負指數(shù)分布排錯時間的軟件可靠性模型

傳統(tǒng)的軟件可靠性模型大多假設排除錯誤的時間忽略不計，基于假設過于苛刻，影響了模型應用的范圍和精度。因此在JM模型的基礎上，提出了排錯時間為負指數(shù)分布的軟件可靠性模型及本模型的極大似然參數(shù)估計方法。通過用馬爾可夫過程描述系統(tǒng)的狀態(tài)，分析了模型的數(shù)值求解方法，并討論了使用在本模型中的失效預測、剩余錯誤預測和等待排出的錯誤數(shù)預測公式。同時利用實際的工程數(shù)據(jù)對本模型的應用過程進行了驗證。
關(guān) 鍵 詞 軟件可靠性模型; 軟件可靠性; 排錯時間; JM模型

在現(xiàn)有的軟件可靠性模型中，絕大多數(shù)都假設排除錯誤的時間忽略不計，這些模型的可靠性預測都依賴于這條假設。顯然，忽略排錯時間的假設過于苛刻，尤其在軟件工程的實踐中，排錯過程已經(jīng)成為影響軟件可靠性的重要環(huán)節(jié)。在得不到排錯過程數(shù)據(jù)的情況下，忽略排錯時間使得可靠性模型變得簡單，同時也降低了模型精度和結(jié)果的可信度。隨著軟件開發(fā)過程管理水平的提高， 在有條件獲得排錯過程的有關(guān)數(shù)據(jù)條件下，則應將考慮排錯過程對可靠性的影響，本文提出了考慮排錯時間的可靠性模型。
1 JM模型
JM模型(Jelinski and Moranda Model，JM)由文獻[1]提出，是最早的軟件可靠性模型之一，該模型對軟件可靠性定量分析技術(shù)的建立和發(fā)展做出了重要的貢獻[2, 3]。
模型基本假設如下：1) 軟件測試的方式與使用方式相同；2) 軟件每個錯誤導致系統(tǒng)失效的可能性相同；3) 軟件中的錯誤相互獨立，各次失效的間隔時間也相互獨立；4) 當失效發(fā)生后，導致失效的軟件錯誤立刻被排除，排錯時間忽略不計，且不引入新的錯誤；5) 在測試開始時，軟件中有N0個錯誤。N0是一個未知常數(shù)；6）軟件的失效率Z在每個失效間隔內(nèi)是常數(shù)，其數(shù)值與軟件中殘留的錯誤數(shù)成正比，比例系數(shù)為Φ。假

