首個(gè)關(guān)于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練相關(guān)的理論證明

谷歌AI最新發(fā)布的一篇論文給出了首個(gè)關(guān)于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練相關(guān)的理論證明，實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果也為初步解釋梯度下降強(qiáng)于貝葉斯優(yōu)化奠定了基礎(chǔ)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的理論面紗，正逐步被揭開。

原來(lái)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)際上跟線性模型并沒那么大不同！

谷歌AI的研究人員日前在arxiv貼出一篇文章，給出了首個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練相關(guān)的理論證明。

實(shí)驗(yàn)中，他們將一個(gè)實(shí)際的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程與線性模型的訓(xùn)練過程相比，發(fā)現(xiàn)兩者高度一致。這里用到的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)wide ResNet，包括ReLU層、卷積層、pooling層和batch normalization；線性模型是用ResNet關(guān)于其初始（隨機(jī)）參數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)建立的網(wǎng)絡(luò)。

將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程與線性模型的相比，兩者高度一致

在多個(gè)不同模型上試驗(yàn)并排除量化誤差后，觀察結(jié)果依舊保持一致。由此，谷歌AI研究人員得出結(jié)論，當(dāng)學(xué)習(xí)率比較小且網(wǎng)絡(luò)足夠?qū)挘ú槐責(zé)o限寬）的時(shí)候，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就是線性模型。

由此得出的一個(gè)推論是，使用梯度下降訓(xùn)練的大型網(wǎng)絡(luò)集成能夠用一個(gè)高斯過程描述，而且在梯度下降的任意時(shí)間都能用完備形式化描述這個(gè)高斯過程。

這些觀察結(jié)果也構(gòu)成了一個(gè)理論框架基礎(chǔ)，可以用來(lái)初步解釋長(zhǎng)期以來(lái)困擾深度學(xué)習(xí)研究界的一個(gè)難題：梯度下降究竟在哪些情況下，具體是如何優(yōu)于貝葉斯優(yōu)化？

在訓(xùn)練深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)被戲謔為“調(diào)參煉丹”的當(dāng)下，這一發(fā)現(xiàn)猶如一道希望的強(qiáng)光，射進(jìn)還被排除在“科學(xué)”之外的深度學(xué)習(xí)領(lǐng)域，激動(dòng)人心。

相關(guān)論文：使用梯度下降訓(xùn)練的任意深度的Wide神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與線性模型的一致性

終于，調(diào)參不再是煉丹：首個(gè)關(guān)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的理論證明

基于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)器學(xué)習(xí)模型在許多任務(wù)中取得了前所未有的性能。通常，這些模型被認(rèn)為是復(fù)雜系統(tǒng)，其中許多類型的理論分析是很棘手的。此外，由于控制優(yōu)化的通常是高維的非凸損失平面（non-convex loss surfaces），因此要描述這些模型的基于梯度的訓(xùn)練動(dòng)態(tài)機(jī)制具有挑戰(zhàn)性。

就像在物理科學(xué)中常見的那樣，研究這些系統(tǒng)的極限通?？梢越忉屵@些難題。對(duì)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)說，其中一個(gè)極限就是它的“無(wú)限寬度”（infinite width），指的是完全連接層中的隱藏單元數(shù)量，或卷積層中的通道數(shù)量。

在此限制下，網(wǎng)絡(luò)初始化時(shí)的輸出取自高斯過程（GP）；此外，在使用平方損失進(jìn)行精確貝葉斯訓(xùn)練后，網(wǎng)絡(luò)輸出仍然由GP控制。除了理論上的簡(jiǎn)單性，nfinite-width這一限制也具有實(shí)際意義，因?yàn)樵S多研究已經(jīng)證明，更寬的網(wǎng)絡(luò)可以更好地進(jìn)行泛化。

在這項(xiàng)工作中，我們探索了梯度下降下寬的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)機(jī)制（learning dynamics），并發(fā)現(xiàn)動(dòng)態(tài)的權(quán)重空間描述變得非常簡(jiǎn)單：隨著寬度變大，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以有效地被關(guān)于其初始化參數(shù)的一階泰勒展開式（first-order Taylor expansion）取代。

對(duì)于這種誘導(dǎo)的線性模型，梯度下降的動(dòng)態(tài)機(jī)制變得易于分析了。雖然線性化只在無(wú)限寬度限制下是精確的，但我們發(fā)現(xiàn)，即使是有限寬度的情況下，原始網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)與線性化版本的預(yù)測(cè)仍然非常一致。這種一致性在不同的架構(gòu)、優(yōu)化方法和損失函數(shù)之間都存在。

對(duì)于平方損失（squared loss），精確的學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)機(jī)制允許封閉形式的解決方案，這允許我們用GP來(lái)描述預(yù)測(cè)分布的演化。這一結(jié)果可以看作是“先采樣再優(yōu)化”（sample-then-optimize）后驗(yàn)采樣對(duì)深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的延伸。我們的經(jīng)驗(yàn)模擬證實(shí)，該結(jié)果準(zhǔn)確地模擬了具有不同隨機(jī)初始化的有限寬度模型集合中預(yù)測(cè)的變化。

谷歌AI的研究人員表示，這篇論文的幾大主要貢獻(xiàn)包括：

首先，我們以 Jacot et al. （2018） 最近的研究成果為基礎(chǔ)，該成果描述了在infinite width 限制下，整個(gè)梯度下降訓(xùn)練過程中網(wǎng)絡(luò)輸出的精確動(dòng)態(tài)。他們的結(jié)果證明了參數(shù)空間的梯度下降對(duì)應(yīng)于函數(shù)空間中關(guān)于新核的核梯度下降（kernel gradient descent），即Neural Tangent Kernel （NTK）。

