DOE中的中心點(diǎn)：它是什么以及它有什么用？

試驗(yàn)設(shè)計(jì)（DOE）是一完美的工具，有效地確定關(guān)鍵輸入是否與關(guān)鍵輸出有關(guān)。幕后，“DOE”只是一個(gè)簡(jiǎn)單的回歸分析。然而，不簡(jiǎn)單的是當(dāng)你計(jì)劃你的實(shí)驗(yàn)時(shí)，你必須做出選擇：你應(yīng)該測(cè)試什么？您選擇的X的范圍應(yīng)該是什么？你應(yīng)該實(shí)驗(yàn)多少次？你需要中心點(diǎn)嗎？等等，讓我們先來(lái)談?wù)勚行狞c(diǎn)。

一、什么是中心點(diǎn)

中心點(diǎn) - 表示所有因子水平都設(shè)置在低設(shè)置和高設(shè)置之間的中間位置時(shí)的試驗(yàn)。

這里有兩個(gè)因子，每個(gè)因子兩個(gè)水平。其中溫度低水平為120℃，高水平為180℃，則溫度的中間水平就是150℃。同理，時(shí)間低水平為10s，高水平為30s，則時(shí)間的中間水平為20s。而所謂的中心點(diǎn)就是這兩個(gè)因子都取中間水平的一種組合，即（150℃，20s）。

你在Minitab統(tǒng)計(jì)軟件的數(shù)據(jù)收集計(jì)劃可能看起來(lái)像這樣的東西，中心點(diǎn)顯示為藍(lán)色：

以上數(shù)據(jù)來(lái)自藍(lán)寶書(shū)第三版506頁(yè)，例13-4

注意：

代碼化后，因子低水平設(shè)置為-1，高水平設(shè)置為1，中心點(diǎn)設(shè)置為0。

真正的中心點(diǎn)只能與在選擇的兩個(gè)水平之間的中點(diǎn)處設(shè)置的數(shù)字因子一同使用。如果您具有類別因子與數(shù)字因子的組合，則 Minitab 將創(chuàng)建偽中心點(diǎn)。這些點(diǎn)是類別因子水平的每個(gè)組合位置處的數(shù)字因子的中心點(diǎn)。

順便提一下，取最高水平或最低水平上設(shè)置時(shí)的試驗(yàn)點(diǎn)，稱為角點(diǎn)。

二、中心點(diǎn)有什么用？

首先，我們要認(rèn)識(shí)到實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的三個(gè)基本原則：完全重復(fù)、隨機(jī)化和區(qū)組化。重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，MSE包含純的仿行誤差，它提供了試驗(yàn)變異的最好估計(jì)。如何實(shí)現(xiàn)“完全重復(fù)試驗(yàn)”呢?一種辦法就是將每個(gè)試驗(yàn)條件都重復(fù) 2次或更多次，這樣做的好處是對(duì)于試驗(yàn)誤差估計(jì)得更準(zhǔn)確了，但代價(jià)卻是大大增加了試驗(yàn)次數(shù)因而增加了試驗(yàn)成本。另一種更巧妙的辦法就是只在“中心點(diǎn)”處安排重復(fù)試驗(yàn)，通常是在中心點(diǎn)重復(fù)做3次或4次試驗(yàn)。

下面我們就來(lái)看看中心點(diǎn)的好處。

1. 根本目的： 提高對(duì)實(shí)驗(yàn)誤差的精確估計(jì)，確保有（足夠的）自由度分析實(shí)驗(yàn)誤差。

對(duì)于自由度的問(wèn)題，我在上一篇文章中做了一些闡述，在這里我們要強(qiáng)調(diào)的是自由度是否足夠，順便討論一下在模型中要不要包含中心點(diǎn)。（我們以上面的數(shù)據(jù)為例，模型中最終只有A、B、D和BD是顯著的）。

a. 在模型中包含中心點(diǎn)

當(dāng)模型中包含中心點(diǎn)時(shí)，從以上三張圖，我們可以發(fā)現(xiàn)以下兩點(diǎn)：

彎曲項(xiàng)自由度不包含在誤差項(xiàng)中，誤差項(xiàng)的自由度為13；

效應(yīng)Pareto圖上的臨界值為2.16.

b. 在模型中不包含中心點(diǎn)

當(dāng)模型中不包含中心點(diǎn)時(shí)，從以上三張圖，我們可以發(fā)現(xiàn)以下兩點(diǎn)：

彎曲項(xiàng)自由度包含在誤差項(xiàng)中，誤差項(xiàng)的自由度為14；

效應(yīng)Pareto圖上的臨界值為2.145.

