Adomian分解法與Runge Kutta方法有什么區(qū)別和比較說明

　　利用數(shù)值實(shí)驗(yàn)， 對(duì) Adomia n 分解法和經(jīng)典 Runge-Kutta 方法進(jìn)行比較。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明， 用 Adomian 分解法求解微分方程具有誤差小、精度高的優(yōu)點(diǎn).

　　Adomian 分解法又稱逆算符法 ，是由美國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)家 George Adomian 提出和發(fā)展起來(lái)的求解線性、非線性數(shù)學(xué)物理方程近似解析解的一個(gè)新的數(shù)學(xué)方法， 其特點(diǎn)是適用范圍廣， 計(jì)算過程簡(jiǎn)單 ， 收斂速度快，對(duì)處理強(qiáng)非線性問題既不需要借助線性、攝動(dòng) 、迭代或簡(jiǎn)化模型方程等途經(jīng) ，也不需要數(shù)值方法（如差分法、有限元法、邊界元法等）。分解法的基本精神主要包含 3 層意思 ：一是把一個(gè)方程的真解分解為若干個(gè)解分量之和 ，設(shè)法分別求出各階解分量，然后讓這些解分量之和以任意所需的高精度逼近真解 ;二是把整個(gè)方程恰當(dāng)?shù)胤纸鉃槿舾刹糠?，主要按照算符分解為線性、非線性、確定及隨機(jī)性各部分 。原則上可以任意地分解，但要講究技巧，如所選的確定項(xiàng)線性算符是可逆的 ，從而易于求得該線性算符相應(yīng)方程的部分解，然后利用已知初值或邊值條件， 從中設(shè)法找出方程中的其余部分解與部分解之間的關(guān)系。最主要的是 ，使其中高階解分量只取決于低階解分量，以便可以由低階分量按一定規(guī)則推出任意高階解分量 ;三是對(duì)非線性方程中最要害的非線性項(xiàng)（函數(shù)）提出巧妙的方法，產(chǎn)生一個(gè)與其等價(jià)的多項(xiàng)式，用一個(gè)特殊的有規(guī)律可求的多項(xiàng)式替代非線性函數(shù) ，即 Adomian 多項(xiàng)式 ，該多項(xiàng)式只由前面低階的解分量及非線性函數(shù)來(lái)共同確定 。 近年來(lái) ，用 Adomian 分解法求解微分方程的解已被許多作者所研究。本文的主要工作是， 用 Adomian 分解法求解常微分方程， 然后和四階 Runge -Kutta 方法， 即經(jīng)典 Runge -Kutta 法進(jìn)行比較 ，以顯示 Adomian 分解法的優(yōu)點(diǎn)。本文的計(jì)算結(jié)果是用符號(hào)計(jì)算系統(tǒng) M aple 得到的.

　　逆算符方法的基本思想是 ：把一個(gè)方程 Fu =g（t）（包括線性與非線性、確定與隨機(jī)性、代數(shù)方程 、常微分方程 、偏微分方程以及微分積分方程等）的真解分解為若干個(gè)解的分量之和， 然后設(shè)法求出各階解分量， 把這些解分量之和以任意所需的高精度逼近真解 。其基本步驟 ，一是把整個(gè)方程恰當(dāng)?shù)胤纸鉃槿舾刹糠郑?主要按照算符分解為線性、非線性部分，而線性部分又分為可求逆的線性部分及線性剩余部分 ;二是對(duì)非線性部分要用一種方法產(chǎn)生一個(gè)與其等價(jià)的多項(xiàng)式（稱為 Adomian 多項(xiàng)式）， 即用一個(gè)特殊的有規(guī)律可求的多項(xiàng)式替換非線性函數(shù)， 具體地就是將算符 F 分解為