石英晶體板高頻振動(dòng)的并行有限元分析

由于較小的體積和較好的溫度穩(wěn)定性，AT切石英晶體諧振器被廣泛地應(yīng)用于頻率控制領(lǐng)域。近些年來，高新技術(shù)的發(fā)展對石英晶體諧振器的性能提出了更高的要求，比如更小的體積和更高的頻率等。隨著石英諧振器向小型化和高頻化發(fā)展，產(chǎn)品開發(fā)技術(shù)給石英晶體板振動(dòng)的精確分析帶來了極大的挑戰(zhàn)。通常我們可以借助基于三維壓電彈性理論和Mindlin高階板理論的有限元法對石英諧振器進(jìn)行分析。但此類分析對計(jì)算機(jī)性能及計(jì)算方法提出了較高的要求，也就需要尋求先進(jìn)的計(jì)算方法及高效的并行計(jì)算技術(shù)。
本文首先詳細(xì)的介紹了Mindlin高階板理論及其有限元實(shí)現(xiàn)，利用稀疏矩陣存儲(chǔ)技術(shù)重寫了數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)部分。接著，應(yīng)用隱式重啟動(dòng)Arnoldi方法，并在ARPACK特征值求解包的基礎(chǔ)上，采用Fortran語言，開發(fā)了新的有限元特征值計(jì)算程序。隨后，通過消息傳遞MPI并行編程環(huán)境，開發(fā)了針對機(jī)群的特征值并行計(jì)算程序，并將其與有限元程序相結(jié)合，開發(fā)了并行有限元程序。作為算例，對矩形石英晶片和圓形石英晶片進(jìn)行了高頻振動(dòng)分析，計(jì)算結(jié)果與著名的Koga實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合的較好，從而驗(yàn)證了本文方法的有效性和程序的正確性。與此同時(shí)，對并行程序的求解時(shí)間做了比較，驗(yàn)證了并行有限元程序的并行計(jì)算效率。
本文的結(jié)果表明，將稀疏矩陣處理技術(shù)和最新的特征值求解方法與并行計(jì)算技術(shù)相結(jié)合，可以有效的提高有限元程序的運(yùn)行效率。我們完成的有限元分析程序?yàn)闈M足實(shí)際石英晶體諧振器的精確設(shè)計(jì)打下了良好基礎(chǔ)。
關(guān)鍵詞：石英晶體，板，頻率，有限元，特征值，并行計(jì)算

1 緒論.1
1.1 研究背景.1
1.2 石英晶體諧振器有限元分析的研究現(xiàn)狀.2
1.3 矩陣特征值問題算法的概述.3
1.4 并行計(jì)算的意義.4
1.5 本文的主要工作.5
2 Mindlin板理論.6
2.1 三維運(yùn)動(dòng)方程..6
2.2 Mindlin的二維方程組..7
2.3 對應(yīng)于AT切石英晶體的三階板方程..9
2.4 本章小結(jié)..12
3 有限元方法的實(shí)現(xiàn)13
3.1 有限元基本方程..13
3.1.1 變分方程.13
3.1.2 Mindlin板方程的有限元格式.14
3.2 總剛矩陣的特點(diǎn)及其存儲(chǔ)方式.19
3.2.1 總剛矩陣的特點(diǎn)19
3.2.2 總剛矩陣的一維變帶寬存儲(chǔ)及尋址方法.19
3.3 有限元程序框圖..21
3.4 本章小結(jié)..24
4 有限元特征值并行算法25
4.1 隱式重啟動(dòng)Arnoldi方法.25
4.2 隱式重啟動(dòng)Arnoldi方法的并行算法.26
4.3 矩陣向量乘積并行算法..28
4.4 基于MPI的并行有限元程序29
4.4.1 消息傳遞MPI并行編程環(huán)境.29
4.4.2 并行有限元程序框圖.30
4.5 本章小結(jié)..32
5 數(shù)值算例.33
5.1 正確性檢驗(yàn).33
5.2 并行效率測試與評價(jià)38
5.3 本章小結(jié)..42
6 總結(jié)與展望43
6.1 全文總結(jié)..43
6.2 展望..44
參考文獻(xiàn).45