我們?cè)賮?lái)看看效應(yīng)Pareto圖上的紅色參考線是怎么來(lái)的。

有了以上結(jié)論，那么就有一個(gè)問(wèn)題：如果誤差自由度不為0（如果為0，請(qǐng)看上一篇文章）但又不夠會(huì)發(fā)生什么呢？這時(shí)候效應(yīng)Pareto圖中的紅色參考值會(huì)變大，而我們比較項(xiàng)是否顯著是與把各種項(xiàng)的t值與紅色參考值進(jìn)行比較，如果這個(gè)參考值由于誤差自由度不夠而變大會(huì)使得本應(yīng)該是顯著的項(xiàng)而判斷為不顯著。

所以，擬合模型時(shí)不要包含中心點(diǎn)，確保有足夠的自由度來(lái)估計(jì)實(shí)驗(yàn)誤差。

2. 輔助判斷實(shí)驗(yàn)環(huán)境是否發(fā)生大的變化。

中心點(diǎn)處各因子的水平相同，如果實(shí)驗(yàn)是在穩(wěn)定的環(huán)境下完成的，這三個(gè)響應(yīng)值應(yīng)該大致相同。在把因子點(diǎn)試驗(yàn)的順序隨機(jī)化之后，如果再把在中心點(diǎn)處所進(jìn)行的3次試驗(yàn)安排在全部試驗(yàn)的開(kāi)頭、中間和結(jié)尾，那么這幾個(gè)點(diǎn)的試驗(yàn)結(jié)果間只應(yīng)存在隨機(jī)誤差。如果這幾個(gè)試驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)非常明顯的上升、下降或其他不正常的趨勢(shì)，則有可能幫助我們發(fā)現(xiàn)在試驗(yàn)過(guò)程中出現(xiàn)的不正常狀況。

這里，我們可以借助散點(diǎn)圖來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題：

從以上圖上看出，沒(méi)有非常明顯的上升和下降趨勢(shì)（雖然有一點(diǎn)上升趨勢(shì)）。

3. 檢查模型是否存在彎曲，是否有必要做響應(yīng)曲面設(shè)計(jì)(RSM)。

因子設(shè)計(jì)假設(shè)每一個(gè)X和Y之間有一個(gè)線性關(guān)系，因此，如果任何X和Y之間的關(guān)系表現(xiàn)出曲率，你不應(yīng)該使用一個(gè)因子設(shè)計(jì)，因?yàn)榻Y(jié)果可能會(huì)誤導(dǎo)你。那么，你如何統(tǒng)計(jì)確定這種關(guān)系是否是線性的呢？有中心點(diǎn)就不用擔(dān)心了！如果中心點(diǎn)的值是顯著的（即，小于α），那么你可以得出這樣的結(jié)論：存在彎曲并考慮使用響應(yīng)曲面試驗(yàn)（如中心復(fù)合設(shè)計(jì)）來(lái)分析你的數(shù)據(jù)。雖然因子設(shè)計(jì)可以檢測(cè)曲率，但你必須使用一個(gè)響應(yīng)面設(shè)計(jì)模型（建立一個(gè)方程）的曲率。

4. 相當(dāng)于三水平的設(shè)計(jì)，提高模型的精度。

原來(lái)只有高低兩個(gè)水平，加了中心點(diǎn)后，相當(dāng)于三水平的設(shè)計(jì)，可提高模型的精度。

對(duì)于中心點(diǎn)的分析我們今天就講到，里面還有很多問(wèn)題沒(méi)有展開(kāi)：為什么效應(yīng)Pareto圖中的參考值用的是t分布來(lái)計(jì)算、模型彎曲顯著是不是一定得要做RSM，模型彎曲不顯著是不是一定不需要做RSM……

審核編輯 黃昊宇