎn)的簡單示意圖如下:

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圖7雙旋轉(zhuǎn)示意圖

·優(yōu)缺點

優(yōu)點:使用二叉查找算法時間復(fù)雜度為O(logN),結(jié)構(gòu)清晰簡單;

缺點:插入和刪除都需要進(jìn)行再平衡,浪費CPU資源;

·使用場景

少量數(shù)據(jù)的查找和保存;

4.2.2 Red BlackTree

·總述

紅黑樹是一種自平衡的二叉查找樹,是2-3-4樹的一種等同,它可以在O(logN)內(nèi)做查找,插入和刪除。

·數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法

在AVL的基礎(chǔ)之上,紅黑樹又增加了如下特點:

每個節(jié)點或者是紅色,或者是黑色;

根節(jié)點是黑色;

如果一個節(jié)點時紅色的,那么它的子節(jié)點必須是黑色的;

從一個節(jié)點到一個null引用的每一條路徑必須包含相同數(shù)目的黑色節(jié)點。

紅黑樹的示意圖如下(圖片來源于網(wǎng)絡(luò)):

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圖8 紅黑樹結(jié)構(gòu)示意圖

那么將一個節(jié)點插入到紅黑樹中,需要執(zhí)行哪些步驟呢?

將紅黑樹當(dāng)做一棵二叉搜索樹,將節(jié)點插入;

將插入的節(jié)點著色為紅色;

通過一系列的旋轉(zhuǎn)和著色等操作,使之重新成為一棵紅黑樹。

在第二步中,被插入的節(jié)點被著為紅色之后,他會違背哪些特性呢

對于特性1,顯然是不會違背;

對于特性2,顯然也是不會違背;

對于特性4,顯然也是不會違背;

對于特性3,有可能會違背,我們將情況描述如下:

被插入的節(jié)點是根節(jié)點:直接把此節(jié)點涂為黑色;

被插入的節(jié)點的父節(jié)點是黑色:什么也不需要做。節(jié)點被插入后,仍然是紅黑樹;

被插入的節(jié)點的父節(jié)點是紅色:此種情況下與特性3違背,所以將情況分析如下:

當(dāng)前節(jié)點的父節(jié)點是紅色,且當(dāng)前節(jié)點的祖父節(jié)點的另一個子節(jié)點也是紅色。處理策略為:將父節(jié)點置為黑色、將叔叔節(jié)點置為黑色、將祖父節(jié)點置為紅色;

當(dāng)前節(jié)點的父節(jié)點是紅色,叔叔節(jié)點時黑色,且當(dāng)前節(jié)點是其父節(jié)點的右子節(jié)點。將父節(jié)點作為新的當(dāng)前節(jié)點、以新的當(dāng)前節(jié)點作為支點進(jìn)行左旋;

當(dāng)前節(jié)點的父節(jié)點是紅色,叔叔節(jié)點時黑色,且當(dāng)前節(jié)點時父節(jié)點的左子節(jié)點。將父節(jié)點置為黑色、將祖父節(jié)點置為紅色、以祖父節(jié)點為支點進(jìn)行右旋。

定理:一棵含有n個節(jié)點的紅黑樹的高度至多為2log(N+1),證明過程請查看參考資料

由此定理可推論紅黑樹的時間復(fù)雜度為log(N);

·優(yōu)缺點

優(yōu)點:查詢效率高,插入和刪除的失衡的代銷比AVL要小很多。

缺點:紅黑樹不追求完全平衡。

·使用場景

紅黑樹的應(yīng)用很廣泛,主要用來存儲有序的數(shù)據(jù),時間復(fù)雜度為log(N),效率非常高。例如java中的TreeSet、TreeMap、HashMap等。

4.2.3 B+Tree

·總述

提起B(yǎng)+Tree都會想到大名鼎鼎的MySql的InnoDB引擎,該引擎使用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)就是B+Tree。B+Tree是B-Tree(平衡多路查找樹)的一種改良,使得更適合實現(xiàn)存儲索引結(jié)構(gòu),也是該篇分享中唯一一個與磁盤有關(guān)系的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。首先我們先了解一下磁盤的相關(guān)東西。

系統(tǒng)從磁盤讀取數(shù)據(jù)到內(nèi)存時是以磁盤塊(block)為基本單位,位于同一塊磁盤塊中的數(shù)據(jù)會被一次性讀取出來。InnoDB存儲引擎中有頁(Page)的概念,頁是引擎管理磁盤的基本單位。