我們工作的一個(gè)關(guān)鍵貢獻(xiàn)是證明了參數(shù)空間中的動(dòng)態(tài)等價(jià)于所有網(wǎng)絡(luò)參數(shù)、權(quán)重和偏差集合中的仿射模型的訓(xùn)練動(dòng)態(tài)。無(wú)論損失函數(shù)的選擇如何，這個(gè)結(jié)果都成立。在平方損失的情況下， dynamics允許一個(gè)封閉形式的解作為時(shí)間函數(shù)。

無(wú)限寬（infinitely wide）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)初始化時(shí)的輸出是高斯的，并且如Jacot et al.（2018）中所述，平方損失在整個(gè)訓(xùn)練過程中始終是高斯的。我們推導(dǎo)了該GP的均值和協(xié)方差函數(shù)的顯式時(shí)間依賴表達(dá)式，并為結(jié)果提供了新的解釋。

具體來(lái)說，該解釋對(duì)梯度下降與參數(shù)的貝葉斯后驗(yàn)采樣的不同機(jī)制提供了一種定量理解：雖然這兩種方法都取自GP，但梯度下降不會(huì)從任何概率模型的后驗(yàn)生成樣本。

這一觀察結(jié)果與（Matthews et al.，2017）的“先采樣后優(yōu)化”（sample-then-optimize）框架形成了對(duì)比，在該框架中，只訓(xùn)練頂層權(quán)重，梯度下降從貝葉斯后驗(yàn)采樣。

這些觀察構(gòu)成了一個(gè)框架，用來(lái)分析長(zhǎng)期存在的問題，如梯度下降是否、如何以及在何種情況下提供了相對(duì)于貝葉斯推理的具體好處。

正如Chizat & Bach （2018b）中論述的，這些理論結(jié)果可能過于簡(jiǎn)單，無(wú)法適用于現(xiàn)實(shí)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。但是，我們通過實(shí)證研究證明了該理論在finite-width設(shè)置中的適用性，發(fā)現(xiàn)它準(zhǔn)確地描述了各種條件下的學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)機(jī)制和后驗(yàn)函數(shù)分布，包括一些實(shí)際的網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)，如Wide Residual Network（Zagoruyko & Komodakis， 2016）。

具體實(shí)驗(yàn)：無(wú)限寬的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就是線性模型

線性化網(wǎng)絡(luò)（linearized network）

此處，我們將考慮線性化網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練動(dòng)態(tài)，具體地說，就是用一階泰勒展開代替神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出：

值得注意的是，flint是兩項(xiàng)之和：第一項(xiàng)是網(wǎng)絡(luò)的初始輸出，在訓(xùn)練過程中保持不變；第二項(xiàng)是在訓(xùn)練過程中捕捉對(duì)初始值的變化。

使用這個(gè)線性化函數(shù)的梯度流的動(dòng)態(tài)受到如下約束：

無(wú)限寬度限制產(chǎn)生高斯過程

當(dāng)隱藏層的寬度接近無(wú)窮大時(shí)，中心極限定理（CLT）意味著初始化{f0（x）}x∈X時(shí)的輸出在分布上收斂于多元高斯分布。這一點(diǎn)可以用歸納法非正式的進(jìn)行證明。

因此，隨機(jī)初始化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)于一類高斯過程（以下簡(jiǎn)稱NNGP），將有利于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的完全貝葉斯處理。

梯度下降訓(xùn)練中的高斯過程

如果我們?cè)诔跏蓟髢鼋Y(jié)變量θ≤L，并且只優(yōu)化θ≤L+1，那么原始網(wǎng)絡(luò)及其線性化是相同的。讓寬度趨于無(wú)窮，這個(gè)特殊的tangent kernel的概率將收斂于K。這是用于評(píng)估高斯過程后驗(yàn)的“先采樣后優(yōu)化”方法的實(shí)現(xiàn)。

我們對(duì)比了NNGP、NTK-GP和NN集合的預(yù)測(cè)分布，如下圖所示：

訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出的均值和方差的動(dòng)態(tài)遵循線性化的分析動(dòng)態(tài)機(jī)制

黑線表示來(lái)自100個(gè)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)集合的預(yù)測(cè)輸出分布的時(shí)間演變； 藍(lán)色區(qū)域表示整個(gè)訓(xùn)練中輸出分布的分析預(yù)測(cè)；最后，紅色區(qū)域表示僅訓(xùn)練頂層的預(yù)測(cè)，對(duì)應(yīng)于NNGP。

受過訓(xùn)練的網(wǎng)絡(luò)有3個(gè)隱藏層，寬度為8192。陰影區(qū)域和虛線表示平均值的2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差。

無(wú)限寬度網(wǎng)絡(luò)是線性化網(wǎng)絡(luò)

原始網(wǎng)絡(luò)的常微分方程（ODE）在一般情況下是不可解的。在積分函數(shù)梯度范數(shù)保持隨機(jī)有界為n1，n2，…，nL→∞的技術(shù)假設(shè)下：

值得注意的是，上面公式中的上界只是理論性的，是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)觀察得到的：

訓(xùn)練過程中Relative Frobenius范數(shù)的改變

在MSE設(shè)置中，我們可以對(duì)原始網(wǎng)絡(luò)的輸出與其線性化輸出之間的差異進(jìn)行上限：

對(duì)于非常寬的網(wǎng)絡(luò)，我們可以用線性化動(dòng)態(tài)機(jī)制來(lái)近似訓(xùn)練動(dòng)態(tài)機(jī)制。

而從網(wǎng)絡(luò)線性化中獲得的另一個(gè)見解是，動(dòng)態(tài)機(jī)制等效于隨機(jī)特征法，其中，特征是模型相對(duì)于其權(quán)重的梯度。