設1)保證了使用測試數(shù)據(jù)對可靠性進行了模型評估的正確性。假設2)使得不同的失效率具有相同的分布特性。假設3)排除了錯誤之間的相互影響。假設4)則將測試階段中的查錯、排錯兩種活動簡化為只有查錯一種活動，忽略了排錯過程和排錯結(jié)果對可靠性的影響。假設1)～4)廣泛應用在多種軟件可靠性模型之中[2,3]。根據(jù)JM模型的假設5)、6)可以得知，在第i個測試區(qū)間內(nèi)，失效率函數(shù)為：
Z(Δt | ti?1)＝Φ(N0?i+1)
假設失效發(fā)生時刻的隨機變量為ξ, 用F(t)表示ξ的分布函數(shù)．根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的定義可以得到： 000{|}{}()()(|)limlimlim{}(1())1()tttPttttPtttFttFtFtZttttPthFtξξξξΔ→Δ→Δ→′+Δ>>+Δ>+Δ?Δ====ΔΔ>?≥≥ (1)
求解這個一階常系數(shù)微分方程，在初始條件F(0)=0的情況下，可得分布函數(shù)：
01() = 1exp{(|)} = 1exp{(+1)}iFtZtttNitΦ??Δ??? (2)
可見，系統(tǒng)在經(jīng)歷了i?1次失效后，第i次失效發(fā)生的時間服從參數(shù)Φ(N0?i+1)的負指數(shù)分布。其密度函數(shù) f(t) = F′ (t) =Φ(N0?i+1)exp{?Φ(N0?i+1)t}，可靠性函數(shù)R(t) = exp{?Φ(N0?i+1)t}，第i次失效與第i?1次失效的間隔時間 =01(1iMTBFNiΦ=?+，則第k次失效發(fā)生的時間 。失效次數(shù)的均值公式為： 1kkitMTB==Σ
(3) 0()=[1exp()]mtNtΦ??
剩余錯誤數(shù)的均值為：
0()=exp()etNt?Φ (4)
2 負指數(shù)分布排錯時間的軟件可靠性模型
2.1 基本假設
本模型的假設包括JM模型的假設1)～3)和假設5)，對假設4)和假設6)進行如下修改。
2.1.1 對假設4)的修改：負指數(shù)時間的排錯過程
假設4.1)，每次的軟件失效是由一個錯誤引起的；假設4.2)，當失效發(fā)生后，排錯活動立刻進行；假設4.3)，每次排除一個錯誤，排錯順序按照失效的順序進行，如果新的排錯任務到達時上一個錯誤仍未被排除，則新的排錯任務進入排隊；假設4.4)，排錯是完美的，引起失效的錯誤一定能夠排除，且不引入新的錯誤；假設4.5)，錯誤的排除時間服從負指數(shù)分布。在上述排錯過程假設的5個方面中，假設4.1)可以從原JM模型的假設2)和假設3)推導得到；假設4.2)和假設4.3)反映了大多數(shù)軟件排錯活動的特點；假設4.4)對實際的排錯活動進行了簡化，本模型暫不考慮不完美排錯的情況。
負指數(shù)分布能夠較好地描述許多人工活動的服務時間[4]；文獻[5]對178個排錯時間樣本進行了分析，認為排錯時間服從負指數(shù)分布；在文獻[4]中，通過Shuttle項目中包含85個數(shù)據(jù)項的排錯時間樣本分析，認為其排錯時間也服從參數(shù)為平均排錯時間的負指數(shù)分布。由于負指數(shù)分布的排錯時間具有較為廣泛的代表性，因此，本模型假設排錯時間服從參數(shù)為μ0的負指數(shù)分布，其分布函數(shù)為：0()1exp()Fttμ=??。
2.1.2 對假設6的修改：失效過程假設
假設6.1)，軟件的瞬時失效率Z在每個失效間隔內(nèi)是常數(shù)，其數(shù)值與軟件中殘留的錯誤數(shù)成正比，比例系數(shù)為Φ，假設6.2)一旦錯誤被排除，立刻以新的軟件版本為對象進行測試。本模型假設6.1)具有與原JM模型相同的實質(zhì)，但瞬時失效率具有不同的表達式。假設當前已經(jīng)發(fā)生了i次失效，且已修復了j個錯誤(j≤i)，則稱系統(tǒng)當前處于狀態(tài)(i，j)。根據(jù)假設6)，處于狀態(tài)(i, j)的系統(tǒng)的瞬時失效率為( | )=Ztti0(NjΦ?。從上式可以看出，在初始錯誤一定的情況下，瞬時失效率只與已經(jīng)排除的錯誤數(shù)有關(guān)，而與失效次數(shù)無關(guān)。這是本模型與JM模型失效過程的最大區(qū)別。假設6.2)符合一般的測試過程，該假設將影響到從失效時刻得到失效間隔時間的處理。
2.2 模型的馬爾可夫過程
如果用二元組(i，j)表示系統(tǒng)的當前狀態(tài)，其中i為失效次數(shù)，j為已經(jīng)修復的錯誤數(shù)，N0為初始錯誤數(shù)，則系統(tǒng)狀態(tài)的變化構(gòu)成一個連續(xù)時間的馬爾可夫過程，如圖1所示，其中瞬時狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為：