·數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法

首先,先了解一下一棵m階B-Tree的特性:

每個節(jié)點最多有m個子節(jié)點;

除了根節(jié)點和葉子結(jié)點外,其他每個節(jié)點至少有m/2個子節(jié)點;

若根節(jié)點不是葉子節(jié)點,則至少有兩個子節(jié)點;

所有的葉子結(jié)點都是同一深度;

每個非葉子節(jié)點都包含n個關(guān)鍵字

關(guān)鍵字的個數(shù)的關(guān)系為 m/2-1 < n < m-1

B-Tree很適合作為搜索來使用,但是B-Tree有一個缺點就是針對范圍查找支持的不太友好,所以才有了B+Tree;

那么B+Tree的特性在B-Tree的基礎(chǔ)上又增加了如下幾點:

非葉子節(jié)點只存儲鍵值信息;

所有的葉子節(jié)點之間都有一個鏈指針(方便范圍查找);

數(shù)據(jù)記錄都存放在葉子節(jié)點中;

將上述特點描述整理成下圖(假設(shè)一個頁(Page)只能寫四個數(shù)據(jù)):

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圖9B+Tree結(jié)構(gòu)示意圖

這樣的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可以進(jìn)行兩種運算,一種是針對主鍵的范圍查找和分頁查找,另外一種是從根節(jié)點開始,進(jìn)行隨機(jī)查找;

·優(yōu)缺點

優(yōu)點:利用磁盤可以存儲大量的數(shù)據(jù),簡單的表結(jié)構(gòu)在深度為3的B+Tree上可以保存大概上億條數(shù)據(jù);B+Tree的深度大概也就是2~4,深度少就意味這IO會減少;B+Tree的時間復(fù)雜度log(m)N

缺點:插入或者刪除數(shù)據(jù)有可能會導(dǎo)致數(shù)據(jù)頁分裂;即使主鍵是遞增的也無法避免隨機(jī)寫,這點LSM-Tree很好的解決了;無法支持全文索引;

·使用場景

使用場景大多數(shù)數(shù)據(jù)庫的引擎,例如MySql,MongoDB等。

4.2.4 HashTree

·總述

HashTree是一種特殊的樹狀結(jié)構(gòu),根據(jù)質(zhì)數(shù)分辨定理,樹每層的個數(shù)為1、2、3、5、7、11、13、17、19、23、29.....

·數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法

從2起的連續(xù)質(zhì)數(shù),連續(xù)10個質(zhì)數(shù)接可以分辨大約6464693230個數(shù),而按照目前CPU的計算水平,100次取余的整數(shù)除法操作幾乎不算什么難事。

我們選擇質(zhì)數(shù)分辨算法來構(gòu)建一顆哈希樹。選擇從2開始的連續(xù)質(zhì)數(shù)來構(gòu)建一個10層的哈希樹。第一層節(jié)點為根節(jié)點,根節(jié)點先有2個節(jié)點,第二層的每個節(jié)點包含3個子節(jié)點;以此類推,即每層節(jié)點的數(shù)據(jù)都是連續(xù)的質(zhì)數(shù)。對質(zhì)數(shù)進(jìn)行取余操作得到的數(shù)據(jù)決定了處理的路徑。下面我們以隨機(jī)插入10個數(shù)(442 9041 3460 3164 2997 3663 8250 9088906 4005)為例,來圖解HashTree的插入過程,如下:

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圖10HashTree構(gòu)建過程示意圖

HashTree的節(jié)點查找過程和節(jié)點插入過程類似,就是對關(guān)鍵字用質(zhì)數(shù)取余,根據(jù)余數(shù)確定下一節(jié)點的分叉路徑,知道找到目標(biāo)節(jié)點。如上圖,在從對象中查找所匹配的對象,比較次數(shù)不超過10次,也就是說時間復(fù)雜度最多是o(1).

刪除的過程和查找類似。

·優(yōu)缺點:

優(yōu)點:結(jié)構(gòu)簡單,查找迅速,結(jié)構(gòu)不變。

缺點:非有序性。

4.2.5 其他數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

鑒于篇幅有限,余下重要數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)將在下一篇文章中再來一起討論,敬請期待!






審核編輯:劉清

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原文標(biāo)題:搜索中常見數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法探究(一)

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